Metaraga

Un sistema che "utilizza metodi e idee di Grothendieck per fondere gli apparentemente disparati apparati concettuali della musica orientale e occidentale utilizzando le progressioni microtonali del blues e del jazz americano, assieme ad un campionario di nuove tecniche per superarne le divisioni". Questa è la descrizione che il matematico e musicista Purnaprajna Bangere dà (qui) del suo approccio alla musica.

Certo, la mia prima reazione è stata "ma che cosa si è fumato questo?". Ma Bangere può vantare credenziali di tutto rispetto: come musicista, ha studiato presso un vero e proprio guru della musica indiana, e come ricercatore ha al suo attivo un buon numero di pubblicazioni in uno degli ambiti più astratti e tecnicamente impegnativi dell'intera matematica (parlo per esperienza diretta...). Anche se come insegnante non riscuote consensi proprio unanimi...

Il primo album realizzato da Bangere assieme al suo Purna Loka Ensemble prende il titolo proprio dal suo approccio musicale. Devo dire di averlo trovato interessante. Forse non semplicissimo, ma di certo degno di nota. Eccone un estratto; l'emblematico titolo (in italiano, sizigia) è un bizzarro termine utilizzato nell'ambito dell'algebra dei moduli, dove identifica un particolare tipo di relazione lineare, che Arthur Cayley prese in prestito dal gergo dell'astronomia.

A proposito...

 ... di problemini che conducono lontano, qualche settimana fa, con il solo scopo di ripassare qualche teoremino di geometria elementare, ho dato ad una classe del primo anno il compito di rappresentare qualche numero reale sulla retta numerica. In particolare, alcune radici quadrate intere possono essere agevolmente disegnate scrivendo il radicando come somma di due quadrati. Ad esempio, dato che $13=3^2+2^2$, per disegnare $\sqrt{13}$ si può procedere così:

Potremmo legittimamente chiederci per quali numeri naturali sia possibile fare lo stesso; cioè, in altre parole, come sono caratterizzate le somme di due quadrati?

Il criterio è abbastanza noto; citando dal Capitolo 4 della traduzione italiana di Proofs from the Book (ricordando innanzitutto che tutti i numeri primi, tranne il $2$, hanno la forma $4m+1$ o $4m+3$), "un numero naturale $n$ può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se ogni fattore primo della forma $p=4m+3$ appare con un esponente pari nella decomposizione in primi di $n$".

In particolare, ciò si verifica se tutti i fattori primi di $n$ hanno la forma $4m+1$, e quindi, ovviamente, per tutti i numeri primi della forma $p=4m+1$. Questo criterio "ridotto" compare (non per la prima volta) in una lettera di Pierre de Fermat a padre Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640 (e viene a volte citato come teorema di Natale di Fermat - noto ora che qualche giorno fa ne ha parlato pure il caro ex-collega Francesco de Maria nel suo blog Ticinolive). Si tratta di uno di quei risultati che ammettono una miriade di dimostrazioni; la più stuzzicante, forse, la dobbiamo a quel geniaccio di Don Zagier, ed è essenzialmente tutta qui:

Già, una sola frase. Certo, come dice Zagier (il paper completo, tratto dalla rivista The Teaching of Mathematics, è qui), la verifica delle affermazioni implicite (che $S$ è finito e che l'applicazione è un'involuzione) è lasciata al lettore, ma la dimostrazione si lascia seguire facilmente: se l'involuzione descritta ha esattamente un punto fisso, allora la cardinalità di $S$ è dispari, e di conseguenza ogni involuzione su $S$ avrà forzatamente un punto fisso; ciò è vero in particolare per quella che scambia $y$ e $z$ in $(x,y,z)$; $S$ possiede quindi un elemento della forma $(x,y,y)$, per cui vale $$x^2+4y^2=x^2+(2y)^2=p \;\;.$$ Ciò dimostra l'esistenza di una scomposizione di $p$ come somma di quadrati; si tratta di un bell'esempio di dimostrazione non-costruttiva.

La dimostrazione di Zagier è una versione più raffinata di quella data qui da Roger Heath-Brown, sviscerata da Aigner e Ziegler nel già citato Proofs from the Book, dove il criterio di Fermat viene poi generalizzato nel senso descritto sopra a numeri naturali qualsiasi.

Non proprio per tredicenni...

Su YT si fanno costantemente scoperte interessanti. Ad esempio, del tutto per caso mi sono imbattuto in questa sfida per tredicenni:

La risoluzione (che trovate qui) richiede di saper risolvere una semplice equazione quadratica. OK, sì, lo sapevano fare anche i babilonesi, quattro millenni fa, ma forse non a tredici anni. Per quanto riguarda i miei alunni quindicenni, diciamo che la sfida sarà alla loro portata fra qualche settimana (e non esiterò a infliggerla loro). 

Ma ora arriva la parte intrigante: dal momento che la soluzione $1+\sqrt{85}$ non è poi così elegante, ho provato a riformulare il problema, nel tentativo, magari, di costruire un esempio in cui l'altezza fosse intera. 

Ho quindi denominato $a$ l’altezza del recipiente conico, e $b$, $c$ le altezze dei coni rappresentanti la parte inizialmente riempita di liquido e la parte svuotata dopo il capovolgimento.

 

Già, si ottiene proprio la relazione

$$a^3 = b^3 + c^3 \quad,$$

e quindi, a garantirci che non c'è nessuna chance di trovare un risultato "bello" sono nientepopodimeno che Pierre de Fermat e Andrew Wiles: si tratta del caso $n=3$ del celeberrimo Ultimo Teorema di Fermat (anche se la dimostrazione del caso particolare che ci concerne, risolto da Eulero, non necessita del Teorema di Shimura-Taniyama-Weil, ma solo della tecnica nota come discesa infinita).

Notevole, come un problemino geometrico possa condurci così lontano...

