Storie di numeri - 3

Con Il museo dei numeri (sottotitolato Da zero verso l'infinito, storie dal mondo della matematica), anche Piergiorgio Odifreddi si cimenta in un personalissimo catalogo dei numeri e delle loro peculiarità, in un volume elegante e coloratissimo, tipograficamente simile alla sua trilogia geometrica.

Il libro si apre con un breve preambolo dedicato alla genesi dei sistemi di numerazione, per poi condurci in un viaggio da zero alle "superpotenze di 10", mescolando matematica, storia e arte, mostrando ancora una volta, se ce ne fosse bisogno, che, checché se ne dica, la matematica è parte integrante della nostra Cultura, e da essa è  indistricabile.

Purtroppo l'ho letto tempo fa, e il ricordo è un po' sbiadito, ma una cosa la ricordo: non mi sono pentito di averlo acquistato.

Storie di numeri - 2.5

Per accompagnare il libro di Ian Stewart di cui ho brevemente parlato qualche settimana fa è disponibile (qui, a pagamento) l'app per iPad Incredible Numbers by Professor Ian Stewart, una sorta di piccolo laboratorio interattivo che, oltre a presentare in forma succinta le proprietà di una scelta di costanti matematiche, permette di esplorare alcuni ambiti cari al divulgatore inglese (numeri primi, Pi greco, codici segreti, infiniti, ...), il tutto condito da una piccola selezione di rompicapi a sfondo matematico. Ho trovato particolarmente efficace la sezione dedicata al rapporto tra matematica e musica (un mio chiodo fisso, ultimamente), in cui alle ottime descrizioni si affiancano parecchi esperimenti convincenti.

Consigliata (anche perché, come le maggior parte delle app, non costa poi molto...).

Storie di numeri - 2

Uscito nel 2015, Professor Stewart's Incredible Numbers (in italiano: Numeri incredibili) rappresenta una vera e propria abbuffata di numeri, da zero a $\mathfrak c$. L'autore, Ian Stewart, è forse il più noto divulgatore contemporaneo della matematica, e in questo libro dà nuovamente sfogo alla sua enciclopedica cultura. 

La prima parte del volume, Numeri piccoli, è dedicata ai numeri naturali da $1$ a $10$, e ci permette di scoprire, ad esempio, che $1$ un tempo era primo e ora non lo è più, che il kissing number nel piano è pari a $6$, che per colorare una mappa su un toro occorrono $7$ colori e che $8$ è una delle 4 potenze perfette comprese tra i numeri di Fibonacci (fatto che riprenderò nel prossimo post). Si passa poi agli interi (zero e $-1$, in particolare), all'unità immaginaria $i$, ad alcuni razionali (come il celebre $\frac{22}{7}$) e, finalmente, agli irrazionali, tra cui troviamo, oltre ai consueti $\sqrt{2}$, $e$ e $\pi$, anche la costante $\gamma$ di Eulero-Mascheroni, la costante di Apéry $\zeta(3)$, e pure $\sqrt[12]{2}$, che permette un'interessante digressione sul rapporto tra musica e matematica. Incontriamo poi altri numeri naturali, piccoli e grandi, tra cui l'$11$ della teoria delle stringhe, il $23$ del paradosso dei compleanni e il $43\,252\,003\,274\,489\,856\,000$ del cubo di Rubik. Si decolla poi verso l'infinito, con $\aleph_0$ e il già citato $\mathfrak c$, la cardinalità del continuo. Il finale ha un tono più scherzoso, e ci mostra che anche un numero apparentemente insignificante come il $42$, ironicamente individuato da Douglas Adams come "la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'Universo e tutto quanto" non è poi così banale come sembra. 
Decisamente uno fra i più interessanti libri di divulgazione che mi sia capitato di leggere. Consigliatissimo.
 

Storie di numeri - 1

S'intitola semplicemente Numeri il saggio pubblicato un annetto fa dal matematico, storico della matematica e divulgatore Umberto Bottazzini per l'editore  il Mulino. Abbastanza breve e di agile lettura, il volumetto, senza scendere troppo nei particolari, ci conduce attraverso millenni di storia della matematica, dall'osso di Vestonice (ca. 30000 a.C.) ai teoremi di Gödel, parlandoci da un lato dell'evoluzione della nozione di numero, dall'altro del modo in cui i numeri vengono scritti. Gli argomenti trattati sono piuttosto classici, e all'autore riesce di trasmetterceli con un linguaggio semplice e diretto, adatto anche al lettore occasionale. L'ordine dei capitoli del libro è prevalentemente cronologico: l'apertura è dedicata alla nascita del "senso del numero", comprendendo anche qualche considerazione sulla percezione numerica nel mondo animale. Si prosegue con la rappresentazione dei numeri nell'antichità (babilonese e egizia, in particolare), per poi passare alla matematica "vera", con le scoperte della matematica greca (come l'incommensurabilità tra segmenti, che in ambito numerico si traduce nell'irrrazionalità, i numeri primi e i numeri perfetti), con una serie di flash-forward che essenzialmente traducono nel linguaggio numerico le intuizioni prevalentemente geometriche proprie della matematica di Euclide & co.

