A4 e la radice di due

$21 \times 29.7$ ${\rm cm}$. Era più o meno tutto quello che ricordavo dei "fogli A4", forse dai tempi delle lezioni di "Educazione Tecnica" in III media (quando, in contemporanea, le ragazze seguivano ancora il corso di "Lavoro femminile"; altri tempi...). Fino a quando sono inciampato su un esercizio attribuito da un collega, in cui lo standard dei fogli A0, A1, A2 ecc. veniva definito più o meno così:

• la superficie del foglio A0 misura 1 ${\rm m}^2$;
• piegando a metà un foglio An si ottiene il foglio A(n+1), le cui proporzioni rimangono inalterate.

Decisamente più interessante. In effetti, denotando con $a_n$ e $b_n$ i lati (minore e maggiore) del rettangolo An, dalle relazioni tra essi ricaviamo
$$
\begin{cases}
a_0 \cdot b_0 = 1\\
\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_0}{a_0}
\end{cases}
$$
e quindi, dato che $b_1=a_0$ e $a_1=\frac12b_0$,
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{b_1}{a_1}=\frac{a_0}{\frac12b_0}\qquad\iff\quad \left(\frac{b_0}{a_0}\right)^2=2 \;.
$$
Già, il rapporto tra altezza e base (e quindi tra i successivi $a_i$ e $b_i$) è pari a $\sqrt2$. In particolare, da $b_0=\sqrt2 \, a_0=\frac{1}{a_0}$ ricaviamo
$$
a_0=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\quad,\quad a_4=\frac{a_0}{(\sqrt{2})^4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}\cong 0.210 \quad\text{e}\quad b_4=\sqrt{2}\,a_4\cong0.297 \quad.
$$
A quanto pare, il primo a rendersi conto dei vantaggi dell'utilizzo di un rapporto pari a $\sqrt{2}$ fu, nel XVIII secolo, il fisico tedesco Georg C. Lichtenberg. Ma fu Lazare Carnot, nel periodo rivoluzionario, a proporre di ufficializzare i formati che sarebbero poi evoluti dapprima nello standard tedesco DIN 476, e poi successivamente nell'ISO 216.

Ma non ci accontentiamo di fermarci qui. Evidentemente, il rapporto $\frac{b_n}{a_n}$ fornisce una successione di approssimazioni razionali della radice di due (vedi anche qui)
$$
\sqrt{2}\cong 1.41421356723730950488 \quad.
$$
Ad esempio, per il foglio A4 vale
$$
\frac{b_4}{a_4}=\frac{297}{210}=\fbox{$\frac{99}{70}$}=1.4\overline{142857} \quad.
$$
Partendo da A0, dalle misure "ufficiali" si ottiene la successione
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{1189}{841}=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;
\frac{b_1}{a_1}=\frac{841}{594}\;;\;
\frac{b_2}{a_2}=\frac{594}{420}=\fbox{$\frac{99}{70}$}\;;\;
\frac{b_3}{a_3}=\frac{594}{420}=\frac{140}{99}\;.
$$
Per curiosità, ho provato a confrontare tali rapporti con le approssimazioni razionali ottenute dai convergenti dello sviluppo di $\sqrt{2}$ come frazione continua. Innanzitutto, da
$$
\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}
$$
segue che
$$
\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}}=[1;2,2,2,2,\ldots]=[1;\overline{2}] \quad.
$$
I primi convergenti, cioè le approssimazioni razionali ottenute troncando la frazione continua, sono
$$
c_0=1\;;\;c_1=\frac{3}{2}\;;\;c_2=\frac{7}{5}\;;\;c_3=\frac{17}{12}\;;\;c_4=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;c_5=\fbox{$\frac{99}{70}$} \;.
$$
Cioè: le approssimazioni ottenute dai fogli A0, A2 e A4 sono migliori approssimazioni razionali (non migliorabili, cioè, con frazioni dal denominatore più piccolo).