Tre, quattro, cinque

 Da qualche parte online, forse su YouTube, mi sono imbattuto in un altro stuzzicante problemino geometrico:

Sono convinto che ci debba essere una soluzione elegante che non richieda di calcolare il lato del quadrato. Ma non l'ho trovata. Per il momento mi accontento di questa, che riduce un sistemino non lineare di 5 equazioni a una singola equazione biquadratica per, appunto, il lato del quadrato:

Qualcuno riesce a fare di meglio? Ho lanciato la sfida ai miei allievi ma, a parte un tiepido interesse iniziale, senza successo.

Un'altra maglietta geek

La mia preferita rimane questa, ma anche quest'altra non è male:

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il princeps mathematicorum, è considerato da molti il più grande matematico di tutti i tempi. In effetti, l'aggettivo gaussiano ricorre un po' ovunque: Wikipedia ha addirittura una voce denominata List of Things named after Carl Friedrich Gauss. Vi troviamo ad esempio l'eliminazione gaussiana, la curvatura gaussiana (correlata col fondamentale Theorema Egregium), i numeri primi gaussiani, la distribuzione gaussiana e un'infinità di altre cose, tra cui un metodo per determinare il giorno della settimana e un altro per determinare la data della Pasqua nel calendario gregoriano.

Povero Niccolò...

Tempo fa mi ero ripromesso di tornare a Brescia, in una giornata di tempo più clemente. "Una città dove non si va mai", l'ho sentita definire, vista la sua vicinanza al capoluogo Lombardo. Ci sono comunque tornato, a fine settembre, durante la parentesi che ci ha concesso la pandemia (e anche qualcos'altro), in una giornata sì ancora piovigginosa, ma che ci ha permesso di salire al castello e gironzolare per il centro.
In una piazzetta poco frequentata mi sono quindi fermato ad "ammirare" il monumento che i Bresciani hanno dedicato, un secolo fa, al loro illustre concittadino. Monumento piuttosto bistrattato, visto lo stato non certo eccellente in cui versa, grazie alla particolare attenzione riservatagli da vandali e writers, le cui vicissitudini sono illustrate (anche fotograficamente) qui, nel preambolo al "numero unico" uscito nel novembre 1918, in occasione della sua inaugurazione.

Qualche altra lettura...

Intercalandoli con Romanzo Criminale prima e con il nuovo M poi, ho letto tre cosette che hanno più o meno a che fare con la matematica (i libri numero 43, 45 e 46 di questo 2020).

La matematica è politica, di Chiara Valerio. Come già nel precedente Storia umana della matematica, leggere questo libro significa immergersi nel flusso di pensieri dell’autrice, osservando qua e là le idee e concetti che ci galleggiano intorno, correndo forse a tratti il rischio di smarrire il senso dell’orientamento. Ma ne vale la pena: ad esempio, concordo pienamente con l’idea che studiare matematica rappresenti una grande avventura culturale, dal momento che attraverso essa è possibile ripercorrere l’evoluzione del pensiero dalla preistoria ai giorni nostri. E mi intriga la frase, vero punto di snodo nel ragionamento dell’autrice, la democrazia è matematica, si basa su un sistema di regole continuamente negoziabili e continuamente verificabili.

La punta dell’ago (titolo orribile: cos’aveva l’originale, Le théâtre quantique, che non andava?), di Alain Connes, Danye Chéreau e Jacques Dixmier. L’ho letto principalmente per la curiosità di andare a vedere cosa si nasconde dietro una copertina "alla Giallo Mondadori" su cui campeggiano i nomi di due matematici di primissimo piano, Alain Connes (Medaglia Fields 1982) e il suo maestro Jacques Dixmier (di cui avevo studiato, non so nemmeno più il perché, il fondamentale Enveloping Algebras), assieme a quello del mio non-parente Carlo Rovelli, autore della postfazione, che nel romanzo fa pure una fugace apparizione (anche se il suo cognome viene anagrammato in Illvero - a me piace di più Illover però). Non mi sono pentito di averlo letto, ma a dire il vero la trama è un po’ così, sospesa tra noir, accenni di divulgazione e filosofie un po’ new age. A fare un po’ di luce sugli intendimenti dell’autore ci pensa, per fortuna, il mio quasi omonimo, che tratteggia in poche pagine un ammirato ritratto di Connes, figura fondamentale della matematica (e anche un po’ della fisica) degli ultimi decenni.

Helgoland, di Carlo Rovelli. Un po’ storia della meccanica quantistica, un po’ riflessione filosofica sulle sue interpretazioni, l’ultima fatica letteraria del mio non-parente rappresenta una riuscitissima escursione in uno degli ambiti più assurdamente incomprensibili della scienza contemporanea, ambito talmente spiazzante che probabilmente nessuno ha ancora potuto affermare con sincerità di avere veramente capito perché funziona. Il titolo ricorda il nome dell’arcipelago del mare del nord in cui Werner Heisenberg, rifugiatosi lassù per alleviare gli effetti delle allergie, pose le basi per quella che Rovelli definisce la più radicale rivoluzione scientifica di ogni tempo. Notevole. Consigliatissimo. Da leggere (e forse anche rileggere, perché sono parecchie le cose che mi sono sfuggite).

... ma non è tutto aureo quel che luccica

Non sono stati in pochi, negli ultimi decenni, a dedicarsi ossessivamente alla ricerca della sezione aurea nelle espressioni artistiche più disparate, e in particolare nell'architettura, nella musica e nelle arti figurative. Fra i lavori maggiormente citati vi è l'articolo del musicologo Allan W. Atlas Gematria, Marriage Numbers and Golden sections in Dufay’s "Resvellies vous", pubblicato nel 1987 su Acta Musicologica. Il riferimento è ad una celebre chanson in forma di ballade del compositore quattrocentesco Guillaume Du Fay (o Dufay), Resvellies vous et faites chiere lye, eseguita per la prima volta il 18 luglio del 1423, in occasione delle nozze, celebrate a Rimini, di Vittoria di Lorenzo Colonna e Carlo Malatesta:

 

(la composizione più celebrata di Guillaume Du Fay è probabilmente il mottetto Nuper rosarum flores, dedicata alla Cattedrale di Santa Maria del Fiore in occasione della sua consacrazione, il 25 marzo del 1436).

