- la superficie del foglio A0 misura 1 {\rm m}^2;
- piegando a metà un foglio An si ottiene il foglio A(n+1), le cui proporzioni rimangono inalterate.
Decisamente più interessante. In effetti, denotando con a_n e b_n i lati (minore e maggiore) del rettangolo An, dalle relazioni tra essi ricaviamo
\begin{cases} a_0 \cdot b_0 = 1\\ \displaystyle\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_0}{a_0} \end{cases}
e quindi, dato che b_1=a_0 e a_1=\frac12b_0,
\frac{b_0}{a_0}=\frac{b_1}{a_1}=\frac{a_0}{\frac12b_0}\qquad\iff\quad \left(\frac{b_0}{a_0}\right)^2=2 \;.
Già, il rapporto tra altezza e base (e quindi tra i successivi a_i e b_i) è pari a \sqrt2. In particolare, da b_0=\sqrt2 \, a_0=\frac{1}{a_0} ricaviamo
a_0=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}\quad,\quad a_4=\frac{a_0}{(\sqrt{2})^4}=\frac{1}{4\sqrt[4]{2}}\cong 0.210 \quad\text{e}\quad b_4=\sqrt{2}\,a_4\cong0.297 \quad.
A quanto pare, il primo a rendersi conto dei vantaggi dell'utilizzo di un rapporto pari a \sqrt{2} fu, nel XVIII secolo, il fisico tedesco Georg C. Lichtenberg. Ma fu Lazare Carnot, nel periodo rivoluzionario, a proporre di ufficializzare i formati che sarebbero poi evoluti dapprima nello standard tedesco DIN 476, e poi successivamente nell'ISO 216.
Ma non ci accontentiamo di fermarci qui. Evidentemente, il rapporto \frac{b_n}{a_n} fornisce una successione di approssimazioni razionali della radice di due (vedi anche qui)
\sqrt{2}\cong 1.41421356723730950488 \quad.
Ad esempio, per il foglio A4 vale
\frac{b_4}{a_4}=\frac{297}{210}=\fbox{$\frac{99}{70}$}=1.4\overline{142857} \quad.
Partendo da A0, dalle misure "ufficiali" si ottiene la successione
\frac{b_0}{a_0}=\frac{1189}{841}=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\; \frac{b_1}{a_1}=\frac{841}{594}\;;\; \frac{b_2}{a_2}=\frac{594}{420}=\fbox{$\frac{99}{70}$}\;;\; \frac{b_3}{a_3}=\frac{594}{420}=\frac{140}{99}\;.
Per curiosità, ho provato a confrontare tali rapporti con le approssimazioni razionali ottenute dai convergenti dello sviluppo di \sqrt{2} come frazione continua. Innanzitutto, da
\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{1}{1+\sqrt{2}}=1+\frac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\sqrt{2}}}
segue che
\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}}}=[1;2,2,2,2,\ldots]=[1;\overline{2}] \quad.
I primi convergenti, cioè le approssimazioni razionali ottenute troncando la frazione continua, sono
c_0=1\;;\;c_1=\frac{3}{2}\;;\;c_2=\frac{7}{5}\;;\;c_3=\frac{17}{12}\;;\;c_4=\fbox{$\frac{41}{29}$}\;;\;c_5=\fbox{$\frac{99}{70}$} \;.
Cioè: le approssimazioni ottenute dai fogli A0, A2 e A4 sono migliori approssimazioni razionali (non migliorabili, cioè, con frazioni dal denominatore più piccolo).
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