Da semplici a impossibili

Per qualche motivo, nel corso del periodo Edo della storia giapponese (1603-1868) vigeva la curiosa usanza di esporre, nei templi buddisti o shintoisti, tavolette votive a tema geometrico. Si trattava dei cosiddetti Sangaku (算額), che consistevano di problemi o teoremi illustrati su tavole di legno, spesso incentrati sulle proprietà delle circonferenze. Alcuni di essi sono facilmente proponibili anche alle prime classi liceali (o forse anche più presto), come i seguenti due, dove si tratta di ricavare la relazione tra i raggi di tre circonferenze tangenti tra loro e a una stessa retta e il raggio del cerchio inscritto tra il quadrato e i due quarti di circonferenza.

Praticamente tutti i Sangaku "sopravvissuti" sono stati risolti o discussi; la stragrande maggioranza di essi richiede soltanto qualche competenza elementare. Fanno eccezione almeno due problemi, discussi in un paio di recenti pubblicazioni. Il primo, la cui irrisolvibilità in termini algebrici viene discussa qui con tecniche che si spingono fino alla teoria di Galois, rimpiazza essenzialmente il circolino del quesito ritratto sopra a sinistra con il più grande quadrato possibile. Il secondo, tratto dal Diario di viaggio di Yamaguchi Kanzan, discusso qui, riguarda tre cerchi inscritti tra un'ellisse e un triangolo rettangolo, e conduce a equazioni a dir poco mostruose. Il paper di Hisoshi Kinoshita contiene però anche un Lemma carino sull'inscrivibilità di due cerchi in un'ellisse, che non mancherò di infliggere a qualche mia classe.

Tra l'altro, ai Sangaku è dedicato anche un periodico online ad accesso libero,  il Sangaku Mathematical Journal, che sembra contenere parecchia matematica elementare interessante.

Rombotriesagonale

... cioè formata da esagoni, contornati da quadrati e triangoli equilateri. È la tassellazione che ricopre parte del pavimento del Battistero paleocristiano di Riva San Vitale (probabilmente originale, e forse risalente a un precedente edificio di epoca romana), il più antico monumento cristiano presente su suolo svizzero (V-VI sec.), che ho brevemente visitato qualche giorno fa (in questo periodo, ci tocca accontentarci delle attrazioni turistiche locali). Si tratta di una delle otto tassellazioni archimedee o semiregolari (semi- perché coinvolgono più di un tipo di poligoni, in questo caso tre), denotata dal Simbolo di Schläfli rr{6,3} (nella notazione „orizzontale“ abbreviata di Norman Johnson), una doppia rettificazione (o cantellazione) di una tassellazione esagonale {6,3} (un alveare).

Per cercare di capire il senso del Simbolo di Schläfli in questo contesto, mentre i miei allievi di prima si esercitavano sui polinomi di II grado, ho fatto distrattamente uno schizzo delle due rettificazioni, da {6,3} a rr{6,3} passando per r{6,3}, la tassellazione triesagonale. Eccolo:

Qualcosina non mi quadra ancora (nella forma dei rettangoli, che nel pavimento sono dei quadrati). Ma suppongo che i simboli di Schläfli (argomento su cui non sono particolarmente ferrato) esprimano la topologia della situazione (e quindi non tengano conto di eventuali deformazioni).

Buonpigiorno!

Per ovvie ragioni, il 14 marzo (3.14 negli USA) è oramai diventato il "$\pi$-day". Sembra che l'idea sia venuta inizialmente al fisico Larry Shaw, per 33 anni attivo all'Exploratorium di San Francisco, dove la ricorrenza viene sottolineata tutti gli anni da una serie di eventi.

