1, 11, 21,1211,111221,...

... cioè: "uno", "una volta uno", "due volte uno", "una volta due una volta uno"e così via. Probabilmente un po' tutti noi insegnanti di matematica ci siamo visti sottoporre questa bizzarra sequenza di numeri (nota come look-and-say,  numero A005150 dell'OEIS) da qualche intraprendente alunno e probabilmente un po' tutti, dopo aver capito il meccanismo che la genera, l'abbiamo archiviata come una mera curiosità poco matematica. Ma non (come ho appreso leggendo The Irrationals) quel mattacchione di John Horton Conway, che nel saggio The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay prende tale successione terribilmente sul serio, associandole addirittura un enunciato che battezza con il nome altisonante di Teorema Cosmologico. Si tratta in effetti di un risultato piuttosto imprevedibile, che solo una mente non convenzionale come quella del grande matematico inglese avrebbe potuto partorire: essenzialmente, qualunque sia la scelta iniziale delle cifra (non soltanto "1", quindi, ma anche ad esempio "123", che si trasforma in "111213", "31121113" ecc.), a un certo punto (dopo meno di 30 passaggi) il procedimento "look-and-say" (che Conway chiama decadimento audioattivo) finisce per produrre immancabilmente ed esclusivamente allineamenti di sequenze "atomiche" che non interagiscono più con le sequenze vicine, classificate in 92 "elementi comuni" e due "transuranici".

Ma c'è di più: Conway si occupa anche del tasso di crescita delle sue successioni, mostrando che il limite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} $$ del rapporto tra la lunghezza di due termini consecutivi è pari ad una costante algebrica $\lambda \cong 1.303577269$ di grado 71, di cui è in grado di fornire esplicitamente il polinomio minimo:

Weird, nevvero?

L'articolo originale di Conway, piuttosto stringato, fu pubblicato inizialmente su Eureka, magazine dell'Università di Cambridge, e non è di facile reperibilità in rete (anche se da qualche parte lo si trova...). Pare che la dimostrazione originale del Teorema Cosmologico sia andata persa, ma ne esistono di più recenti, ad esempio quella annunciata qui sull'ArXiv. A questo indirizzo è inoltre visionabile una lezione sul decadimento audioattivo.
Il decadimento audioattivo non è l'unica stramberia architettata da quel geniaccio di Conway. A lui si devono anche, in ordine sparso, il gioco della vita, l'algoritmo Doomsday, il FRACTRAN e i numeri surreali. E vale certamente la pena di dare un'occhiata al Book of Numbers, da lui scritto a quattro mani con un altro celebre matematico, Richard K. Guy.