Per me, la corazzata Potemkin...

 ... (e non Kotiomkin) non è una cagata pazzesca (confesso, però, che ho visto i primi due film di Fantozzi un numero imprecisato di volte). Anche perché, tra i numerosi escamotages di montaggio ("il montaggio analogico!") del maestro Eisenstein (e non Einstein) (che non ha, credo, nessun rapporto di parentela con il grande Gotthold Eisenstein) vi è, come spiegato qui, la suddivisione aurea dei capitoli. In effetti (ho più  o meno verificato di persona), il rapporto tra la durata totale del lungometraggio e l'inizio della scena cult (quella ambientata sulla scalinata di Odessa - "l'occhio della madre!", "gli stivali dei soldati!", "la carrozzina!") è pressappoco uguale a 1,62. 

Se qualcuno vuole verificare di persona, può farlo qui di seguito. Si tratta di una versione restaurata, sincronizzata con la colonna sonora composta nel 2005 dai Pet Shop Boys, eseguita dal vivo con la Filarmonica di Dresda.

Tra l'altro, forse non tutti sanno che quelli mostrati nel Secondo tragico Fantozzi non sono spezzoni tratti dal capolavoro della cinematografia sovietica: Luciano Salce non potè, o forse non volle, utilizzare il materiale originale, e rigirò su una scalinata romana le scene necessarie.

La Quinta aurea

Fra i brani spesso menzionati in relazione alla sezione aurea c'è pure la Quinta Sinfonia di Ludwig van Beethoven, citata e stracitata pure nella musica leggera. Le prime cinque battute dell'introduzione (il destino che bussa alla porta) sono ormai leggenda:

 

Come fece notare nel 1978 il didatta della matematica Derek Haylock (in un articolo difficile da reperire, ma essenzialmente replicato qui), nella partitura originale il primo movimento della Sinfonia consiste di 600 battute, e alla 372-esima ritroviamo una ripetizione dell'incipit. I rapporti 600:372 e ancora di più (applicando il trucchetto rivelato qui) 972:600 forniscono approssimazioni abbastanza precise del valore di phi. 

Caso o calcolo? A dire il vero non farebbe una grande differenza. 

Ascoltiamocela, però, in quella che viene da alcuni considerata la migliore interpretazione di sempre, eseguita nel 1974 dai Wiener con la bacchetta di Carlos Kleiber:

Un Mozart aureo?

 

Sono stati in molti, l'ho già scritto, a scandagliare la musica per mezzo della sezione aurea, o addirittura a utilizzarla esplicitamente all'interno delle composizioni (vedi ad es. qui e qui). Nel suo articolo The Golden Section and the piano Sonatas of Mozart (leggibile qui; JSTOR non permette lo scaricamento, ma concede 100 visualizzazioni mensili gratuite), il matematico e insegnante statunitense John Putz prende in esame alcune Sonate per pianoforte del genio salisburghese, indagando il rapporto numerico tra le durate della prima parte (l'esposizione), di durata $a$, e la seconda (sviluppo e ricapitolazione), di durata $b$. Un grafico a dispersione (scatter plot) delle variabili $a$ e $b$ rivela un'intrigante regolarità:

Tale regolarità sembra ancor più evidente utilizzando le variabili $b$ e $a+b$:

In entrambi i casi, la crescita sembra piuttosto lineare, e una semplice regressione rivela un coefficiente angolare molto vicino a $\varphi=\frac{1}{\phi}=1-\phi \cong 0.62$ (nel primo caso $0.6260$, nel secondo $0.6091$). Sembrerebbe quindi che Mozart, che una certa propensione per la matematica effettivamente l'aveva, abbia più o meno consapevolmente abbellito alcune sue composizioni impiegando la sezione aurea. Ma è lo stesso Putz a metterci in guardia, da un lato mostrandoci come vincoli ragionevoli sulle durate $a$ e $b$ non conducano lontano da $\frac{a}{b}=\varphi$, dall'altro insegnandoci come "barare" per mezzo della relazione, valida se $0\le a \le b$,
$$
\left| \frac{b}{a+b}-\varphi \right| \le \left| \frac{a}{b}-\varphi \right|
$$

che ci suggerisce che, per convincere il pubblico del fatto che il rapporto tra due grandezze $a$ e $b$ è aureo, converrà sempre esibire $\frac{b}{a+b}$ piuttosto che $\frac{a}{b}$.
 