A fare da spartiacque tra gli argomenti "classici" e moderni (numeri complessi, reali e oltre) vi è poi un capitolo sulle figure degli indi, ossia le "cifre arabe", migrate da oriente a occidente in particolare grazie a Fibonacci e al suo Liber abaci.

Insomma, un libro ricco di spunti, che ben si presta all'introduzione in un universo, quello numerico, in cui perdersi (piacevolmente) non è difficile.

1, 11, 21,1211,111221,...

... cioè: "uno", "una volta uno", "due volte uno", "una volta due una volta uno"e così via. Probabilmente un po' tutti noi insegnanti di matematica ci siamo visti sottoporre questa bizzarra sequenza di numeri (nota come look-and-say,  numero A005150 dell'OEIS) da qualche intraprendente alunno e probabilmente un po' tutti, dopo aver capito il meccanismo che la genera, l'abbiamo archiviata come una mera curiosità poco matematica. Ma non (come ho appreso leggendo The Irrationals) quel mattacchione di John Horton Conway, che nel saggio The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay prende tale successione terribilmente sul serio, associandole addirittura un enunciato che battezza con il nome altisonante di Teorema Cosmologico. Si tratta in effetti di un risultato piuttosto imprevedibile, che solo una mente non convenzionale come quella del grande matematico inglese avrebbe potuto partorire: essenzialmente, qualunque sia la scelta iniziale delle cifra (non soltanto "1", quindi, ma anche ad esempio "123", che si trasforma in "111213", "31121113" ecc.), a un certo punto (dopo meno di 30 passaggi) il procedimento "look-and-say" (che Conway chiama decadimento audioattivo) finisce per produrre immancabilmente ed esclusivamente allineamenti di sequenze "atomiche" che non interagiscono più con le sequenze vicine, classificate in 92 "elementi comuni" e due "transuranici".

Ma c'è di più: Conway si occupa anche del tasso di crescita delle sue successioni, mostrando che il limite $$ \lim_{n\to\infty}\frac{L_{n+1}}{L_n} $$ del rapporto tra la lunghezza di due termini consecutivi è pari ad una costante algebrica $\lambda \cong 1.303577269$ di grado 71, di cui è in grado di fornire esplicitamente il polinomio minimo:

Weird, nevvero?

L'articolo originale di Conway, piuttosto stringato, fu pubblicato inizialmente su Eureka, magazine dell'Università di Cambridge, e non è di facile reperibilità in rete (anche se da qualche parte lo si trova...). Pare che la dimostrazione originale del Teorema Cosmologico sia andata persa, ma ne esistono di più recenti, ad esempio quella annunciata qui sull'ArXiv. A questo indirizzo è inoltre visionabile una lezione sul decadimento audioattivo.
Il decadimento audioattivo non è l'unica stramberia architettata da quel geniaccio di Conway. A lui si devono anche, in ordine sparso, il gioco della vita, l'algoritmo Doomsday, il FRACTRAN e i numeri surreali. E vale certamente la pena di dare un'occhiata al Book of Numbers, da lui scritto a quattro mani con un altro celebre matematico, Richard K. Guy.

Tertium non datur

Nella logica tradizionale, una proposizione o è vera, o è falsa. Questa affermazione, degna di Jacques de la Palice, ha in realtà un gran numero di conseguenze tutt'altro che banali in ambito matematico, specialmente per quanto riguarda le cosiddette dimostrazioni di esistenza. Giusto ieri, sfogliando distrattamente l'imponente Princeton Companion to Mathematics (ne parlerò ancora), mi sono imbattuto in un notevole esempio di questo fatto nell'ambito della teoria dei numeri: il problema della "produzione" di numeri razionali a partire da numeri irrazionali. Mi spiego meglio: è facile trovare  due numeri irrazionali $a$ e $b$ la cui somma sia razionale (si pensi, banalmente, all'esempio $a=\sqrt{2}$, $b=-\sqrt{2}$) oppure tali che il loro prodotto sia razionale (ad esempio $a=b=\sqrt{2}$). Ma è tutt'altro che semplice esibirne due tali che la potenza $a^b$ lo sia: in effetti, studiare l'irrazionalità di una potenza è cosa tutt'altro che semplice. Ma non è difficile dimostrare l'esistenza dei numeri $a$ e $b$. Consideriamo a tal proposito il numero $\sqrt{2}^\sqrt{2}$: se esso fosse razionale, allora il problema sarebbe risolto ponendo
$$
(a,b) = \left( \sqrt{2},\sqrt{2} \right)
$$
(l'irrazionalità della radice di due era già nota ai pitagorici, e viene comunemente dimostrata già al liceo). Se, per contro, $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ fosse irrazionale, dal momento che
$$
\left(\sqrt{2}^\sqrt{2} \right)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt2 \cdot \sqrt 2}=\sqrt2^2=2
$$
basterebbe porre $$ (a,b) = \left( \sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt2 \right) \quad.
$$
Geniale, no?