Frazioni continue e calendari

Gli ultimi tre post mi hanno ricordato un paper letto anni fa, attorno al quale avevo costruito alcune lezioni nell'ambito di un corso opzionale denominato "Applicazioni della Matematica". Si tratta di Modern calendar and continued fractions, di Yury Grabovsky, professore associato alla Temple University, un interessante studio del calendario gregoriano effettuato con l'aiuto delle frazioni continue.

L'antefatto è abbastanza noto: nel 1582 papa Gregorio XIII impose nei paesi cattolici l'adozione di una versione rivista del cosiddetto calendario giuliano (in vigore dal 46 a.C.), che diminuiva da 100 a 97 il numero di anni bisestili in quattro secoli (rendendo "comuni" gli anni multipli di 100 ma non di 400). Ciò ridusse la durata media dell'anno da 365,25 a 365,2425 giorni, avvicinandola al valore effettivo di 365,24219878. Tra l'altro, l'adozione in tempi diversi del "nuovo" calendario è all'origine dell'apparente coincidenza tra le date di morte di William Shakespeare e Miguel de Cervantes (23 aprile 1616; il 23 aprile è la data scelta dall'UNESCO per la Giornata mondiale del libro).

Seguendo Grabovsky, esaminiamo ora il "problema del calendario" con l'aiuto delle frazioni continue. Supponiamo innanzitutto di voler approssimare la durata dell'anno solare inserendo $b$ anni bisestili nel corso di $c$ secoli: la durata media dell'anno solare sarà pari, in giorni, a $$ \frac{365 \cdot 100c+b}{100c}=365+\frac{b}{100c}\; ; $$ di conseguenza dovrà valere $$ 365+\frac{b}{100c} \cong 365,24219878 $$ e quindi $$ \frac{b}{c} \cong 24, 219878 \; . $$ Il problema si riduce quindi alla ricerca di un'approssimazione (razionale) accurata del numero  24,219878. Le frazioni continue si rivelano particolarmente adatte allo scopo: se vale $$ \alpha= a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\ldots}}}= \underbrace{[a_0;a_1,a_2,a_3,\ldots]}_{\text{notazione}} $$ allora, rappresentando con $$ \frac{h_n}{k_n}=[a_0;a_1,a_2,\ldots,a_n]=  a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{a_n}}}} $$ il cosiddetto $n$-esimo convergente si ha $$ \lim_{n\to\infty}\frac{h_n}{k_n}=\alpha $$ (in altre parole: la successione dei convergenti rappresenta approssimazioni sempre più accurate del numero $\alpha$) e se $\frac{a}{b}$ rappresenta una frazione ridotta ai minimi termini vale $$ \left| \alpha -\frac{a}{b} \right| < \left| \alpha -  \frac{h_n}{k_n} \right| \quad\Longrightarrow\quad b > k_n $$ (in altre parole: l'$n$-esimo convergente è più vicino ad $\alpha$ di qualsiasi frazione con denominatore minore di $k_n$, vale a dire che l'approssimazione $\frac{h_n}{k_n}$ è ottimale). Con $\alpha=24, 219878$ si ottiene (con una tecnica ispirata dall'algoritmo euclideo per la divisione) $$ 24, 219878 = 24+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\ldots}}}}= [24;4,1,1,4,\ldots] $$ e quindi i convergenti $$ \frac{h_1}{k_1}=24+\frac{1}{4}=\frac{97}{4} \;,\;  \frac{h_2}{k_2}=24+\frac{1}{4+\frac{1}{1}}=\frac{121}{5} \;,\;   \frac{h_3}{k_3}=\frac{993}{41} \; , \ldots $$ Il primo dei convergenti rappresenta proprio il calendario gregoriano: un ciclo di 4 secoli con 97 anni bisestili. Curiosamente, al team di esperti messi in campo da papa Gregorio era sfuggito (forse a causa dell'imprecisione dei dati astronomici) un semplice modo per rendere ancora più preciso il calendario: un ciclo di 5 secoli con 121 anni bisestili, realizzabile ad esempio eliminando dal calendario giuliano gli anni bisestili multipli di 100 ma non di 500.