Provaci ancora Pietro...

Il volume La seconda prova di Pietro Minto parte da una premessa senz'altro stuzzicante: un adulto, vent'anni dopo la maturità, decide di ristudiarsi da zero o quasi la matematica delle superiori, materia odiata e ancora fonte di incubi ricorrenti. Ripercorrendo i cinque anni del percorso liceale, si avventura quindi tra numeri, algebra e funzioni, concludendo con la ripetizione della seconda prova scritta dell'esame del 2006. Lo stile è piuttosto gradevole ed accattivante, con un encomiabile intento divulgativo e con una serie di digressioni senz'altro stimolanti (che, fra parentesi, non dovrebbero mai mancare all'interno dell'attività didattica, per intercalare i tecnicismi un po' aridi che a volte ci tocca affrontare e per mostrare che la materia è fatta non solo di formule e teoremi, ma anche e soprattutto di idee, di eventi e di personaggi). 

Fin qui tutto ok, ma purtroppo non me la sento di consigliare il libro. Non a chi voglia utilizzarlo come pretesto per imparare un pochino di matematica, almeno. Perché la matematica del libro, purtroppo, scricchiola parecchio, come fanno notare qui gli autori di MaddMaths, elencando tutta una serie di pecche che giustificherebbero una riedizione dell'opera, dopo averla sottoposta ad un serio e approfondito lavoro di editing (a meno che l'intento dell'editore non fosse quello di pubblicare un testo prettamente matematico, ma piuttosto una sorta di blog cartaceo che testimoniasse sia i successi, sia gli inciampi; in questo caso, però, avrebbe dovuto farcelo sapere in qualche modo, perché altrimenti il lettore potrebbe facilmente essere tratto in inganno...).

Al di là delle tante piccole pecche del libro, a volte classificabili come ingenuità e quindi quasi perdonabili, a farmi strabuzzare gli occhi è stato il tentativo dell'autore, a pagina 125, di affrontare un problema abbastanza classico "di massimo e minimo" (un must alla maturità): a parità di ipotenusa, qual è il triangolo rettangolo di superficie massima? Ecco come lo spiegherei ai miei allievi di III liceo (nei percorsi scientifici) o di IV liceo (nei percorsi non scientifici; qui, il liceo è quadriennale): innanzitutto fisserei la lunghezza dell'ipotenusa, diciamo uguale ad $a$, e indicherei con la variabile libera $x$ la lunghezza di uno dei cateti; l'altro misurerebbe quindi $\sqrt{a^2-x^2}$. La superficie da massimizzare, in funzione di $x$, misurerebbe quindi $$s(x) = \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2x^2-x^4}$$(spostare la $x$ nel radicando è un comune "trucchetto" che permette di semplificare la derivazione). Derivando, si ottiene $$s'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a^2x-4x^3}{2\sqrt{a^2x^2-x^4}}=\frac{x(a^2-2x^2)}{2\sqrt{a^2x^2-x^4}}$$ che, uguagliato a zero tenendo conto soltanto della soluzione strettamente positiva, fornisce i due cateti $$x=\frac{a}{\sqrt{2}} \qquad\text{e}\qquad \sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}} = x \;.$$ Si tratta quindi del triangolo rettangolo isoscele (e non equilatero, come indicato nel testo).

Nel libro (la pagina è quella riportata sopra) viene indicata con $x$ l'ipotenusa, e rispetto all'ipotenusa si deriva (correttamente, peraltro), considerando quindi costante un cateto $b$, situazione in cui però l'area può diventare arbitrariamente grande. L'espressione ottenuta non ha zeri (il valore per cui il numeratore si annulla, $x=0$, non appartiene al dominio della funzione) e quindi il calculus non fornisce soluzioni (la funzione considerata presenta un minimo, ma in un punto in cui non è derivabile, $x=b$, corrispondente a un triangolo degenere (un segmento)). In realtà, per giungere alla soluzione si sarebbe dovuto considerare $x$ costante e derivare rispetto a $b$ (anche se la scelta delle variabili sarebbe stata un po' fuorviante). Un pasticcio, insomma, condito da una conclusione che non discende certo dalle operazioni effettuate...