L'ho suonato anch'io!

Alcuni anni fa parlai su questo blog di Deep Field, imponente composizione di Eric Whitacre scandita, a quanto pare, dalla sezione aurea. Orbene, la scorsa settimana ho avuto il piacere e l'onore di eseguirne, con l'Orchestra di fiati della Svizzera italiana accompagnata da un ensemble vocale assemblato ad hoc, la versione per wind band (adattata dallo stesso Whitacre), sotto la coinvolgente e competentissima direzione del Maestro Andrea Cupia. Eccone un pezzettino (spero che nessuno si offenda se lo includo qui; semmai, fate sapere, che lo tolgo...).

(Purtroppo, però, e questa è un notizia freschissima, con questo concerto si è conclusa l'ultratrentennale epopea dell'OFSI. Peccato, peccato davvero. Ma sono stato contento di esserci, le ultime cinque volte.)

Ancora Pitagora (ma in modo più serio)

Dopo il post stupidino di qualche giorno fa, provo a rimediare con qualcosa di più serio, restando comunque in compagnia di Pitagora. Prendo ispirazione dalla data di ieri l'altro (l'ultima terna pitagorica prima del 4 marzo 2105, che forse non mi vedrà più su questa terra).

È abbastanza noto che la formula $(m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)$ produce terne pitagoriche (un semplice esercizio di calcolo letterale), e che con $m$ e $n$ primi tra loro le produce tutte. Molto meno noto, invece,  è che tutte queste si possono disporre  su un albero ternario con radice $(3,4,5)$: basta applicare ripetutamente le tre matrici 

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$$

al vettore colonna $(3 \; 4 \; 5)^T$. Da $(3,4,5)$ nascono così $(5,12,13)$, $(21,20,29)$ e $(15,8,17)$, da ciascuna di queste altre tre, e così via; e ogni terna primitiva compare esattamente una volta (a meno di scambiare i cateti). Verificare che le matrici trasformino terne pitagoriche in terne pitagoriche è un semplice conto: tutte e tre preservano la forma quadratica $a^2+b^2-c^2$. Più intricato è mostrare che ogni terna ci finisce dentro: essenzialmente, applicando l'inversa opportuna l'ipotenusa diventa ad esempio $c'=3c-2a-2b$, che è minore di $c$ (perché $a+b>c$) e rimane positiva, per cui prima o poi si finirà sempre per scendere fino a $(3,4,5)$. 

Il primo ad arrampicarsi sull'albero delle terne pitagoriche, senza far uso del calcolo matriciale, fu probabilmente un tale Berggren nel 1934. Berggren pubblicò però in svedese gli esiti delle sue esplorazioni, lingua non proprio gettonatissima tra i matematici. La cosa passò quindi piuttosto inosservata, tant'è vero che qualche decennio dopo altri due autori, indipendentemente, ripetererono la sua scoperta: F. J. M. Barning (che la pubblicò in olandese, guarda un po') e pure A. Hall. 

Il bello, però, si vede alzando un po' il punto di vista. Preservando $a^2+b^2-c^2$, le tre matrici appartengono al gruppo di Lorentz intero $O(2,1;\mathbb{Z})$, e le terne pitagoriche sono vettori sul cono di luce. Dividendo per $c$, il punto $(\frac{a}{c} \,,\, \frac{b}{c})$ cade sulla circonferenza unitaria, cioè sul bordo del disco di Klein: le terne primitive sono insomma i punti all'infinito razionali del piano iperbolico, e l'albero è l'ombra combinatoria della tassellazione generata dalle riflessioni nei lati di un triangolo iperbolico di angoli $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$ e $0$. Non male, per una manciata di numeri che conoscono anche i sassi...

(Con tanti ringraziamenti a Mattia, che mi ha segnalato la data di sabato, e a Jean-Claude, che ha accelerato non di poco la stesura di questo post)

Pitagora

Questo blog è silente da un un bel po'. Negli ultimi mesi gli impegni, soprattutto quelli musicali, si sono portati via buona parte del mio tempo libero. Rompo il silenzio con un post stupidino, su una canzone stupidina, che ricordo di aver sentito canticchiare da mio papà qualche decennio fa.

