Get ready for the next wave

Cent'anni fa, l'influenza spagnola si abbattè come un maglio sul mondo intero appena uscito dagli orrori della Grande Guerra. In tre (o forse quattro) ondate, la pandemia scatenata dal virus A/H1N1 spazzò via forse 10, forse 50 o forse anche 100 milioni di vite (la storia dell'identificazione, a decenni di distanza, di tale ceppo virale, è ben raccontata nel libro Flu, della giornalista scientifica Gina Kolata, figlia dell'algebrista Ruth Aaronson, e autrice tra l'altro anche di parecchi articoli di tema matematico per il NY Times, nonché di un recente contributo tradotto su Internazionale sulla vera conclusione di una pandemia). Sicuramente la scarsità di informazioni, la difficoltà di comunicare in modo efficiente  e l'ignoranza contribuirono a conferire al fenomeno le dimensioni che ha avuto. Oggi, fortunatamente, l'ignoranza è meno diffusa, le comunicazioni sono istantanee e le informazioni non mancano. Quindi siamo stati e saremo in grado di reagire efficacemente ad una pandemia.

Oppure no? Non è che ad essere diventate problematiche sono proprio la facilità di comunicare e la sovrabbondanza di informazioni? Com'è possibile orientarsi correttamente, se le spiegazioni di chi è considerato esperto spaziano, senza soluzione di continuità, dal catastrofismo più apocalittico all'ottimismo più sfrenato? Come facciamo ad esempio a credere al (neo-pensionato) "mister Coronavirus" elvetico, che minimizza il ruolo dei giovani nel contagio, quando ci sono studi che sembrano indicare esattamente il contrario?

Data del 13 maggio la prepubblicazione, da parte di una coppia di ricercatori del'ETH (istituzione alla quale sono parecchio affezionato), di uno studio sull'evoluzione della malattia in Svizzera. Il metodo utilizzato differisce per tre aspetti principali dal semplice SIR: innanzitutto, i compartimenti non sono i tre tradizionali (suscettibili, infetti, rimossi), ma ben 9 (suscettibili, esposti, asintomatici infetti, sintomatici, sintomatici in auto-isolamento, ospedalizzati semplici, in cure intense, rimossi, deceduti), ognuno dei quali suddiviso a sua volta in ragione del tempo trascorso; secondariamente, il modello stratifica la popolazione in base all'età, a intervalli di 5 anni (dal momento che le statistiche sembrano mostrare che il virus colpisce in modo diverso giovani e anziani); inoltre, il modello non si basa su equazioni differenziali ma è discreto, operando quindi direttamente per mezzo di vettori, matrici e probabilità di transizione (anche se il termine catena di Markov non compare mai, immagino si tratti di qualcosa di analogo).

Il preprint è scaricabile qui, dal medRxiv. Ovviamente la stampa ci si è buttata a pesce, anche se, come ammettono onestamente gli autori, l'opera non è ancora stata sottoposta al peer-review. Le conclusioni non sono proprio rassicuranti: gli autori prevedono una seconda ondata, che potrebbe condurre a un numero di decessi in Svizzera molto più alto rispetto alla prima (5000 contro 1600). Le simulazioni mostrano inoltre che il numero di vittime potrebbe essere arginato drasticamente (scendendo ad un migliaio), applicando misure scrupolose di contenimento all'interno degli istituti scolastici (alla faccia di chi dice che i ragazzi non sono un veicolo di trasmissione...). 

La matematica ai tempi del COVID

Anche nella gestione di una crisi come quella attuale la matematica fa la sua parte. L'evoluzione di un'epidemia può essere modellata in modo abbastanza efficace per mezzo di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il più celebre, forse, è quello proposto da Kermack e McKendrick nel 1927. Si tratta di un cosiddetto modello compartimentale (credo si dica così), in cui la popolazione viene suddivisa in comparti permeabili tra loro ma non verso l'esterno, la cui evoluzione è dettata da equazioni differenziali ordinarie. In particolare, in una versione molto semplificata del modello SIR, quasi un "modello-giocattolo", i compartimenti sono tre:

• i cosiddetti suscettibili, cioè la parte della popolazione non ancora infettata, la cui evoluzione nel tempo è descritta dalla funzione $S(t)$;
• gli infettivi, la cui evoluzione è descritta da $I(t)$;
• i rimossi $R(t)$, cioè chi non è più infettabile (immune o deceduto).

