martedì 25 agosto 2020

... ma non è tutto aureo quel che luccica

Non sono stati in pochi, negli ultimi decenni, a dedicarsi ossessivamente alla ricerca della sezione aurea nelle espressioni artistiche più disparate, e in particolare nell'architettura, nella musica e nelle arti figurative. Fra i lavori maggiormente citati vi è l'articolo del musicologo Allan W. Atlas Gematria, Marriage Numbers and Golden sections in Dufay’s "Resvellies vous", pubblicato nel 1987 su Acta Musicologica. Il riferimento è ad una celebre chanson in forma di ballade del compositore quattrocentesco Guillaume Du Fay (o Dufay), Resvellies vous et faites chiere lye, eseguita per la prima volta il 18 luglio del 1423, in occasione delle nozze, celebrate a Rimini, di Vittoria di Lorenzo Colonna e Carlo Malatesta:

 

(la composizione più celebrata di Guillaume Du Fay è probabilmente il mottetto Nuper rosarum flores, dedicata alla Cattedrale di Santa Maria del Fiore in occasione della sua consacrazione, il 25 marzo del 1436).

L'autore, dopo aver identificato tutta una serie di corrispondenze numerologiche, improvvisa una discutibile definizione della sezione aurea (in cui omette gli aspetti geometrici, che nel '400 sarebbero stati preponderanti), applicandola in seguito all'analisi del brano. La sua conclusione è che Dufay avrebbe situato i passaggi più significativi tenendo conto dei numeri di Fibonacci, il cui rapporto, come si sa, fornisce approssimazioni vieppiù precise del valore di $\phi$ (essenzialmente, quello che Eric Whitacre ha fatto 500 anni più tardi, vedi qui). Bello, no? 

No. È un'altra musicologa, Ruth Tatlow, a smontare pezzo per pezzo il castello costruito da Atlas, nel saggio The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today, pubblicato nel primo numero del web journal Understanding Bach. In particolare, è praticamente impossibile che Dufay fosse a conoscenza della relazione tra sezione aurea e numeri di Fibonacci: è sì vero che questi ultimi furono descritti dal matematico pisano duecento anni prima, ma non si ha traccia di intuizioni che li colleghino a $\phi$ prima degli ultimi decenni del '500. Il salto dai conigli alla musica, insomma, ai tempi di Dufay non sarebbe stato plausibile ancora per un paio di secoli. 

La Tatlow chiama golden numberism la propensione a trovare la sezione aurea ovunque la si cerchi. E ciò non succede solo in musica: ad esempio, Manuel Bastioni, qui e qui, prova a confutare la tesi secondo cui la sezione aurea abbia avuto un ruolo nella costruzione della piramide di Cheope. E non è per niente chiaro se i famosi rettangoli di Piet Mondrian siano stati veramente concepiti come rettangoli aurei (anche se questo lavoro sembra suggerirlo). 

Interessante la conclusione della Tatlow: golden numberism has thoroughly infected musicology. There is a cure.

venerdì 14 agosto 2020

Variante (aurea pure questa)

La successione di Lucas (François Édouard Anatole Lucas, 1842-1891; di lui parlerò ancora a breve)  $$(\ell_n)_{n \ge 0} = (2,1,3,4,7,11,18,29,47,76, 123,\ldots)$$ viene definita in modo analogo alla successione di Fibonacci, partendo però da $\ell_0=2$ e $\ell_1=1$. Analogamente a quanto visto nel precedente post, essa può venir estesa agli indici negativi; vale in particolare $$\ell_{-n}=(-1)^n \ell_n \quad.$$
Una formula di Binet $$\ell(n)=\phi^n+\rho^n$$ permette poi nuovamente di considerare la funzione $\ell(t)$ come la parametrizzazione di una curva nel piano di Gauss. Eccola per $t\ge0$:

... e per $t<0$: