Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 11 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
11^{16} = 45\,949\,729\,863\,572\,161 \cong 4,59 \cdot 10^{16}
$$
(45 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):

Un Mozart aureo?

 

Sono stati in molti, l'ho già scritto, a scandagliare la musica per mezzo della sezione aurea, o addirittura a utilizzarla esplicitamente all'interno delle composizioni (vedi ad es. qui e qui). Nel suo articolo The Golden Section and the piano Sonatas of Mozart (leggibile qui; JSTOR non permette lo scaricamento, ma concede 100 visualizzazioni mensili gratuite), il matematico e insegnante statunitense John Putz prende in esame alcune Sonate per pianoforte del genio salisburghese, indagando il rapporto numerico tra le durate della prima parte (l'esposizione), di durata $a$, e la seconda (sviluppo e ricapitolazione), di durata $b$. Un grafico a dispersione (scatter plot) delle variabili $a$ e $b$ rivela un'intrigante regolarità:

Tale regolarità sembra ancor più evidente utilizzando le variabili $b$ e $a+b$:

In entrambi i casi, la crescita sembra piuttosto lineare, e una semplice regressione rivela un coefficiente angolare molto vicino a $\varphi=\frac{1}{\phi}=1-\phi \cong 0.62$ (nel primo caso $0.6260$, nel secondo $0.6091$). Sembrerebbe quindi che Mozart, che una certa propensione per la matematica effettivamente l'aveva, abbia più o meno consapevolmente abbellito alcune sue composizioni impiegando la sezione aurea. Ma è lo stesso Putz a metterci in guardia, da un lato mostrandoci come vincoli ragionevoli sulle durate $a$ e $b$ non conducano lontano da $\frac{a}{b}=\varphi$, dall'altro insegnandoci come "barare" per mezzo della relazione, valida se $0\le a \le b$,
$$
\left| \frac{b}{a+b}-\varphi \right| \le \left| \frac{a}{b}-\varphi \right|
$$

che ci suggerisce che, per convincere il pubblico del fatto che il rapporto tra due grandezze $a$ e $b$ è aureo, converrà sempre esibire $\frac{b}{a+b}$ piuttosto che $\frac{a}{b}$.
 

5, 10, 20, 30, 36...

... quarantatré. Chi, se non il più geniale tra i compositori del periodo classico, avrebbe potuto rendere memorabile, musicandola, una banale (ma non poi così tanto; la somma è il quadrato di 12; sarà una caso?) sequenza di sei numeri? Ascoltare per credere (è circa a 6:05 dall'inizio, ma ascoltatevi anche l'Ouverture, sublime nell'interpretazione di Harnoncourt; e poi andate a 48:40...).

Un'altra celeberrima sequenza numerica Mozartiana (640, 231, 100, 91, 1003) compare nel Catalogo delle conquiste del dissoluto punito.

Ho trascorso parte delle vacanze pasquali a Vienna, cadendo vittima del fascino delle composizioni mozartiane grazie a un (turistico ma efficace) concerto nella Goldene Saal del Musikverein (comprendente buona parte del Requiem) e a una versione ammodernata (e difficilina) della Clemenza di Tito alla Staatsoper, che ho inflitto anche a moglie&figli. Da allora ascolto Mozart di continuo (anche nella versione Reloaded di Stefan Obermeier), tanto che le sue melodie mi risuonano in testa nei momenti più inattesi. Ma credo non sia un caso: probabilmente il buon Wolfgang è il compositore più apprezzato dai matematici, che ne hanno sezionato la musica alla ricerca di rapporti numerici interessanti (come la sezione aurea che, a dire il vero, a cercarla si trova un po' ovunque...). Pare, comunque, che il Compositore fosse genuinamente affascinato dai numeri, e alcune testimonianze (della sorella, in particolare) lo descrivono nell'atto di scribacchiare formule e numeri sui margini dei suoi spartiti (si veda anche qui). E a lui viene comunemente attribuito un celebre Musikalisches Würfelspiel, gioco che ricombina le battute pre-composte di un brano musicale sulla base del lancio di dadi (tra l'altro, è possibile giocarci nel corso della visita alla Haus der Musik); in questo Mozart sarebbe quindi tra i precursori della cosiddetta musica aleatoria che, ad esempio grazie a John Cage, nel XX secolo ha raggiunto livelli decisamente fuori di testa...

Ah, e poi c'è l'effetto Mozart: a quanto pare, l'ascolto della musica di Mozart favorirebbe nei bambini uno sviluppo del "ragionamento spazio-temporale" (da qualche parte ho letto che ha un effetto positivo anche sulla crescita della lattuga). Credo che lo possiamo archiviare alla voce "baggianate pseudoscientifiche". Godiamoci piuttosto il genio mozartiano per quello che è: musica sublime.