Alla ricerca di noi stessi

Quando decisi definitivamente di intraprendere lo studio della matematica (nei primi mesi del 1990, alle soglie della Maturità) sapevo già, in fondo, che prima o poi avrei finito per insegnarla. Quindi iniziai abbastanza presto (era forse il 1992) a frequentare qualche corso di didattica. Non perseverai, però, e con l'inizio dell'attività di ricerca per un po' mi dedicai soprattutto alla geometria algebrica. Tornai ad interessarmi seriamente di insegnamento solo dopo aver conseguito il PhD, ricominciando in pratica da zero, addirittura in una scuola diversa: i corsi seguiti al politecnico, contraddistinti dall'antipatico dogmatismo del pedagogista di riferimento e dall'incoerenza del didatta della matematica, non mi avevano per nulla convinto, e pertanto decisi di trasferirmi (virtualmente, perché il mio ufficio di assistente si trovava a due passi da lì) alla vicina università, dove per un po' mi diedi veramente da fare. Lì credo di aver fatto l'esperienza migliore, soprattutto per quanto riguarda la didattica disciplinare. L'esperienza si interruppe però dopo un anno con il trasferimento, stavolta effettivo, a sud delle Alpi, per iniziare un nuovo percorso di abilitazione, allora imprescindibile per diventare insegnante in Ticino. Dal punto di vista della crescita professionale quest'annata non fu certo indimenticabile, in una scuola che si proclamava sociocostruttivista, ma la cui interpretazione del sociocostruttivismo si limitava in pratica soltanto ad un'acritica esaltazione del "conflitto cognitivo" (non so a quante riprese ci fu propinato il "modello del crepaccio", come se non l'avessimo già capito la prima volta...). Per non parlare del corso di didattica disciplinare, un maldestro tentativo di conciliare le esigenze di due diversi settori scolastici poco compatibili tra loro.

Faccio quindi una certa fatica a esplicitare quanto di buono ci sia stato nei miei percorsi attraverso la didattica. A volte, credo che a fare veramente breccia in me siano state soltanto alcune frasi, che ricordo con particolare chiarezza. Ricordo ad esempio Urs Ruf pronunciare (in tedesco) la frase nelle vostre classi incontrerete certamente studenti più in gamba di voi (ed è stato effettivamente così). E ricordo anche una frase molto illuminante di Peter Gallin (sempre in tedesco): non è possibile diventare insegnanti di matematica senza avere la curiosità di quello che succede nelle teste dei vostri allievi (ne ricordo anche un'altra, pronunciata non so più da chi, in perfetto Züridütsch: quando inizierete ad insegnare, mettete da parte la Freitag e acquistate una valigetta, come se la nostra autorevolezza dipendesse dal modo in cui ci presentiamo; in realtà, si trattò forse di pubblicità occulta, perché pochi giorni prima di iniziare la mia carriera da insegnante acquistai una bellissima tracolla Freitag che mi servì egregiamente per oltre un decennio e che tuttora utilizzo sporadicamente).

Ho ripensato alla frase di Peter Gallin leggendo un libro che si nascondeva forse da un paio d'anni tra gli scaffali della mia (sempre meno) piccola biblioteca, da cui l'avevo distrattamente prelevato per metterlo in valigia pensando di darci un'occhiata durante il mio recente viaggio in Islanda. Lassù non l'ho nemmeno aperto (dando la precedenza al capolavoro di Laxness, Gente indipendente), ma al ritorno invece di riporlo ho deciso di dargli una chance. E non me ne sono pentito.

Il libro è Mathematica, del matematico francese David Bessis (o almeno questo è il titolo dell'edizione che avevo acquistato; ora si chiama La matematica segreta), e tra i suoi intenti principali c'è quello di farci entrare, in qualche modo, dentro la testa del matematico professionista, illustrando quel che succede mentre "fa matematica". E Bessis ci riesce abbastanza bene, innanzitutto cercando di esplicitare il suo percorso "interiore", ripercorrendo le strategie del tutto personali che l'hanno condotto a formarsi le immagini mentali che l'hanno accompagnato attraverso la sua quasi trentennale carriera .  Ma lo fa anche riportando le esperienze di tre veri e propri titani che nel corso della loro carriera hanno a loro volta cercato di mettere a nudo i propri processi cognitivi: René Descartes (con il suo Discours de la méthode), Alexander Grothendieck (con Récoltes et semailles, opera monumentale e a tratti anche un po' delirante, che tra l'altro ho acqustato pochi giorni fa, anche se dubito che la leggerò da cima a fondo) e William Thurston (con gli articoli On proofs and progress and mathematics e Mathematical education). 