Assieme a $\phi$, $\sqrt{2}$ e a $e$, $\pi$ è senz'altro il più noto numero irrazionale. Fu Johann Heinrich Lambert, nel 1761, il primo a dimostrarlo, facendo uso di uno sviluppo della funzione $\tan(x)$ come frazione continua. Da allora in molti hanno presentato dimostrazioni alternative, spesso più semplici. Fra le più carine c'è quella pubblicata da Ivan Niven nel 1947 sul Bulletin of the AMS. Eccola, ci sta tutta qui:

Tra l'altro, la stessa dimostrazione (più o meno) è data per esercizio nel fondamentale Fonctions d'une variable réelle, il volume dedicato dal gruppo Bourbaki ai rudimenti dell'analisi:

A4 e la radice di due

$21 \times 29.7$ ${\rm cm}$. Era più o meno tutto quello che ricordavo dei "fogli A4", forse dai tempi delle lezioni di "Educazione Tecnica" in III media (quando, in contemporanea, le ragazze seguivano ancora il corso di "Lavoro femminile"; altri tempi...). Fino a quando sono inciampato su un esercizio attribuito da un collega, in cui lo standard dei fogli A0, A1, A2 ecc. veniva definito più o meno così:

• la superficie del foglio A0 misura 1 ${\rm m}^2$;
• piegando a metà un foglio An si ottiene il foglio A(n+1), le cui proporzioni rimangono inalterate.

Decisamente più interessante. In effetti, denotando con $a_n$ e $b_n$ i lati (minore e maggiore) del rettangolo An, dalle relazioni tra essi ricaviamo
$$
\begin{cases}
a_0 \cdot b_0 = 1\\
\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_0}{a_0}
\end{cases}
$$
e quindi, dato che $b_1=a_0$ e $a_1=\frac12b_0$,
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{b_1}{a_1}=\frac{a_0}{\frac12b_0}\qquad\iff\quad \left(\frac{b_0}{a_0}\right)^2=2 \;.
$$
Già, il rapporto tra altezza e base (e quindi tra i successivi $a_i$ e $b_i$) è pari a $\sqrt2$. In particolare, da $b_0=\sqrt2 \, a_0=\frac{1}{a_0}$ ricaviamo
$$
a_0=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\quad,\quad a_4=\frac{a_0}{(\sqrt{2})^4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}\cong 0.210 \quad\text{e}\quad b_4=\sqrt{2}\,a_4\cong0.297 \quad.
$$
A quanto pare, il primo a rendersi conto dei vantaggi dell'utilizzo di un rapporto pari a $\sqrt{2}$ fu, nel XVIII secolo, il fisico tedesco Georg C. Lichtenberg. Ma fu Lazare Carnot, nel periodo rivoluzionario, a proporre di ufficializzare i formati che sarebbero poi evoluti dapprima nello standard tedesco DIN 476, e poi successivamente nell'ISO 216.

Ma non ci accontentiamo di fermarci qui. Evidentemente, il rapporto $\frac{b_n}{a_n}$ fornisce una successione di approssimazioni razionali della radice di due (vedi anche qui)
$$
\sqrt{2}\cong 1.41421356723730950488 \quad.
$$
Ad esempio, per il foglio A4 vale
$$
\frac{b_4}{a_4}=\frac{297}{210}=\fbox{$\frac{99}{70}$}=1.4\overline{142857} \quad.
$$
Partendo da A0, dalle misure "ufficiali" si ottiene la successione
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{1189}{841}=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;
\frac{b_1}{a_1}=\frac{841}{594}\;;\;
\frac{b_2}{a_2}=\frac{594}{420}=\fbox{$\frac{99}{70}$}\;;\;
\frac{b_3}{a_3}=\frac{594}{420}=\frac{140}{99}\;.
$$
Per curiosità, ho provato a confrontare tali rapporti con le approssimazioni razionali ottenute dai convergenti dello sviluppo di $\sqrt{2}$ come frazione continua. Innanzitutto, da
$$
\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}
$$
segue che
$$
\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}}=[1;2,2,2,2,\ldots]=[1;\overline{2}] \quad.
$$
I primi convergenti, cioè le approssimazioni razionali ottenute troncando la frazione continua, sono
$$
c_0=1\;;\;c_1=\frac{3}{2}\;;\;c_2=\frac{7}{5}\;;\;c_3=\frac{17}{12}\;;\;c_4=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;c_5=\fbox{$\frac{99}{70}$} \;.
$$
Cioè: le approssimazioni ottenute dai fogli A0, A2 e A4 sono migliori approssimazioni razionali (non migliorabili, cioè, con frazioni dal denominatore più piccolo).