L'autore, dopo aver identificato tutta una serie di corrispondenze numerologiche, improvvisa una discutibile definizione della sezione aurea (in cui omette gli aspetti geometrici, che nel '400 sarebbero stati preponderanti), applicandola in seguito all'analisi del brano. La sua conclusione è che Dufay avrebbe situato i passaggi più significativi tenendo conto dei numeri di Fibonacci, il cui rapporto, come si sa, fornisce approssimazioni vieppiù precise del valore di $\phi$ (essenzialmente, quello che Eric Whitacre ha fatto 500 anni più tardi, vedi qui). Bello, no? 

No. È un'altra musicologa, Ruth Tatlow, a smontare pezzo per pezzo il castello costruito da Atlas, nel saggio The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today, pubblicato nel primo numero del web journal Understanding Bach. In particolare, è praticamente impossibile che Dufay fosse a conoscenza della relazione tra sezione aurea e numeri di Fibonacci: è sì vero che questi ultimi furono descritti dal matematico pisano duecento anni prima, ma non si ha traccia di intuizioni che li colleghino a $\phi$ prima degli ultimi decenni del '500. Il salto dai conigli alla musica, insomma, ai tempi di Dufay non sarebbe stato plausibile ancora per un paio di secoli. 

La Tatlow chiama golden numberism la propensione a trovare la sezione aurea ovunque la si cerchi. E ciò non succede solo in musica: ad esempio, Manuel Bastioni, qui e qui, prova a confutare la tesi secondo cui la sezione aurea abbia avuto un ruolo nella costruzione della piramide di Cheope. E non è per niente chiaro se i famosi rettangoli di Piet Mondrian siano stati veramente concepiti come rettangoli aurei (anche se questo lavoro sembra suggerirlo). 

Interessante la conclusione della Tatlow: golden numberism has thoroughly infected musicology. There is a cure.

Variante (aurea pure questa)

La successione di Lucas (François Édouard Anatole Lucas, 1842-1891; di lui parlerò ancora a breve)  $$(\ell_n)_{n \ge 0} = (2,1,3,4,7,11,18,29,47,76, 123,\ldots)$$ viene definita in modo analogo alla successione di Fibonacci, partendo però da $\ell_0=2$ e $\ell_1=1$. Analogamente a quanto visto nel precedente post, essa può venir estesa agli indici negativi; vale in particolare $$\ell_{-n}=(-1)^n \ell_n \quad.$$

Una formula di Binet $$\ell(n)=\phi^n+\rho^n$$ permette poi nuovamente di considerare la funzione $\ell(t)$ come la parametrizzazione di una curva nel piano di Gauss. Eccola per $t\ge0$:

... e per $t<0$:

Aureo pure questo

Ho già parlato, in questo blog (qui e qui, in particolare), della formula di Binet

$$f_n=\frac{\phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}}$$

che permette, a partire da

$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cong1.618\quad\text{e}\quad\rho=-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cong-0.618$$

di produrre la successione di Fibonacci

$$(f_n)_{n\ge 0}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots) \quad.$$

La formula di Binet rappresenta quindi una funzione 

$$f\,:\, \mathbb N\cup\{0\} \, \to \, \mathbb N \quad,$$

estendibile senza problemi anche agli interi negativi: utilizzando gli esponenti negativi $-1,-2,-3,\ldots$ essa produce la successione 

$$(f_{n})_{n< 0}=(1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,\ldots) \quad.$$

che continua a soddisfare la relazione

$$f_{n-1}+f_n=f_{n+1} \quad.$$

Ma si potrebbe andare oltre, come propongono Merve Özvatan e Oktay Pashaev dell'Izmir Institute of Technology nel saggio Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves, considerando più in generale esponenti reali. Di primo acchito la cosa potrebbe sembrare insensata, dal momento che $\rho$ è negativo, ma nulla impedisce di far ricorso ai numeri complessi: in $\mathbb C$ una potenza viene definita da

$$z^t=e^{t{\rm{Ln}}(z)} \quad,$$
dove $\rm{Ln}$ rappresenta il valore principale del logaritmo, dato da
$${\rm{Ln}}(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\quad,\quad\text{con}\; \;\varphi\in]-\pi,\pi] \;.$$

Ciò permette di considerare la formula di Binet come la parametrizzazione di una curva nel piano complesso; con $t\in\mathbb R$ si definisce

$$f(t)=\frac{\phi^t-\rho^t}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^t-e^{t{\rm{Ln}}(\rho)}}{\sqrt{5}}$$
dove
$${\rm{Ln}}(\rho) =\ln(-\rho)+i\pi\cong -0.48+3.14i \quad.$$

Rappresentiamo la curva per $t\ge0$ nel piano di Gauss: essa oscilla attorno all'asse reale, intersecandolo in corrispondenza dei numeri di Fibonacci; il curioso "ricciolo" rappresenta il doppio $1$ all'inizio della successione:

Più interessante ancora è quello che succede quando $t<0$: in questo caso, la formula di Binet parametrizza una spirale, la spirale di Fibonacci-Binet. Dal momento che $f_{n+1} \cong \phi \cdot f_n$, per $n\to\infty$ essa si approccia ad una spirale logaritmica:

Un albero aureo

Tra gli esercizi sulle serie geometriche che propongo agli allievi del corso di III scientifica ce n'è uno carino che coinvolge la sezione aurea in relazione ad un albero binario. Non del tutto inaspettatamente anche qui il rapporto $\phi$ produce il risultato esteticamente più appagante.

Aurea pure questa

Ancora su YouTube, tempo fa mi ero imbattuto in una curiosa equazione, apparentemente complicata dal fatto che somme ed espressioni esponenziali non si stanno particolarmente simpatiche. Si trattava di

$$ 4^x+6^x=9^x \quad. $$

In realtà, la scelta delle tre basi 4, 6 e 9 la rende trattabile senza problemi, trasformandola in un esercizietto da II liceo. Ho ritrovato il foglietto su cui avevo abbozzato la soluzione:

Di nuovo, fa la sua comparsa la costante $\phi$. Wow.

Tra l'altro, più in generale, lo stesso "fenomeno" si produce per ogni equazione della forma

$$a^x+b^x=c^x \quad,$$ se $b$ è la media geometrica $\sqrt{ab}$ di $a$ e $b$.

