Letture...

(un post vecchio, dimenticato da un po'; lo pubblico comunque, anche se sbrigativo e incompleto) 

Qualche lettura estiva ma non troppo, intercalata da Laxness, Tezuka, Child, Murakami, Indridason e parecchi altri ancora (il caldo torrido di quest'estate mi ha indotto a non abbandonare molto spesso la relativa frescura di casa...)

(Estiva, sì. Sono libri che mi fanno compagnia da un po' sulla mia scrivania; nel frattempo se ne sono accumulati altri, di cui parlerò prima o poi)

• Rigore di testa, di Marco Malvaldi e Paolo Cintia. Matematica e calcio: non per niente l'ho letto durante il lungo e un po' stancante mondiale infantiniano (o trumpiano?), che all'inizio mi ha lasciato un po' freddino ma poi, cammin facendo, anche grazie ai piccoli exploit della "rappresentativa rossocrociata" (così la chiamano i telecronisti), ho seguito con interesse sempre maggiore. Il breve saggio di Malvaldi (la cui scrittura è accattivante come sempre) e Cintia (data scientist specializzato nell'analisi di prestazioni calcistiche) ci illumina su alcuni concetti che dalla statistica stanno facendosi strada anche nel linguaggio dello sport (tipo i fantomatici xG, gli expected goals), risuonando ormai anche in qualche telecronaca, e per questo forse andrebbe consultato anche da qualche giornalista sportivo. Un libro non troppo impegnativo che tutto sommato vale la pena di leggere. 
• The Unreasonable Elegance of Mathematics, di Stefan Steinerberger. Divulgazione d'alto livello. Non per tutti, certo (d'altronde, Springer non si rivolge al pubblico generalista). Ma per chi possiede un po' più di un'infarinatura di matematica un interessantissimo giro d'orizzonte: citando a casaccio, il libro ci parla dell'infinito (o degli infiniti), del caos, della logica, della probabilità, della teoria dei giochi... Non dirò di più, per non spoilerare nulla, Leggetelo.
• La matematica della creatività, di Marcus du Sautoy. Altro libro consigliassimo. DuSautoy scrive i libri che vorrei scrivere io se avessi le sue capacità matematiche, la sua arguzia, la sua profondità di pensiero e le sue doti comunicative. Riesce a sorprendermi anche parlando di argomenti, come la sezione aurea, apparentemente triti e ritriti. La lettura risulta senz'altro meno impegnativa rispetto al libro di Steinerberger, ma non meno appagante, anzi. Anche qui non spoilererò nulla. Leggetelo.
• Mathematica, di David Bessis. Ne ho parlato, e bene assai, qui.
• La scomparsa di Majorana, di Leonardo Sciascia. L'ho riletto a distanza di anni, anzi, a dire il vero l'ho ascoltato, approfittando delle ore incluse nel mio abbonamento a Spotify. La matematica c'entra fino a un certo punto, ma Majorana fu (o sarebbe stato) senz'altro un matematico di prim'ordine.
• La cattiva coscienza dei fisici, di Carlo Rovelli. Anche qui siamo al confine della matematica, ma ho trovato interessante la breve dissertazione del mio quasi omonimo (l'ho già detto che Carlo è il mio secondo nome?) sui pericoli di un approccio troppo acritico alla ricerca, specialmente in campo nucleare. Da leggere, anche perché non ci si impiega molto tempo (ma di tempo si potrebbe impiegarne parecchio a riflettere sui suoi contenuti).

Un uomo dal futuro

L'ultima uscita discografica dei Pet Shop Boys (duo synth-pop che seguo da sempre), A Man from the Future, è un concept album dedicato alla vita, alla morte e alle opere di Alan Turing. Realizzato in collaborazione con Andrew Hodges (l'autore di Alan Turing: The Enigma), è una rivisitazione di uno show realizzato nel 2014 per il BBC Prom del 2014, in cui la musica di Neil Tennant e Chris Lowe fa da sfondo alla voce narrante di Juliet Stevenson.

L'estratto riprodotto qui di seguito fa riferimento al lavoro di Turing nella baracca 8 di Bletchley Park (che ho visitato quasi esattamente un anno fa...).

