Alla ricerca di noi stessi

Quando decisi definitivamente di intraprendere lo studio della matematica (nei primi mesi del 1990, alle soglie della Maturità) sapevo già, in fondo, che prima o poi avrei finito per insegnarla. Quindi iniziai abbastanza presto (era forse il 1992) a frequentare qualche corso di didattica. Non perseverai, però, e con l'inizio dell'attività di ricerca per un po' mi dedicai soprattutto alla geometria algebrica. Tornai ad interessarmi seriamente di insegnamento solo dopo aver conseguito il PhD, ricominciando in pratica da zero, addirittura in una scuola diversa: i corsi seguiti al politecnico, contraddistinti dall'antipatico dogmatismo del pedagogista di riferimento e dall'incoerenza del didatta della matematica, non mi avevano per nulla convinto, e pertanto decisi di trasferirmi (virtualmente, perché il mio ufficio di assistente si trovava a due passi da lì) alla vicina università, dove per un po' mi diedi veramente da fare. Lì credo di aver fatto l'esperienza migliore, soprattutto per quanto riguarda la didattica disciplinare. L'esperienza si interruppe però dopo un anno con il trasferimento, stavolta effettivo, a sud delle Alpi, per iniziare un nuovo percorso di abilitazione, allora imprescindibile per diventare insegnante in Ticino. Dal punto di vista della crescita professionale quest'annata non fu certo indimenticabile, in una scuola che si proclamava sociocostruttivista, ma la cui interpretazione del sociocostruttivismo si limitava in pratica soltanto ad un'acritica esaltazione del "conflitto cognitivo" (non so a quante riprese ci fu propinato il "modello del crepaccio", come se non l'avessimo già capito la prima volta...). Per non parlare del corso di didattica disciplinare, un maldestro tentativo di conciliare le esigenze di due diversi settori scolastici poco compatibili tra loro.

Faccio quindi una certa fatica a esplicitare quanto di buono ci sia stato nei miei percorsi attraverso la didattica. A volte, credo che a fare veramente breccia in me siano state soltanto alcune frasi, che ricordo con particolare chiarezza. Ricordo ad esempio Urs Ruf pronunciare (in tedesco) la frase nelle vostre classi incontrerete certamente studenti più in gamba di voi (ed è stato effettivamente così). E ricordo anche una frase molto illuminante di Peter Gallin (sempre in tedesco): non è possibile diventare insegnanti di matematica senza avere la curiosità di quello che succede nelle teste dei vostri allievi (ne ricordo anche un'altra, pronunciata non so più da chi, in perfetto Züridütsch: quando inizierete ad insegnare, mettete da parte la Freitag e acquistate una valigetta, come se la nostra autorevolezza dipendesse dal modo in cui ci presentiamo; in realtà, si trattò forse di pubblicità occulta, perché pochi giorni prima di iniziare la mia carriera da insegnante acquistai una bellissima tracolla Freitag che mi servì egregiamente per oltre un decennio e che tuttora utilizzo sporadicamente).

Ho ripensato alla frase di Peter Gallin leggendo un libro che si nascondeva forse da un paio d'anni tra gli scaffali della mia (sempre meno) piccola biblioteca, da cui l'avevo distrattamente prelevato per metterlo in valigia pensando di darci un'occhiata durante il mio recente viaggio in Islanda. Lassù non l'ho nemmeno aperto (dando la precedenza al capolavoro di Laxness, Gente indipendente), ma al ritorno invece di riporlo ho deciso di dargli una chance. E non me ne sono pentito.

Il libro è Mathematica, del matematico francese David Bessis (o almeno questo è il titolo dell'edizione che avevo acquistato; ora si chiama La matematica segreta), e tra i suoi intenti principali c'è quello di farci entrare, in qualche modo, dentro la testa del matematico professionista, illustrando quel che succede mentre "fa matematica". E Bessis ci riesce abbastanza bene, innanzitutto cercando di esplicitare il suo percorso "interiore", ripercorrendo le strategie del tutto personali che l'hanno condotto a formarsi le immagini mentali che l'hanno accompagnato attraverso la sua quasi trentennale carriera .  Ma lo fa anche riportando le esperienze di tre veri e propri titani che nel corso della loro carriera hanno a loro volta cercato di mettere a nudo i propri processi cognitivi: René Descartes (con il suo Discours de la méthode), Alexander Grothendieck (con Récoltes et semailles, opera monumentale e a tratti anche un po' delirante, che tra l'altro ho acqustato pochi giorni fa, anche se dubito che la leggerò da cima a fondo) e William Thurston (con gli articoli On proofs and progress and mathematics e Mathematical education). 