Gli spunti di riflessione presenti nel libro sono molteplici. Ad esempio l'autore fa distinzione tra il modo in cui interiorizziamo la matematica e il modo in cui la descriviamo, quasi come se si trattasse di due matematiche differenti, evidenziando le difficoltà nel tradurre in spiegazioni le immagini mentali che sviluppiamo. A questo proposito, ho trovato piuttosto calzante il parallelismo con l'operazione di allacciarsi una scarpa: si tratta di una procedura che abbiamo automatizzato, ma che avremmo grosse difficoltà a descrivere a parole (ho chiesto di farlo a ChatGPT e a dire il vero c'è riuscito, in modo abbastanza convincente). Bessis identifica inoltre tre Sistemi di funzionamento del nostro cervello: il primo, istintivo, agisce immediatamente ed è più propenso all'errore; il secondo, procedurale, applica le regole apprese; il terzo, introspettivo, agisce più lentamente e in profondità, perfezionando e affinando quanto viene fatto dagli altri due. Interessante.

A permeare il libro inoltre è un'estrema onestà intellettuale, che forse ha fatto sentire anche me un po' meno inadeguato di quanto mi sentissi nel corso dei miei anni da ricercatore. Perché per Bessis è del tutto normale non capire quasi nulla di un seminario di ricerca (come l'iper-specialistico Seminario di teoria dei numeri che mi toccava frequentare ogni venerdì pomeriggio nella gloriosa Hermann Weyl - Zimmer, prendendo freneticamente appunti che tuttora conservo da qualche parte e che a qualcuno prima o poi toccherà cestinare con tutto il materiale cartaceo che accumulo da decenni), come pure non leggere un libro di matematica dall'inizio, ma piuttosto selezionando soltanto quelle parti che più ci concernono (perché, in fondo, molte monografie sono scritte proprio con lo scopo di radunare risultati utili e citabili). 

Forse la cosa che mi ha meno convinto nell'approccio di Bessis è il suo eccessivo ottimismo. Io non credo che, anche con il più ideale degli allenamenti, una vera interiorizzazione della matematica sia davvero alla portata di tutti. La genetica, e in misura forse ancora maggiore gli stimoli dell'ambiente in cui cresciamo, hanno certamente un impatto significativo, e quindi non trovo nulla di male se a volte noi, o i nostri allievi, ci rifugiamo nel confortante "Sistema 2", prediligendo un approccio più algoritmico che introspettivo. Come insegnanti abbiamo certamente la missione di schiudere, almeno un pochino, le porte ad una comprensione più profonda, ma a volte dobbiamo rassegnarci davanti ai limiti oggettivi (e, a volte, al pragmatismo) di chi ci troviamo davanti.

Un bel libro, comunque, non c'è che dire. Che avrei voluto poter leggere molti anni fa... 

Quatuor

Il Quatuor pour la fin du temps per violino, violoncello, clarinetto e pianoforte è certamente uno dei brani più celebri e iconici del repertorio cameristico novecentesco. Composto da Olivier Messiaen mentre era prigioniero nel campo di concentramento di Görlitz, fu eseguito per la prima volta (sempre a Görlitz) il 15 gennaio 1941, con lo stesso Messiaen al pianoforte.

Nel 2016, per celebrare il 75esimo anniversario dalla prima esecuzione, il videoartista Simon Russell realizzò, con la consulenza di Marcus du Sautoy, vecchia conoscenza di questo blog, un cortometraggio basato sul primo degli otto movimenti del Quatuor, Liturgie de cristal. Eccolo.

Alcune delle peculiarità della composizione di Messiaen (che anche in altre occasioni fece sfoggio delle sue competenze matematiche per mezzo della sua musica) vengono illustrate da Du Sautoy in un suo vecchio blog. In particolare, ma non solo, è interessante l'uso che fa dei numeri primi 17 (per la melodia) e 29 (per l'armonia) per scandire i tempi nella parte del piano, in modo tale da evitare ripetizioni all'interno del brano. Questo fatto viene ripreso dal matematico e divulgatore inglese anche in un articolo più recente, qui.