Strano, ma aureo

Qualche settimana fa, bighellonando su YouTube, mi sono imbattuto nella bizzarra equazione differenziale

$$ f'(x)=f^{-1}(x) $$

(cioè: quale funzione reale ha per derivata la sua inversa?). Non ricordo il link, ma non è stato difficile ricostruire la soluzione: è sufficiente fare la giusta supposizione sulla forma della soluzione (quello che alcuni chiamano familiarmente un Ansatz): essenzialmente, essa risulta dal fatto che per un "monomio" $b \cdot x^a$ (tra virgolette perché l'esponente non si suppone intero) la forma della derivata e dell'inversa si somigliano:

La cosa rimarchevole è che dal confronto dei coefficienti risulta l'equazione aurea $a^2-a-1=0$, e conseguentemente la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ fa la sua apparizione, in ben tre posizioni diverse, nella soluzione

$$ f(x) = \left( \frac{1}{\phi}\right)^{\frac{1}{\phi}} \cdot x^{\phi} \cong 0.743 \cdot x^{1.618} \quad. $$

Get ready for the next wave

Cent'anni fa, l'influenza spagnola si abbattè come un maglio sul mondo intero appena uscito dagli orrori della Grande Guerra. In tre (o forse quattro) ondate, la pandemia scatenata dal virus A/H1N1 spazzò via forse 10, forse 50 o forse anche 100 milioni di vite (la storia dell'identificazione, a decenni di distanza, di tale ceppo virale, è ben raccontata nel libro Flu, della giornalista scientifica Gina Kolata, figlia dell'algebrista Ruth Aaronson, e autrice tra l'altro anche di parecchi articoli di tema matematico per il NY Times, nonché di un recente contributo tradotto su Internazionale sulla vera conclusione di una pandemia). Sicuramente la scarsità di informazioni, la difficoltà di comunicare in modo efficiente  e l'ignoranza contribuirono a conferire al fenomeno le dimensioni che ha avuto. Oggi, fortunatamente, l'ignoranza è meno diffusa, le comunicazioni sono istantanee e le informazioni non mancano. Quindi siamo stati e saremo in grado di reagire efficacemente ad una pandemia.

Oppure no? Non è che ad essere diventate problematiche sono proprio la facilità di comunicare e la sovrabbondanza di informazioni? Com'è possibile orientarsi correttamente, se le spiegazioni di chi è considerato esperto spaziano, senza soluzione di continuità, dal catastrofismo più apocalittico all'ottimismo più sfrenato? Come facciamo ad esempio a credere al (neo-pensionato) "mister Coronavirus" elvetico, che minimizza il ruolo dei giovani nel contagio, quando ci sono studi che sembrano indicare esattamente il contrario?

Data del 13 maggio la prepubblicazione, da parte di una coppia di ricercatori del'ETH (istituzione alla quale sono parecchio affezionato), di uno studio sull'evoluzione della malattia in Svizzera. Il metodo utilizzato differisce per tre aspetti principali dal semplice SIR: innanzitutto, i compartimenti non sono i tre tradizionali (suscettibili, infetti, rimossi), ma ben 9 (suscettibili, esposti, asintomatici infetti, sintomatici, sintomatici in auto-isolamento, ospedalizzati semplici, in cure intense, rimossi, deceduti), ognuno dei quali suddiviso a sua volta in ragione del tempo trascorso; secondariamente, il modello stratifica la popolazione in base all'età, a intervalli di 5 anni (dal momento che le statistiche sembrano mostrare che il virus colpisce in modo diverso giovani e anziani); inoltre, il modello non si basa su equazioni differenziali ma è discreto, operando quindi direttamente per mezzo di vettori, matrici e probabilità di transizione (anche se il termine catena di Markov non compare mai, immagino si tratti di qualcosa di analogo).

Il preprint è scaricabile qui, dal medRxiv. Ovviamente la stampa ci si è buttata a pesce, anche se, come ammettono onestamente gli autori, l'opera non è ancora stata sottoposta al peer-review. Le conclusioni non sono proprio rassicuranti: gli autori prevedono una seconda ondata, che potrebbe condurre a un numero di decessi in Svizzera molto più alto rispetto alla prima (5000 contro 1600). Le simulazioni mostrano inoltre che il numero di vittime potrebbe essere arginato drasticamente (scendendo ad un migliaio), applicando misure scrupolose di contenimento all'interno degli istituti scolastici (alla faccia di chi dice che i ragazzi non sono un veicolo di trasmissione...). 

Delle cicale...

... ci cale, ci cale, ci caleeee, cantava nel lontano 1982 l'indimenticata Heather Parisi (sì, sono riuscito ad infilare pure lei in un blog sulla matematica). E delle cicale cale pure a qualche matematico, vista la propensione di tali rumorosissime bestioline per i numeri primi. Bestioline menzionate nelle news in questi giorni visto il loro "risveglio", dopo 17 anni, in alcune aree degli Stati Uniti (Virginia, West Virginia, Carolina del Nord).

Già, 17 anni. Ricompaiono ogni 17 anni: l'ultima volta, nel 2003, iniziavo la mia avventura nel mondo dell'insegnamento. La penultima, la mano de Dios trafiggeva il malcapitato Shilton. La terzultima Neil Armstrong metteva piede sul suolo lunare (anche se c'è chi non ci crede ancora). La ricomparsa non è ovunque sincronizzata; nel New Jersey, ad esempio, si ripresenteranno il prossimo anno, esattamente 51 anni dopo che Bob Dylan dedicava loro il brano Day of the Locusts (perdoniamo le sue scarse nozioni entomologiche, o forse si tratta di una licenza poetica), in cui il loro canto faceva da sottofondo al suo disagio nell'accettare un honorary degree dall'università di Princeton.

Il calendario relativo all'emersione delle cicale periodiche (Magicicada) si può consultare qui; esso evidenzia cicli di 13 (negli stati del sud) e 17 anni (più a nord), anche se va detto che la periodicità concerne soltanto tre specie di cicale sulle circa 1500 censite.