Gli spunti di riflessione presenti nel libro sono molteplici. Ad esempio l'autore fa distinzione tra il modo in cui interiorizziamo la matematica e il modo in cui la descriviamo, quasi come se si trattasse di due matematiche differenti, evidenziando le difficoltà nel tradurre in spiegazioni le immagini mentali che sviluppiamo. A questo proposito, ho trovato piuttosto calzante il parallelismo con l'operazione di allacciarsi una scarpa: si tratta di una procedura che abbiamo automatizzato, ma che avremmo grosse difficoltà a descrivere a parole (ho chiesto di farlo a ChatGPT e a dire il vero c'è riuscito, in modo abbastanza convincente). Bessis identifica inoltre tre Sistemi di funzionamento del nostro cervello: il primo, istintivo, agisce immediatamente ed è più propenso all'errore; il secondo, procedurale, applica le regole apprese; il terzo, introspettivo, agisce più lentamente e in profondità, perfezionando e affinando quanto viene fatto dagli altri due. Interessante.

A permeare il libro inoltre è un'estrema onestà intellettuale, che forse ha fatto sentire anche me un po' meno inadeguato di quanto mi sentissi nel corso dei miei anni da ricercatore. Perché per Bessis è del tutto normale non capire quasi nulla di un seminario di ricerca (come l'iper-specialistico Seminario di teoria dei numeri che mi toccava frequentare ogni venerdì pomeriggio nella gloriosa Hermann Weyl - Zimmer, prendendo freneticamente appunti che tuttora conservo da qualche parte e che a qualcuno prima o poi toccherà cestinare con tutto il materiale cartaceo che accumulo da decenni), come pure non leggere un libro di matematica dall'inizio, ma piuttosto selezionando soltanto quelle parti che più ci concernono (perché, in fondo, molte monografie sono scritte proprio con lo scopo di radunare risultati utili e citabili). 

Forse la cosa che mi ha meno convinto nell'approccio di Bessis è il suo eccessivo ottimismo. Io non credo che, anche con il più ideale degli allenamenti, una vera interiorizzazione della matematica sia davvero alla portata di tutti. La genetica, e in misura forse ancora maggiore gli stimoli dell'ambiente in cui cresciamo, hanno certamente un impatto significativo, e quindi non trovo nulla di male se a volte noi, o i nostri allievi, ci rifugiamo nel confortante "Sistema 2", prediligendo un approccio più algoritmico che introspettivo. Come insegnanti abbiamo certamente la missione di schiudere, almeno un pochino, le porte ad una comprensione più profonda, ma a volte dobbiamo rassegnarci davanti ai limiti oggettivi (e, a volte, al pragmatismo) di chi ci troviamo davanti.

Un bel libro, comunque, non c'è che dire. Che avrei voluto poter leggere molti anni fa... 

Quatuor

Il Quatuor pour la fin du temps per violino, violoncello, clarinetto e pianoforte è certamente uno dei brani più celebri e iconici del repertorio cameristico novecentesco. Composto da Olivier Messiaen mentre era prigioniero nel campo di concentramento di Görlitz, fu eseguito per la prima volta (sempre a Görlitz) il 15 gennaio 1941, con lo stesso Messiaen al pianoforte.

Nel 2016, per celebrare il 75esimo anniversario dalla prima esecuzione, il videoartista Simon Russell realizzò, con la consulenza di Marcus du Sautoy, vecchia conoscenza di questo blog, un cortometraggio basato sul primo degli otto movimenti del Quatuor, Liturgie de cristal. Eccolo.

