Dopo il post stupidino di qualche giorno fa, provo a rimediare con qualcosa di più serio, restando comunque in compagnia di Pitagora. Prendo ispirazione dalla data di ieri l'altro (l'ultima terna pitagorica prima del 4 marzo 2105, che forse non mi vedrà più su questa terra).
È abbastanza noto che la formula $(m^2-n^2,\,2mn,\,m^2+n^2)$ produce terne pitagoriche (un semplice esercizio di calcolo letterale), e che con $m$ e $n$ primi tra loro le produce tutte. Molto meno noto, invece, è che tutte queste si possono disporre su un albero ternario con radice $(3,4,5)$: basta applicare ripetutamente le tre matrici
$$A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}$$
al vettore colonna $(3 \; 4 \; 5)^T$. Da $(3,4,5)$ nascono così $(5,12,13)$, $(21,20,29)$ e $(15,8,17)$, da ciascuna di queste altre tre, e così via; e ogni terna primitiva compare esattamente una volta (a meno di scambiare i cateti). Verificare che le matrici trasformino terne pitagoriche in terne pitagoriche è un semplice conto: tutte e tre preservano la forma quadratica $a^2+b^2-c^2$. Più intricato è mostrare che ogni terna ci finisce dentro: essenzialmente, applicando l'inversa opportuna l'ipotenusa diventa ad esempio $c'=3c-2a-2b$, che è minore di $c$ (perché $a+b>c$) e rimane positiva, per cui prima o poi si finirà sempre per scendere fino a $(3,4,5)$.
Il primo ad arrampicarsi sull'albero delle terne pitagoriche, senza far uso del calcolo matriciale, fu probabilmente un tale Berggren nel 1934. Berggren pubblicò però in svedese gli esiti delle sue esplorazioni, lingua non proprio gettonatissima tra i matematici. La cosa passò quindi piuttosto inosservata, tant'è vero che qualche decennio dopo altri due autori, indipendentemente, ripetererono la sua scoperta: F. J. M. Barning (che la pubblicò in olandese, guarda un po') e pure A. Hall.
Il bello, però, si vede alzando un po' il punto di vista. Preservando $a^2+b^2-c^2$, le tre matrici appartengono al gruppo di Lorentz intero $O(2,1;\mathbb{Z})$, e le terne pitagoriche sono vettori sul cono di luce. Dividendo per $c$, il punto $(\frac{a}{c} \,,\, \frac{b}{c})$ cade sulla circonferenza unitaria, cioè sul bordo del disco di Klein: le terne primitive sono insomma i punti all'infinito razionali del piano iperbolico, e l'albero è l'ombra combinatoria della tassellazione generata dalle riflessioni nei lati di un triangolo iperbolico di angoli $\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{4}$ e $0$. Non male, per una manciata di numeri che conoscono anche i sassi...
(Con tanti ringraziamenti a Mattia, che mi ha segnalato la data di sabato, e a Jean-Claude, che ha accelerato non di poco la stesura di questo post)
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