Come dicevo, numeri primi. Questa peculiarità ha fatto sì che in parecchi si siano cimentati nel tentativo di spiegare da un lato i meccanismi biologici che permettono di sincronizzare i cicli vitali di milioni di individui, e dall'altro come l'evoluzione abbia favorito questo curioso fenomeno. Certo, un numero primo di anni permetterebbe, teoricamente, di minimizzare il contatto con predatori aventi a loro volta cicli pluriennali, ma a quanto pare non ci sono prove della loro esistenza. E poi, perché 13 e 17 e non 11 o 19? In realtà, a quanto ne so, una spiegazione definitiva non esiste. La letteratura scientifica sull'argomento, comunque, abbonda: questo contributo di Robert May, apparso nel '79 su Nature, fa un po' il punto sulle conoscenze del tempo, riferendosi ad alcuni lavori classici più datati (ad esempio questo e questo, degli anni '60); un po' più di recente, approcci computazionali basati su modelli preda/predatore hanno permesso di fare ulteriormente luce sul fenomeno. Questo lavoro, ad esempio (datato 2001), promette addirittura di costruire un algoritmo le cui idee biologiche aprono ad applicazioni nel campo della teoria dei numeri (in particolare alla generazione di numeri primi). Interessante.

Per chi vuole saperne di più sulle cicale, passo ora la parola alla BBC, il miglior ente televisivo al mondo (vi dicono qualcosa Luther, Sherlock e il Dottore?), per un breve ma suggestivo filmato sui simpatici esserini.

... e ancora al cinema

Una cinematografia sterminata come quella di Bollywood non poteva certo farsi sfuggire un personaggio del calibro di Srinivasa Ramanujan. In effetti nel 2014 anche il cinema indiano ha prodotto il suo biopic sulla vita del geniale e sfortunato matematico. Non l'ho visto (non so nemmeno come me lo potrei procurare), ma eccone un trailer:

... e in musica

Da oscura figura di strano matematico (almeno per chi matematico non è), a poco a poco il timido Srinivasa Ramanujan si sta trasformando una sorta di icona culturale. Sono oramai parecchi i volumi, i film e perfino i brani musicali che gli sono stati dedicati. Per quanto riguarda l'aspetto musicale, probabilmente la composizione maggiormente degna di nota è il quartetto per archi in due movimenti The Ramanujan Notebooks, del compositore sudafricano-irlandese Kevin Volans, ispirato ai leggendari Taccuini del Matematico Indiano (raccolti e sviscerati in otto volumi da Bruce Berndt). Eccone il primo movimento:

(qui c'è il secondo).

Tosto, nevvero? Non per niente Volans è allievo di Karlheinz Stockhausen...

Rovistando in giro, si trova anche altro. Ad esempio un misterioso album opera di un'altrettanto misteriosa entità (gruppo? Compositore? Musicista?) nota come F of X, i cui titoli dei brani suonano particolarmente evocativi:

Oppure questa epica rock biografica, opera di un certo Mark Engelberg (il testo è qui):

Ramanujan al (home) cinema

Lo volevo vedere da un po', ma per qualche motivo non c'ero ancora riuscito. Parlo di The man who knew Infinity, biopic sulla vita di Srinivasa Ramanujan tratto dal bel libro di Robert Kanigel (o, meglio, liberamente tratto dalla biografia, visto che gli autori del lungometraggio qualche libertà se la prendono). Tutto sommato non è male, anche se risulta a tratti frammentario e sbrigativo (ma forse, dopo aver visto un tot di serie TV, non sono più abituato ai tempi del cinema). E mi chiedo quanto avrei compreso della trama senza prima aver letto il libro. I personaggi di Hardy e Ramanujan risultano abbastanza ben delineati (dico abbastanza, perché quella di Hardy è una figura così complicata e intrigante da non poter essere condensata in pochi minuti), ma non capisco perché Littlewood (un matematico di importanza certamente pari a Hardy) sia stato ritratto in modo così macchiettistico. E perché l'aneddoto del Taxicab number 1729 sia stato trasportato al di fuori dell'originale contesto ospedaliero.

Al momento il film è visionabile per intero su YouTube, qui. Ma, dal momento che prima o poi sparirà, qui inserisco almeno il trailer:

Tra l'altro, la formula sulle partizioni menzionata nel film è $$
p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}e^{2\pi \sqrt{\frac{n}{6}}} $$ dove $p(n)$ rappresenta il numero di partizioni (non ordinate) di $n\in\mathbb N$, cioè il numero di modi in cui $n$ può essere scritto come somma di numeri positivi. Qui se ne trova una spiegazione. 

Illeggibile

Non mi è capitato spesso di parlar male di un libro. Solitamente, già il fatto che un'autrice o un autore faccia lo sforzo di rendere accattivante un argomento matematico merita un encomio. Ma in questo caso mi sento di fare un'eccezione: il libro 21 teoremi matematici che hanno cambiato il mondo, della matematica, pedagogista e divulgatrice brasiliana Maria Helena Souza, è proprio da buttare. D'accordo, costa poco, e probabilmente, dal momento che i libri più riusciti erano già tutti presi, a Newton Compton non è rimasto da raschiare che il fondo del barile, ma pubblicare un libro così, che a tratti somiglia alle versioni provvisorie delle tesine ("Lavori di maturità") su cui devo intervenire pesantemente con il tratto rosso, è veramente uno spreco della carta sulla quale è stampato. Tra introduzioni storiche superficiali e raffazzonate, teoremi che non sono teoremi, dimostrazioni che non sono dimostrazioni, sviste ed errori, probabilmente a salvarsi è soltanto l'idea (comunque non proprio originale) di scrivere una storia della matematica tramite una scelta di risultati notevoli (peccato che non tutti siano notevoli, e che l'ordine non sia nemmeno cronologico). Qualche chicca, in ordine sparso, trovata riaprendo a casaccio il libro:

