A4 e la radice di due

$21 \times 29.7$ ${\rm cm}$. Era più o meno tutto quello che ricordavo dei "fogli A4", forse dai tempi delle lezioni di "Educazione Tecnica" in III media (quando, in contemporanea, le ragazze seguivano ancora il corso di "Lavoro femminile"; altri tempi...). Fino a quando sono inciampato su un esercizio attribuito da un collega, in cui lo standard dei fogli A0, A1, A2 ecc. veniva definito più o meno così:

• la superficie del foglio A0 misura 1 ${\rm m}^2$;
• piegando a metà un foglio An si ottiene il foglio A(n+1), le cui proporzioni rimangono inalterate.

Decisamente più interessante. In effetti, denotando con $a_n$ e $b_n$ i lati (minore e maggiore) del rettangolo An, dalle relazioni tra essi ricaviamo
$$
\begin{cases}
a_0 \cdot b_0 = 1\\
\displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_0}{a_0}
\end{cases}
$$
e quindi, dato che $b_1=a_0$ e $a_1=\frac12b_0$,
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{b_1}{a_1}=\frac{a_0}{\frac12b_0}\qquad\iff\quad \left(\frac{b_0}{a_0}\right)^2=2 \;.
$$
Già, il rapporto tra altezza e base (e quindi tra i successivi $a_i$ e $b_i$) è pari a $\sqrt2$. In particolare, da $b_0=\sqrt2 \, a_0=\frac{1}{a_0}$ ricaviamo
$$
a_0=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\quad,\quad a_4=\frac{a_0}{(\sqrt{2})^4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}\cong 0.210 \quad\text{e}\quad b_4=\sqrt{2}\,a_4\cong0.297 \quad.
$$
A quanto pare, il primo a rendersi conto dei vantaggi dell'utilizzo di un rapporto pari a $\sqrt{2}$ fu, nel XVIII secolo, il fisico tedesco Georg C. Lichtenberg. Ma fu Lazare Carnot, nel periodo rivoluzionario, a proporre di ufficializzare i formati che sarebbero poi evoluti dapprima nello standard tedesco DIN 476, e poi successivamente nell'ISO 216.

Ma non ci accontentiamo di fermarci qui. Evidentemente, il rapporto $\frac{b_n}{a_n}$ fornisce una successione di approssimazioni razionali della radice di due (vedi anche qui)
$$
\sqrt{2}\cong 1.41421356723730950488 \quad.
$$
Ad esempio, per il foglio A4 vale
$$
\frac{b_4}{a_4}=\frac{297}{210}=\fbox{$\frac{99}{70}$}=1.4\overline{142857} \quad.
$$
Partendo da A0, dalle misure "ufficiali" si ottiene la successione
$$
\frac{b_0}{a_0}=\frac{1189}{841}=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;
\frac{b_1}{a_1}=\frac{841}{594}\;;\;
\frac{b_2}{a_2}=\frac{594}{420}=\fbox{$\frac{99}{70}$}\;;\;
\frac{b_3}{a_3}=\frac{594}{420}=\frac{140}{99}\;.
$$
Per curiosità, ho provato a confrontare tali rapporti con le approssimazioni razionali ottenute dai convergenti dello sviluppo di $\sqrt{2}$ come frazione continua. Innanzitutto, da
$$
\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}
$$
segue che
$$
\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}}=[1;2,2,2,2,\ldots]=[1;\overline{2}] \quad.
$$
I primi convergenti, cioè le approssimazioni razionali ottenute troncando la frazione continua, sono
$$
c_0=1\;;\;c_1=\frac{3}{2}\;;\;c_2=\frac{7}{5}\;;\;c_3=\frac{17}{12}\;;\;c_4=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;c_5=\fbox{$\frac{99}{70}$} \;.
$$
Cioè: le approssimazioni ottenute dai fogli A0, A2 e A4 sono migliori approssimazioni razionali (non migliorabili, cioè, con frazioni dal denominatore più piccolo).