Alcune delle peculiarità della composizione di Messiaen (che anche in altre occasioni fece sfoggio delle sue competenze matematiche per mezzo della sua musica) vengono illustrate da Du Sautoy in un suo vecchio blog. In particolare, ma non solo, è interessante l'uso che fa dei numeri primi 17 (per la melodia) e 29 (per l'armonia) per scandire i tempi nella parte del piano, in modo tale da evitare ripetizioni all'interno del brano. Questo fatto viene ripreso dal matematico e divulgatore inglese anche in un articolo più recente, qui.

Scacchi, petrolio e aragoste

 

Chi di noi non ha mai letto Topolino? E chi di noi non ha imparato almeno qualcosina leggendolo (tipo che cos'è il princisbecco, nel mio caso)? E chi non confonde ancora Archimede con Pitagora (per colpa della bizzarra scelta del nome italiano per il personaggio di Gyro Gearloose, il geniale pollo antropomorfo inventato da Carl Barks nel 1952)? A me è capitato alcuni mesi fa, davanti ai genitori di una mia classe (poi, con delicatezza, sono stato corretto dall'insegnante di musica).

Su Topolino 1068 (uscito in edicola il 16 maggio del 1976), uscì la storia Zio Paperone e l'insegnamento di Sissa, (ottimamente) disegnata da Guido Scala, in cui lo sceneggiatore Gian Giacomo Dalmasso utilizzò come espediente narrativo la "leggenda degli scacchi" per costruire un racconto decisamente godibile nella sua sconclusionatezza, in cui il "raddoppio" già citato da Dante nel Paradiso (Canto XXVIII, vv. 91-93) viene dapprima spiegato dai (sempre saccenti) nipotini e poi sfruttato a vantaggio dapprima di Paperino (che comunque finirà per essere, come sempre, gabbato) e soprattutto dal facoltoso zione. Un fumetto d'altri tempi, istruttivo e scritto con un italiano decisamente aulico per gli standard odierni (non so in quanti, tra i miei allievi liceali, comprenderebbero senza ricorrere al cellulare vocaboli come "vilipendio", "ubertoso", "mercede" o "malnato"). Tra l'altro, in una vignetta Dalmasso fa uso anche del termine "fantastiliardo", a quanto pare una sua invenzione.

Qualcosa però nel racconto non quadra: a detta dei nipotini, il numero complessivo di chicchi di riso sulla scacchiera ammonterebbe a 

$$18\,452\,648\,916\,001\,461\,572$$

(18 trilioni e un po'); il numero corretto è invece 

$$\sum_{k=0}^{63}2^k = 1+2+4+\ldots+2^{63} = 2^{64}-1 =18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$$

(la somma dei primi 64 termini di una progressione geometrica di primo termine $1$ e ragione $2$). L'ordine di grandezza, comunque, è corretto, e immagino che nel 1976 una precisione fino all'unità per un numero così imponente non sarebbe stata per niente scontata.

A casa della scienziata santa

 

A Montevecchia, affascinante villaggio posto su una collina che si affaccia da un lato sul capoluogo meneghino (di cui si distinguono abbastanza chiaramente, nonostante la foschia, gli edifici più imponenti) e dall'altro sul parco del Curone (con le sue misteriose (?) piramidi), ai piedi della scalinata che conduce al santuario della Beata Vergine del Carmelo, sorge la vetusta villa Agnesi Albertoni, dove "giovinetta e ottuagenaria allietò nella pace la sua vita umile e grande" Maria Gaetana Agnesi, come recita la targa posta davanti alla cancellata. 

Ci siamo imbattuti nella targa per puro caso, a dire il vero, alla ricerca di un luogo per un aperitivo tranquillo, dopo l'escursione circolare nel parco (compresa l'ascesa a due delle "piramidi"). Una bella scoperta.

Otis King

 

Otis Carter Formby King (1876-1944) fu un ingegnere britannico, noto per aver prodotto una versione cilindrica del regolo logaritmico. Essenzialmente, arrotolò su sé stesso oltre un metro e mezzo di regolo, in modo tale da ottenerne in forma compatta una versione più precisa. La sua invenzione fu commercializzata per una cinquantina d'anni, tra gli anni '20 e gli anni '70.