• nella stessa pagina (19), alla sezione aurea sono attribuiti due valori diversi, entrambi errati;
• il Teorema di Cartesio sulla curvatura di 4 circonferenze tangenti non ha esattamente cambiato il mondo; inoltre, sembra un corpo estraneo anche all'interno del capitolo che gli è dedicato (dove per lo più si parla di tutt'altro);
• la Congettura di Goldbach diventa, a pag. 114, "ogni numero intero maggiore di 2 può essere scritto come somma di due primi" (provaci con 3 o con 11...);
• l'enunciato del Teorema cinese del resto è incomprensibile, e in parte senza senso (il senso lo si può più o meno capire leggendo l'intero capitolo, ma un teorema dovrebbe sempre essere formulato chiaramente);
• a pag. 129, si parla dell'artista Roger Penrose, che sfrutterebbe "la simmetria per rotazione nelle sue opere"; sono d'accordo, tra i risultati del matematico, fisico e filosofo della scienza ci sono delle vere e proprie opere d'arte, ma l'autrice sapeva di chi stava parlando?
• non ha alcun senso tentare di proporre in un libro di questo tipo argomenti, come la congettura di Shimura-Taniyama-Weil, la cui comprensione va al di là anche delle possibilità del matematico "medio"; 
• a pag. 141 l'autrice sembra proporre una (?) dimostrazione elementare del Teorema fondamentale dell'algebra; si tratta di una scopiazzatura parziale e malfatta dalla pagina di Wikipedia, dove la confusione tra "polinomio reale" e "numero reale" potrebbe indurci a sospettare che l'autrice non ci abbia capito nulla;
• l'enunciato del Teorema di Lagrange a pag. 229 è incompleto (l'autrice dimentica che la funzione dev'essere continua nell'intervallo chiuso); la dimostrazione, poi, è sballata e incompleta;
• il Teorema fondamentale del calcolo (infinitesimale) è mal formulato (che c'entra il "punto c"?), e pure carente graficamente (perché il segno di integrale è confuso con una "f"...);
• l'enunciato del Teorema di Taylor non dice proprio nulla, in particolare sulla convergenza della serie;
• la bibliografia consiste per lo più di testi disponibili solo in lingua portoghese (e il libro "Domare l'infinito" di Stewart diventa "Domandare l'infinito"...).

Peccato, davvero. Con una cura più meticolosa dei particolari il libro sarebbe potuto essere davvero bello. Bello almeno come Journey through Genius, di William Dunham, che di Teoremi ne presenta soltanto 12, ma con una profondità e una cultura di tutt'altro genere (devo ancora terminarlo, ma prima o poi ne parlerò).

D'accordo, sono stato cattivo. Forse a causa di una "doppia reclusione", dato che alla quarantena che ci coinvolge tutti si è aggiunta, l'altro giorno, la frattura di un ossicino di un piede...

John H. Conway & Richard K. Guy, ... - 2020

A poche settimane di distanza, se ne sono purtroppo andati i co-autori del Book of Numbers, John Horton Conway e Richard Kenneth Guy.

John Conway (1937-2020) è stato senz'altro uno dei matematici più geniali ed ecclettici della sua generazione. L'ho più volte menzionato in questo blog, vista la sua visione della matematica, tra il giocoso e il rigoroso, l'ultima volta proprio nel post precedente (mentre lo scrivevo, ero ignaro della sua recente scomparsa). Fra le sue innumerevoli invenzioni, oltre al libro scritto con Guy, potrei menzionare il Monstrous Moonshine, il Teorema Cosmologico, i Numeri Surreali e, naturalmente, l'algoritmo Doomsday e il Game of Life.

La carriera di Richard Guy (1916-2020) spazia su quasi otto decenni; decisivo fu il suo incontro con Paul Erdös, con cui condivise quattro pubblicazioni. Esperto scacchista e editor di riviste sugli scacchi, ebbe un'importante influenza nel campo della matematica ricreativa (oltre che in svariati ambiti della matematica discreta).

Ad accumunare i due matematici, oltre al Libro di numeri, c'è il già menzionato Gioco della vita, l'ipnotico automa cellulare ideato da Conway e studiato da Guy (che, fra le altre cose, descrisse per primo il glider). Le regole sono abbastanza semplici:

Proviamo a giocarci un po' (l'ho rubato qui).

Matematica... In Do

Ho già parlato in qualche occasione di musica minimalista o post-tale (qui, qui e qui), musica la cui architettura non può non stuzzicare la curiosità dell'appassionato di matematica. Il primo brano a cui è stata appioppata l'etichetta di minimalista è il leggendario In C, composto nel 1964 dal visionario musicista statunitense Terry Riley, che ha funto da ispirazione a generazioni di musicisti, non solo nell'ambito della musica "colta" (non è un caso che gli Who abbiano dedicato il titolo di uno dei loro brani più clamorosi per metà al loro "guru" spirituale Meher Baba e per metà proprio a Terry Riley - e l'incipit del pezzo non suona un po' minimalista?), 

Le istruzioni per eseguire il brano, il cui spartito consiste di una sola pagina su cui sono rappresentati 53 frammenti di durata variabile, sono abbastanza semplici: ogni musicista li esegue in ordine, ripetendoli più volte a piacere, senza allontanarsi troppo dagli altri esecutori; l'orchestra idealmente dovrebbe avere circa 35 membri, e la durata del brano dovrebbe essere compresa tra i 45' e l'ora e mezza:

Dicevo che una composizione di questo tipo non può non incuriosire chi si appassiona di matematica. In effetti, nel lavoro Three Mathematical Views of In C, presentato nell'ambito della conferenza Bridges 2014 (il cui scopo è lo studio delle interconnessioni tra matematica, arte, educazione e cultura), il fisico Donald Spector osserva matematicamente il brano di Riley addirittura da tre differenti punti di vista:

• interpretando la ripetizione di uno dei 53 frammenti come una dilatazione locale della linea musicale originale, l'esecuzione del brano da parte di ciascuno dei musicisti viene vista come un diffeomeorfismo con lo spartito originale (come se si trattasse di 53 brandelli di un elastico singolarmente allungabili);
• dal momento che la musica  eseguita da ogni singolo musicista rappresenta una funzione di un diverso cammino tra i 53 frammenti che compongono il brano, e l'effetto sull'ascoltatore è cumulativo, Spector intravede un'analogia con l'integrazione funzionale;
• infine, gli aspetti aleatori dell'esecuzione (vincolati, però, dalla condizione di non distanziare troppo le esecuzioni), che tra l'altro ricordano un po' questo, suggeriscono un'interpretazione nell'ambito degli automi a stati finiti, analogo al Game of Life inventato da John Conway.