Tra le altre cose, il modello esclude nascite o migrazioni, suppone che la probabilità di incontrarsi sia la stessa per ogni coppia di individui, e assume un tempo d'incubazione nullo.

Le tre equazioni che descrivono le dinamiche nella popolazione si possono intuire come segue:

• la diminuzione istantanea dei suscettibili è direttamente proporzionale agli incontri tra suscettibili e infetti: ciò si traduce nell'EDO $$\frac{dS}{dt}=-\beta S(t) I(t)$$
• l'aumento istantaneo dei rimossi è direttamente proporzionale al numero di infetti:$$\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)$$
• dal momento che il numero di individui è costante, vale $$S(t)+I(t)+R(t)=\text{cost.}\;;$$ derivando tale relazione e utilizzando le equazioni viste in precedenza si ricava $$-\beta S(t)I(t)+\frac{dI}{dt}+\gamma I(t)=0\; \iff \; \frac{dI}{dt}=\beta S(t)I(t)-\gamma I(t) .$$ 

Otteniamo quindi il sistema non lineare $$\begin{cases} \frac{dS}{dt} =-\beta S(t) I(t) \\[1mm] \frac{dI}{dt} = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) \\[1mm] \frac{dR}{dt}=\gamma I(t) \end{cases} $$ 

dove $\beta$ e $\gamma$ rappresentano rispettivamente il tasso d'infezione e il tasso medio di guarigione (quest'ultimo è il reciproco della durata media della malattia).

La non-linearità rende problematica la risoluzione del sistema con metodi esatti (ma a quanto pare è possibile ottenerla: si veda qui); è però possibile ricorrere anche a metodi numerici; ad esempio, giocherellando con il comando DEplot di Maple, ponendo $\beta=0.003$ e supponendo una durata media di 7 giorni dell'infezione, partendo da uno 0.01% di contagiati, si ottengono i seguenti grafici per $S$, $I$ e $R$:

Tra l'altro, la seconda equazione può essere riscritta come $$\frac{dI}{dt} = I(t)(\beta S(t)- \gamma) \;;$$ ciò significa che $$ \frac{dI}{dt}<0 \;\iff\; \frac{\beta}{\gamma}S(t)<1 \quad.$$
Nel nostro caso ($\beta=0.003$ e $\gamma=\frac17$), ad esempio, anche il grafico conferma che il numero di contagiati comincia a decrescere quando all'incirca $S<48$.

La scuola ai tempi del COVID

Stiamo in casa. È difficile, sì, ma al momento si tratta dell'unica cosa da fare. Anche la scuola dovrà giocoforza rallentare, dal momento che le forme alternative di didattica non sono certo efficaci come il contatto quotidiano con i nostri studenti. Ma qualcosa organizzeremo, facendo di necessità virtù, consegnando online dispense ed esercizi, restando in contatto in qualche modo. Sarà anche il momento di sperimentare qualcosa di nuovo; ho provato ad allestire, con un treppiede e una videocamera, una modesta "auletta virtuale" nel mio studiolo (perché mi riesce difficile pensare di insegnare senza trovarmi davanti ad una lavagna).

Nelle giornate che hanno preceduto la chiusura, chi più chi meno, in molti abbiamo parlato di epidemie con i nostri allievi. Ovviamente ne hanno parlato i biologi; qualcuno ha parlato di Tucidide e della Guerra del Peloponneso (Libro II, 47-55), altri della del Manzoni e Storia della colonna infame, altri ancora della Spagnola. Per quel che mi riguarda, con gli studenti più avanzati, a un passo dalla maturità (che in qualche modo dovremo dare loro, nonostante tutto), ho fatto appena in tempo ad accennare al ruolo della matematica nella modellizzazione dell'evoluzione di un epidemia, riferendomi al cosiddetto modello SIR. Sarà l'argomento del prossimo post.