Ovviamente, dopo averne visto un esemplare in mano a un collega (grazie Renzo, e bentornato!), non ho potuto fare a meno di procurarmene uno a mia volta (un modello "K", in realtà non mi è costato molto), da aggiungere alla mia piccola collezione di curiosità matematiche...

Quattrocentesimo post

 

Letture...

 

Le mie letture matematiche si sono un po' diradate. Non saprei nemmeno dire perché. Dall'estate scorsa ho impilato sulla scrivania, accanto al mio vetusto iMac, i libri di cui avrei voluto parlare qui. Di alcuni, a dire il vero, ricordo pochino. Comunque, eccoli.

• La seconda prova, di Pietro Minto. Ne ho già parlato, fin troppo.
• Mappematica. Come navigare il mondo attraverso i numeri, di Paulina Rowinska. Matematica e geografia: un connubio certamente stuzzicante. Il libro mi ha certamente reso più simpatico un campo dello scibile a cui, forse anche grazie a un insegnante liceale non proprio impeccabile, non avevo mai prestato particolare interesse. Ma non mi ricordo granché del suo contenuto, e non so se questo è un buon segno.
• Quando il futuro sarà storia. Una raccolta di lezioni e conferenze di J. Robert Oppenheimer uscita in un momento in cui, grazie alla grandiosa pellicola diretta da Christopher Nolan, anche una raccolta di liste della spesa del fisico americano avrebbe avuto il suo mercato.
• Euler's pioneering equation, di Robin Wilson. I primi cinque capitoli sono dedicati rispettivamente a 1, 0, pi greco, e, i. E l'ultimo alla straceleberrima equazione che li lega. Un bel libretto, non c'è che dire.
• Mathematicians don't work with numbers, di Richard Poulo. Tanti brevi capitoli dedicati a un sacco di argomenti, tutti ipersemplificati, per cercare di mostrare ad un pubblico più vasto possibile di che cosa si occupa il matematico. Tentativo senz'altro encomiabile, ma... ho cercato di immedesimarmi nel lettore che non conosce già quasi tutto, ricavandone l'impressione che non ci avrei capito quasi nulla. E comunque sì, i matematici di regola non lavorano con i numeri (al limite sui numeri); provare per credere (tipo al momento di splittare il conto al ristorante...).
• Nel segno di Thot, di Alessandro Magrini. Dedicato alla storia dei simboli che rappresentano i numeri. Ho letto con particolare interesse il capitolo dedicato a Gerberto D'Aurillac, di cui, a parte il fatto che è stato papa a cavallo tra il I e il II millennio, non sapevo quasi nulla.
• Dottor No, di Percival Everett. Premio Pulitzer 2025 per James (una rilettura dal punto di vista di Jim dell'Huckleberry Finn di Mark Twain, che mi sto preparando a leggere), si tratta di un divertissement in cui un miliardario un po' alla Elon Musk si dà da fare per trasformarsi in un cattivo bondiano (alla Dr. No, appunto), ingaggiando un logico esperto del "nulla" per rubare il "nulla" custodito nel caveau di Fort Knox. A rendere un po' difficoltosa la lettura è l'intraducibilità di alcuni giochi di parole basate sul termine nothing, che nell'originale rendono più ambiguo il significato di alcune espressioni. Le citazioni matematiche, anche abbastanza raffinate, abbondano, a partire del nome di una delle protagoniste, Eigen Vector ("eigenvector" è un termine tedesco che per qualche motivo è stato adottato dalla lingua inglese; letteralmente significa "vettore proprio", anche se in italiano l'espressione corretta dovrebbe essere autovettore).
• Paura della matematica, di Peter Cameron. Il titolo è ripreso da uno dei racconti che compongono questa breve antologia, imperniato sul rapporto tra una studentessa in procinto di iscriversi ad un MBA allo Columbia, la sua famiglia e il professore che le dà ripetizioni di matematica. Di Cameron ho appena letto anche l'inquietante Cose che succedono la notte, di cui Martin Scorsese sta girando un adattamento per Netflix.

Provaci ancora Pietro...

Il volume La seconda prova di Pietro Minto parte da una premessa senz'altro stuzzicante: un adulto, vent'anni dopo la maturità, decide di ristudiarsi da zero o quasi la matematica delle superiori, materia odiata e ancora fonte di incubi ricorrenti. Ripercorrendo i cinque anni del percorso liceale, si avventura quindi tra numeri, algebra e funzioni, concludendo con la ripetizione della seconda prova scritta dell'esame del 2006. Lo stile è piuttosto gradevole ed accattivante, con un encomiabile intento divulgativo e con una serie di digressioni senz'altro stimolanti (che, fra parentesi, non dovrebbero mai mancare all'interno dell'attività didattica, per intercalare i tecnicismi un po' aridi che a volte ci tocca affrontare e per mostrare che la materia è fatta non solo di formule e teoremi, ma anche e soprattutto di idee, di eventi e di personaggi). 

Fin qui tutto ok, ma purtroppo non me la sento di consigliare il libro. Non a chi voglia utilizzarlo come pretesto per imparare un pochino di matematica, almeno. Perché la matematica del libro, purtroppo, scricchiola parecchio, come fanno notare qui gli autori di MaddMaths, elencando tutta una serie di pecche che giustificherebbero una riedizione dell'opera, dopo averla sottoposta ad un serio e approfondito lavoro di editing (a meno che l'intento dell'editore non fosse quello di pubblicare un testo prettamente matematico, ma piuttosto una sorta di blog cartaceo che testimoniasse sia i successi, sia gli inciampi; in questo caso, però, avrebbe dovuto farcelo sapere in qualche modo, perché altrimenti il lettore potrebbe facilmente essere tratto in inganno...).

Al di là delle tante piccole pecche del libro, a volte classificabili come ingenuità e quindi quasi perdonabili, a farmi strabuzzare gli occhi è stato il tentativo dell'autore, a pagina 125, di affrontare un problema abbastanza classico "di massimo e minimo" (un must alla maturità): a parità di ipotenusa, qual è il triangolo rettangolo di superficie massima? Ecco come lo spiegherei ai miei allievi di III liceo (nei percorsi scientifici) o di IV liceo (nei percorsi non scientifici; qui, il liceo è quadriennale): innanzitutto fisserei la lunghezza dell'ipotenusa, diciamo uguale ad $a$, e indicherei con la variabile libera $x$ la lunghezza di uno dei cateti; l'altro misurerebbe quindi $\sqrt{a^2-x^2}$. La superficie da massimizzare, in funzione di $x$, misurerebbe quindi $$s(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2x^2-x^4}$$(spostare la $x$ nel radicando è un comune "trucchetto" che permette di semplificare la derivazione). Derivando, si ottiene $$s'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a^2x-4x^3}{2\sqrt{a^2x^2-x^4}}=\frac{x(a^2-2x^2)}{2\sqrt{a^2x^2-x^4}}$$ che, uguagliato a zero tenendo conto soltanto della soluzione strettamente positiva, fornisce i due cateti $$x=\frac{a}{\sqrt{2}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}} = x \;.$$ Si tratta quindi del triangolo rettangolo isoscele (e non equilatero, come indicato nel testo).

Nel libro (la pagina è quella riportata sopra) viene indicata con $x$ l'ipotenusa, e rispetto all'ipotenusa si deriva (correttamente, peraltro), considerando quindi costante un cateto $b$, situazione in cui però l'area può diventare arbitrariamente grande. L'espressione ottenuta non ha zeri (il valore per cui il numeratore si annulla, $x=0$, non appartiene al dominio della funzione) e quindi il calculus non fornisce soluzioni (la funzione considerata presenta un minimo, ma in un punto in cui non è derivabile, $x=b$, corrispondente a un triangolo degenere (un segmento)). In realtà, per giungere alla soluzione si sarebbe dovuto considerare $x$ costante e derivare rispetto a $b$ (anche se la scelta delle variabili sarebbe stata un po' fuorviante). Un pasticcio, insomma, condito da una conclusione che non discende certo dalle operazioni effettuate...