Nei 56 anni dalla sua prima esecuzione, il brano di Riley è stato vivisezionato innumerevoli volte, vista la sua seminality; qui, ad esempio, se ne trova una descrizione molto accurata, addirittura con la possibilità di ascoltare singolarmente ognuno dei 53 frammenti e di sperimentare con la struttura del brano.

La prima, mitica registrazione di In C risale al 1968. L'ensemble è composto da soli 11 musicisti, con lo stesso Riley al sassofono. Ascoltiamola:

Molto carina è anche la versione registrata live dell'ensemble belga Ictus nel 2012; eccola su Spotify (per chi ce l'ha...):

E, per finire, qui ce n'è una versione elettronica, opera dell'autore della pagina citata sopra.

La matematica ai tempi del COVID

Anche nella gestione di una crisi come quella attuale la matematica fa la sua parte. L'evoluzione di un'epidemia può essere modellata in modo abbastanza efficace per mezzo di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il più celebre, forse, è quello proposto da Kermack e McKendrick nel 1927. Si tratta di un cosiddetto modello compartimentale (credo si dica così), in cui la popolazione viene suddivisa in comparti permeabili tra loro ma non verso l'esterno, la cui evoluzione è dettata da equazioni differenziali ordinarie. In particolare, in una versione molto semplificata del modello SIR, quasi un "modello-giocattolo", i compartimenti sono tre:

• i cosiddetti suscettibili, cioè la parte della popolazione non ancora infettata, la cui evoluzione nel tempo è descritta dalla funzione $S(t)$;
• gli infettivi, la cui evoluzione è descritta da $I(t)$;
• i rimossi $R(t)$, cioè chi non è più infettabile (immune o deceduto).

Tra le altre cose, il modello esclude nascite o migrazioni, suppone che la probabilità di incontrarsi sia la stessa per ogni coppia di individui, e assume un tempo d'incubazione nullo.

Le tre equazioni che descrivono le dinamiche nella popolazione si possono intuire come segue:

• la diminuzione istantanea dei suscettibili è direttamente proporzionale agli incontri tra suscettibili e infetti: ciò si traduce nell'EDO $$\frac{dS}{dt}=-\beta S(t) I(t)$$
• l'aumento istantaneo dei rimossi è direttamente proporzionale al numero di infetti:$$\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)$$
• dal momento che il numero di individui è costante, vale $$S(t)+I(t)+R(t)=\text{cost.}\;;$$ derivando tale relazione e utilizzando le equazioni viste in precedenza si ricava $$-\beta S(t)I(t)+\frac{dI}{dt}+\gamma I(t)=0\; \iff \; \frac{dI}{dt}=\beta S(t)I(t)-\gamma I(t) .$$ 

Otteniamo quindi il sistema non lineare $$\begin{cases} \frac{dS}{dt} =-\beta S(t) I(t) \\[1mm] \frac{dI}{dt} = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) \\[1mm] \frac{dR}{dt}=\gamma I(t) \end{cases} $$ 

dove $\beta$ e $\gamma$ rappresentano rispettivamente il tasso d'infezione e il tasso medio di guarigione (quest'ultimo è il reciproco della durata media della malattia).

La non-linearità rende problematica la risoluzione del sistema con metodi esatti (ma a quanto pare è possibile ottenerla: si veda qui); è però possibile ricorrere anche a metodi numerici; ad esempio, giocherellando con il comando DEplot di Maple, ponendo $\beta=0.003$ e supponendo una durata media di 7 giorni dell'infezione, partendo da uno 0.01% di contagiati, si ottengono i seguenti grafici per $S$, $I$ e $R$:

Tra l'altro, la seconda equazione può essere riscritta come $$\frac{dI}{dt} = I(t)(\beta S(t)- \gamma) \;;$$ ciò significa che $$ \frac{dI}{dt}<0 \;\iff\; \frac{\beta}{\gamma}S(t)<1 \quad.$$
Nel nostro caso ($\beta=0.003$ e $\gamma=\frac17$), ad esempio, anche il grafico conferma che il numero di contagiati comincia a decrescere quando all'incirca $S<48$.

La scuola ai tempi del COVID

Stiamo in casa. È difficile, sì, ma al momento si tratta dell'unica cosa da fare. Anche la scuola dovrà giocoforza rallentare, dal momento che le forme alternative di didattica non sono certo efficaci come il contatto quotidiano con i nostri studenti. Ma qualcosa organizzeremo, facendo di necessità virtù, consegnando online dispense ed esercizi, restando in contatto in qualche modo. Sarà anche il momento di sperimentare qualcosa di nuovo; ho provato ad allestire, con un treppiede e una videocamera, una modesta "auletta virtuale" nel mio studiolo (perché mi riesce difficile pensare di insegnare senza trovarmi davanti ad una lavagna).

Nelle giornate che hanno preceduto la chiusura, chi più chi meno, in molti abbiamo parlato di epidemie con i nostri allievi. Ovviamente ne hanno parlato i biologi; qualcuno ha parlato di Tucidide e della Guerra del Peloponneso (Libro II, 47-55), altri della del Manzoni e Storia della colonna infame, altri ancora della Spagnola. Per quel che mi riguarda, con gli studenti più avanzati, a un passo dalla maturità (che in qualche modo dovremo dare loro, nonostante tutto), ho fatto appena in tempo ad accennare al ruolo della matematica nella modellizzazione dell'evoluzione di un epidemia, riferendomi al cosiddetto modello SIR. Sarà l'argomento del prossimo post.