... ma non è tutto aureo quel che luccica

Non sono stati in pochi, negli ultimi decenni, a dedicarsi ossessivamente alla ricerca della sezione aurea nelle espressioni artistiche più disparate, e in particolare nell'architettura, nella musica e nelle arti figurative. Fra i lavori maggiormente citati vi è l'articolo del musicologo Allan W. Atlas Gematria, Marriage Numbers and Golden sections in Dufay’s "Resvellies vous", pubblicato nel 1987 su Acta Musicologica. Il riferimento è ad una celebre chanson in forma di ballade del compositore quattrocentesco Guillaume Du Fay (o Dufay), Resvellies vous et faites chiere lye, eseguita per la prima volta il 18 luglio del 1423, in occasione delle nozze, celebrate a Rimini, di Vittoria di Lorenzo Colonna e Carlo Malatesta:

 

(la composizione più celebrata di Guillaume Du Fay è probabilmente il mottetto Nuper rosarum flores, dedicata alla Cattedrale di Santa Maria del Fiore in occasione della sua consacrazione, il 25 marzo del 1436).

L'autore, dopo aver identificato tutta una serie di corrispondenze numerologiche, improvvisa una discutibile definizione della sezione aurea (in cui omette gli aspetti geometrici, che nel '400 sarebbero stati preponderanti), applicandola in seguito all'analisi del brano. La sua conclusione è che Dufay avrebbe situato i passaggi più significativi tenendo conto dei numeri di Fibonacci, il cui rapporto, come si sa, fornisce approssimazioni vieppiù precise del valore di $\phi$ (essenzialmente, quello che Eric Whitacre ha fatto 500 anni più tardi, vedi qui). Bello, no? 

No. È un'altra musicologa, Ruth Tatlow, a smontare pezzo per pezzo il castello costruito da Atlas, nel saggio The Use and Abuse of Fibonacci Numbers and the Golden Section in Musicology Today, pubblicato nel primo numero del web journal Understanding Bach. In particolare, è praticamente impossibile che Dufay fosse a conoscenza della relazione tra sezione aurea e numeri di Fibonacci: è sì vero che questi ultimi furono descritti dal matematico pisano duecento anni prima, ma non si ha traccia di intuizioni che li colleghino a $\phi$ prima degli ultimi decenni del '500. Il salto dai conigli alla musica, insomma, ai tempi di Dufay non sarebbe stato plausibile ancora per un paio di secoli. 

La Tatlow chiama golden numberism la propensione a trovare la sezione aurea ovunque la si cerchi. E ciò non succede solo in musica: ad esempio, Manuel Bastioni, qui e qui, prova a confutare la tesi secondo cui la sezione aurea abbia avuto un ruolo nella costruzione della piramide di Cheope. E non è per niente chiaro se i famosi rettangoli di Piet Mondrian siano stati veramente concepiti come rettangoli aurei (anche se questo lavoro sembra suggerirlo). 

Interessante la conclusione della Tatlow: golden numberism has thoroughly infected musicology. There is a cure.

Aureo pure questo

Ho già parlato, in questo blog (qui e qui, in particolare), della formula di Binet

$$f_n=\frac{\phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}}$$

che permette, a partire da

$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cong1.618\quad\text{e}\quad\rho=-\frac{1}{\phi}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cong-0.618$$

di produrre la successione di Fibonacci

$$(f_n)_{n\ge 0}=(0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots) \quad.$$

La formula di Binet rappresenta quindi una funzione 

$$f\,:\, \mathbb N\cup\{0\} \, \to \, \mathbb N \quad,$$

estendibile senza problemi anche agli interi negativi: utilizzando gli esponenti negativi $-1,-2,-3,\ldots$ essa produce la successione 

$$(f_{n})_{n< 0}=(1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,\ldots) \quad.$$

che continua a soddisfare la relazione

$$f_{n-1}+f_n=f_{n+1} \quad.$$

Ma si potrebbe andare oltre, come propongono Merve Özvatan e Oktay Pashaev dell'Izmir Institute of Technology nel saggio Generalized Fibonacci Sequences and Binet-Fibonacci Curves, considerando più in generale esponenti reali. Di primo acchito la cosa potrebbe sembrare insensata, dal momento che $\rho$ è negativo, ma nulla impedisce di far ricorso ai numeri complessi: in $\mathbb C$ una potenza viene definita da

$$z^t=e^{t{\rm{Ln}}(z)} \quad,$$
dove $\rm{Ln}$ rappresenta il valore principale del logaritmo, dato da
$${\rm{Ln}}(re^{i\varphi})=\ln(r)+i\varphi\quad,\quad\text{con}\; \;\varphi\in]-\pi,\pi] \;.$$

Ciò permette di considerare la formula di Binet come la parametrizzazione di una curva nel piano complesso; con $t\in\mathbb R$ si definisce

$$f(t)=\frac{\phi^t-\rho^t}{\sqrt{5}}=\frac{\phi^t-e^{t{\rm{Ln}}(\rho)}}{\sqrt{5}}$$
dove
$${\rm{Ln}}(\rho) =\ln(-\rho)+i\pi\cong -0.48+3.14i \quad.$$

Rappresentiamo la curva per $t\ge0$ nel piano di Gauss: essa oscilla attorno all'asse reale, intersecandolo in corrispondenza dei numeri di Fibonacci; il curioso "ricciolo" rappresenta il doppio $1$ all'inizio della successione:

Più interessante ancora è quello che succede quando $t<0$: in questo caso, la formula di Binet parametrizza una spirale, la spirale di Fibonacci-Binet. Dal momento che $f_{n+1} \cong \phi \cdot f_n$, per $n\to\infty$ essa si approccia ad una spirale logaritmica:

Un albero aureo

Tra gli esercizi sulle serie geometriche che propongo agli allievi del corso di III scientifica ce n'è uno carino che coinvolge la sezione aurea in relazione ad un albero binario. Non del tutto inaspettatamente anche qui il rapporto $\phi$ produce il risultato esteticamente più appagante.