L'ho suonato anch'io!

Alcuni anni fa parlai su questo blog di Deep Field, imponente composizione di Eric Whitacre scandita, a quanto pare, dalla sezione aurea. Orbene, la scorsa settimana ho avuto il piacere e l'onore di eseguirne, con l'Orchestra di fiati della Svizzera italiana accompagnata da un ensemble vocale assemblato ad hoc, la versione per wind band (adattata dallo stesso Whitacre), sotto la coinvolgente e competentissima direzione del Maestro Andrea Cupia. Eccone un pezzettino (spero che nessuno si offenda se lo includo qui; semmai, fate sapere, che lo tolgo...).

(Purtroppo, però, e questa è un notizia freschissima, con questo concerto si è conclusa l'ultratrentennale epopea dell'OFSI. Peccato, peccato davvero. Ma sono stato contento di esserci, le ultime cinque volte.)

Ancora Pitagora (ma in modo più serio)

Dopo il post stupidino di qualche giorno fa, provo a rimediare con qualcosa di più serio, restando comunque in compagnia di Pitagora. Prendo ispirazione dalla data di ieri l'altro (l'ultima terna pitagorica prima del 4 marzo 2105, che forse non mi vedrà più su questa terra).

È abbastanza noto che la formula $(m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)$ produce terne pitagoriche (un semplice esercizio di calcolo letterale), e che con $m$ e $n$ primi tra loro le produce tutte. Molto meno noto, invece,  è che tutte queste si possono disporre  su un albero ternario con radice $(3,4,5)$: basta applicare ripetutamente le tre matrici 

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$$

al vettore colonna $(3 \; 4 \; 5)^T$. Da $(3,4,5)$ nascono così $(5,12,13)$, $(21,20,29)$ e $(15,8,17)$, da ciascuna di queste altre tre, e così via; e ogni terna primitiva compare esattamente una volta (a meno di scambiare i cateti). Verificare che le matrici trasformino terne pitagoriche in terne pitagoriche è un semplice conto: tutte e tre preservano la forma quadratica $a^2+b^2-c^2$. Più intricato è mostrare che ogni terna ci finisce dentro: essenzialmente, applicando l'inversa opportuna l'ipotenusa diventa ad esempio $c'=3c-2a-2b$, che è minore di $c$ (perché $a+b>c$) e rimane positiva, per cui prima o poi si finirà sempre per scendere fino a $(3,4,5)$. 

Il primo ad arrampicarsi sull'albero delle terne pitagoriche, senza far uso del calcolo matriciale, fu probabilmente un tale Berggren nel 1934. Berggren pubblicò però in svedese gli esiti delle sue esplorazioni, lingua non proprio gettonatissima tra i matematici. La cosa passò quindi piuttosto inosservata, tant'è vero che qualche decennio dopo altri due autori, indipendentemente, ripetererono la sua scoperta: F. J. M. Barning (che la pubblicò in olandese, guarda un po') e pure A. Hall. 

Il bello, però, si vede alzando un po' il punto di vista. Preservando $a^2+b^2-c^2$, le tre matrici appartengono al gruppo di Lorentz intero $O(2,1;\mathbb{Z})$, e le terne pitagoriche sono vettori sul cono di luce. Dividendo per $c$, il punto $(\frac{a}{c} \,,\, \frac{b}{c})$ cade sulla circonferenza unitaria, cioè sul bordo del disco di Klein: le terne primitive sono insomma i punti all'infinito razionali del piano iperbolico, e l'albero è l'ombra combinatoria della tassellazione generata dalle riflessioni nei lati di un triangolo iperbolico di angoli $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$ e $0$. Non male, per una manciata di numeri che conoscono anche i sassi...

(Con tanti ringraziamenti a Mattia, che mi ha segnalato la data di sabato, e a Jean-Claude, che ha accelerato non di poco la stesura di questo post)

Pitagora

Questo blog è silente da un un bel po'. Negli ultimi mesi gli impegni, soprattutto quelli musicali, si sono portati via buona parte del mio tempo libero. Rompo il silenzio con un post stupidino, su una canzone stupidina, che ricordo di aver sentito canticchiare da mio papà qualche decennio fa.