C'è un prima e c'è un dopo

Ci sono eventi le cui conseguenze hanno modificato radicalmente il corso della storia. Veri e propri istanti fatali (magari prolungati nel tempo), in cui è ben possibile demarcare un "prima" e un "dopo". La scoperta del fuoco, l'invenzione della ruota, la morte di Cesare, la nascita di Cristo, la caduta dell'impero romano d'occidente, l'incoronazione di Carlo Magno, la scoperta dell'America, la rivoluzione francese, la rivoluzione russa, l'olocausto, la bomba di Hiroshima e tanti, tanti altri sono eventi che hanno segnato la vicenda umana in modo indelebile. I più recenti, poi sono ben impressi nella memoria di chi li ha seguiti in TV, sui giornali o, ultimamente, sul web: l'allunaggio dell'Apollo 11, Chernobyl, la caduta del muro, l'11 settembre. Ci sono poi eventi di portata più personale, che hanno costellato le nostre vite di eventi fausti o infausti. Momenti rimasti indelebili nella nostra memoria, che ci hanno segnato in modi più o meno evidenti.

Anche nella matematica ci sono scoperte, intuizioni, lampi di genio (anche prolungatisi nel tempo) che ne hanno influenzato in modo sostanziale l'evoluzione. Nella sua ultima fatica letteraria, Istanti fatali, Umberto Bottazzini ne identifica sei (l'invenzione dei numeri, gli irrazionali, la natura del pi greco, i numeri complessi, le geometrie non euclidee), costruendoci attorno un viaggio attraverso la storia della disciplina, inframmezzato di innumerevoli riferimenti storici e letterari (da Stendhal alle lettere tra André Weil e la sorella Simone che mettono in risalto la bellezza del ragionamento). Un'opera scorrevole ma profonda, che esplora il percorso della matematica attraverso i secoli da un punto di vista inedito. Val veramente la pena di leggerlo.

Perché dodici?

Ieri ho provato a spiegare, brevissimamente, il problema della scala musicale (essenzialmente, una potenza di 2 non è mai uguale a una potenza di tre) a una seconda scientifica, agganciandomi al fatto che nel temperamento equabile le frequenze delle note costituiscono una progressione geometrica. Non so se l'ho fatto in maniera efficace, ma per me è stata l'occasione di informarmi un po' più a fondo sulla questione. In particolare, ho finalmente capito come, analogamente a quanto si può fare con  il calendario, anche in questo campo le frazioni continue si possano rivelare uno strumento prezioso.

Ne riparlerò; nel frattempo, includo un filmato che mi pare spieghi abbastanza efficacemente, in modo intuitivo, di che cosa si tratta.

Qualche libro, per (ri-)cominciare...

Sei mesi. Tanto è trascorso dall‘ultima volta che ho scritto su questo blog. Sarebbero dovuti essere mesi spensierati, dopo sei anni piuttosto impegnativi. Ma, purtroppo, le cose non vanno sempre come ci si aspetta che vadano.

In questi mesi, comunque, non ho trascurato la matematica. L'ho insegnata, finalmente (quasi) a tempo pieno, e ho perfino tentato di impararne ancora un po', leggendo. Come d'abitudine, ho alternato a opere di alta o bassa narrativa (Atwood, Markaris, Pastor, Dazieri, Ferrero, Malvaldi, Manzini, Lansdale, Simi, ...) e a saggi di vario genere (su Chernobyl, su D'Annunzio, sui casini del Vaticano, ...) anche qualche lettura di carattere matematico. E, come sempre, è passato troppo tempo perché ne possa fare delle recensioni dettagliate. Mi limito quindi a qualche brevissima considerazione.

• Il grande romanzo della matematica, di Mickael Launay. Celebre per il suo canale YouTube, Launay è, oltre che un matematico di spessore, anche un abile divulgatore, e ce lo dimostra con questo best-seller, rivolto al grande (ma proprio grande) pubblico, da cui non esige che qualche vaghissima nozione di matematica. Gradevole, ma più che altro mi è servito da introduzione al ben più esigente...
• Il flauto di Hilbert, di Umberto Bottazzini. L'avevo prelevato da uno scaffale più che altro per trarne qualche spunto per l’introduzione a una lezione tenuta dal prof. Bottazzini nell'ambito di una giornata d’aggiornamento organizzata nel mese di ottobre dalla CMSI. Ma poi, sfogliandolo, mi è venuta voglia di leggerlo, e non me ne sono pentito. Nelle intenzioni dell’autore l’opera, una storia della matematica dalla fine del XVII secolo al secondo dopoguerra, si rivolge "non soltanto a chi possiede una formazione matematica, ma a un pubblico più ampio, interessato a conoscere la storia di una parte così importante della cultura moderna". Certo, conoscere un po' di matematica qui aiuta (anche perché l'autore mostra di conoscerne veramente tanta), ma immagino che anche un pubblico un po' più generalista, sorvolando su qualche dettaglio tecnico, possa trarre profitto dalla lettura. Un libro denso e impegnativo, sì, ma decisamente appagante, la cui struttura, per temi e non strettamente cronologica, lo rende adatto anche a una lettura parziale, secondo l'interesse del momento.
• Caos, di Marco Malvaldi e Stefano Marmi. Una monografia abbastanza breve, com'è nello stile della collana Intersezioni (sottocollana Raccontare la matematica) dell'editore il Mulino. Il rigore nell'esposizione, coniugato con uno stile accattivante, ne fa un testo godibilissimo e nel contempo un'ottima introduzione ad uno dei campi più intriganti della matematica degli ultimi decenni.
• L'equazione degli alef $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, di Carlo Toffalori. Ancora più breve, e ancora edita da Il Mulino, ma in un'altra collana (Formule per leggere il mondo), rappresenta una stringatissima introduzione ai numeri transfiniti e all'ipotesi del continuo, argomenti non proprio per tutti ma estremamente affascinanti, con i quali il matematico non può fare a meno di confrontarsi e nei quali inevitabilmente ci si finisce per smarrire. Ma il naufragar m'è dolce in questo mare...
• La musica dai numeri, di Eli Maor. Quest'anno mi è stata affidata una classe composta da studentesse e studenti intenzionati a seguire un percorso musicale, e per prepararmi avevo letto, già tempo fa, questo pregevole libretto. Mi sono riproposto di rileggerlo con più cura; al momento opportuno ne riparlerò, lo prometto.