Aurea pure questa

Ancora su YouTube, tempo fa mi ero imbattuto in una curiosa equazione, apparentemente complicata dal fatto che somme ed espressioni esponenziali non si stanno particolarmente simpatiche. Si trattava di

$$ 4^x+6^x=9^x \quad. $$

In realtà, la scelta delle tre basi 4, 6 e 9 la rende trattabile senza problemi, trasformandola in un esercizietto da II liceo. Ho ritrovato il foglietto su cui avevo abbozzato la soluzione:

Di nuovo, fa la sua comparsa la costante $\phi$. Wow.

Tra l'altro, più in generale, lo stesso "fenomeno" si produce per ogni equazione della forma

$$a^x+b^x=c^x \quad,$$ se $b$ è la media geometrica $\sqrt{ab}$ di $a$ e $b$.

Strano, ma aureo

Qualche settimana fa, bighellonando su YouTube, mi sono imbattuto nella bizzarra equazione differenziale

$$ f'(x)=f^{-1}(x) $$

(cioè: quale funzione reale ha per derivata la sua inversa?). Non ricordo il link, ma non è stato difficile ricostruire la soluzione: è sufficiente fare la giusta supposizione sulla forma della soluzione (quello che alcuni chiamano familiarmente un Ansatz): essenzialmente, essa risulta dal fatto che per un "monomio" $b \cdot x^a$ (tra virgolette perché l'esponente non si suppone intero) la forma della derivata e dell'inversa si somigliano:

La cosa rimarchevole è che dal confronto dei coefficienti risulta l'equazione aurea $a^2-a-1=0$, e conseguentemente la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ fa la sua apparizione, in ben tre posizioni diverse, nella soluzione

$$ f(x) = \left( \frac{1}{\phi}\right)^{\frac{1}{\phi}} \cdot x^{\phi} \cong 0.743 \cdot x^{1.618} \quad. $$

Deep field e sezione aurea

Deep Field è una monumentale composizione del pluripremiato musicista statunitense Eric Whitacre, dedicata ai successi del telescopio spaziale Hubble, e in particolare alle immagini Ultra Deep Field di galassie distanti miliardi di anni luce da noi (che rivelano, quindi, il loro aspetto in epoche prossime al big bang). Fa il suo effetto, specie se affiancata al video concepito dallo stesso Whitacre, che gioca con le immagini di Hubble per condurci attraverso l'impossibile magnitudine del nostro universo.

Atteggiamenti da rockstar a parte, Whitacre sembra un personaggio interessante. Nel video che segue illustra l'uso consapevole della sezione aurea nelle sue composizioni, dove spesso i passaggi più significativi sono situati temporalmente proprio tenendo conto di essa.

Fibonacci e Binet - 1

È più o meno noto a tutti che vi è un rapporto tra i numeri di Fibonacci $$ 1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,89,\,144,\,\ldots$$ e la sezione aurea $$ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad. $$

Meno noto è il fatto che la sezione aurea $\phi$ compare in una formula esplicita per calcolare i termini della successione di Fibonacci, attribuita al matematico francese Jacques Philippe Marie Binet ma già nota in precedenza, ad esempio a Abraham de Moivre.

Tale formula può essere derivata in svariati modi. Ad esempio, come mostrano le slides incluse qui (preparate una dozzina d'anni fa per un corso di Didattica della matematica all'Uni di Zurigo, e in seguito tradotte in italiano per una "Giornata autogestita" del Liceo), linearizzando le potenze di $\phi$.

Girasoli e libellule

(Grazie a Christian per la segnalazione su FB).

Ho trovato molto carino il video Nature by Numbers, dell'illustratore e animatore iberico Cristóbal Vila (il suo portfolio virtuale è qui). Esso illustra alcuni aspetti del rapporto tra matematica e natura in un modo molto immediato e spettacolare (magari "barando" un po'...), in particolare per quanto riguarda i numeri di Fibonacci e la sezione aurea (temi classici, insomma) e le cosiddette tassellazioni di Voronoi. Suggestiva anche la colonna sonora "minimalista" del compositore belga Wim Mertens.

Non mi dilungo oltre. Il video vale veramente la pena di essere visto, magari in HD (peccato che Vila non ne permetta la visione su TV e iphone...). Sul sito dell'autore sono disponibili alcuni approfondimenti di carattere matematico (in inglese e spagnolo).