In realtà, è la seconda versione ad essere corretta: $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ è irrazionale (addirittura trascendente) in virtù del teorema di Gelfond-Schneider, la cui dimostrazione diede, nel 1934, una risposta affermativa al settimo problema di Hilbert.

L'altra costante

In un'ipotetica classifica delle costanti matematiche più gettonate, le posizioni di testa sarebbero senz'altro occupate dall'unità, dallo zero, da pi greco, da e (il numero di Eulero) e inoltre da i, l'unità immaginaria. L'appartenenza di questi cinque numeri ad una sorta di club esclusivo è certificata dalla celeberrima identità che li lega indissolubilmente tra loro.

Dietro a queste cinque inarrivabili prime donne, un intero serraglio di costanti minori scalpita per entrare nel salotto buono. Fra di esse, quella forse maggiormente degna di nota è la costante gamma di Euler-Mascheroni

definita come limite della differenza tra la serie armonica e il logaritmo naturale:

Proprio a tale costante è dedicato il bel libro Gamma: exploring euler's constant di Julian Havil, edito dalla Princeton University Press. Non si tratta, premetto, di un testo accessibile al grande pubblico: la comprensione dell'opera presuppone una buona familiarità con i concetti di base dell'analisi reale e pertanto essa è consigliata soltanto a chi abbia perlomeno terminato il liceo con solide basi. La sua lettura si rivela però oltremodo appagante: con il pretesto di "nobilitare" il ruolo di gamma, Havil fornisce un'ottima introduzione alle idee e ai metodi della cosiddetta teoria analitica dei numeri, branca della matematica inaugurata nella seconda metà del XIX secolo da Bernhard Riemann e Lejeune Dirichlet, entrando spesso nei dettagli tecnici senza dimenticare gli aspetti storici. Tra le altre cose, l'autore ci mostra come il logaritmo e la serie armonica possiedano proprietà e applicazioni davvero sorprendenti, spesso spiegabili proprio con l'approssimazione della serie armonica ottenuta dal logaritmo naturale con l'aiuto di gamma.
La parte finale del libro (quella più ostica) è dedicata ai numeri primi e alla loro relazione con la funzione zeta di Riemann, uno tra gli oggetti più affascinanti e misteriosi dell'intera matematica. Al termine del volume l'autore ha poi inserito alcune appendici di carattere tecnico; ho trovato molto interessanti, per chiarezza e  sinteticità, quelle dedicate agli sviluppi di Taylor e alla teoria delle funzioni complesse.
Tutto sommato, quindi,  un ottimo testo "per molti ma non per tutti",  che costituisce un eccellente esempio di divulgazione per iniziati.

Un, due, tre, ...

Nel suo libro Il curioso dei numeri (pubblicato in Italia da Mondadori), Andrew Hodges ci propone una scorribanda attraverso la matematica seguendo un originalissimo percorso ispirato dai numeri da 1 a 9: in 9 capitoli (numerati appunto come le cifre del sistema arabo) l'autore ci conduce attraverso (cito dal sottotitolo) "stranezze matematiche, controversie scientifiche e divagazioni" varie, dove i temi trattati denotano qualche tipo di legame con la cifra corrispondente (legame che può essere evidente, come quello tra il numero 8 e l'elaborazione elettronica, o anche piuttosto arbitrario, come quello tra il 6 e il calcolo combinatorio). In ogni caso, si tratta di un libro interessante, da non leggere tutto d'un fiato per evitare un'indigestione e magari per prendersi il tempo di approfondire altrove gli argomenti trattati.
A proposito di numeri: su YouTube mi sono imbattuto in una registrazione "vintage" di La serie dei numeri, in cui il buon Angelo Branduardi ci dà la sua personale interpretazione del loro significato. Cliccare per ascoltare.

L'infinito a fumetti

Alla fine dell'800, il matematico tedesco Georg Cantor mostrò in due modi diversi che i numeri reali (cioè i numeri corrispondenti ai punti di una retta) non possono essere "contati" (o enumerati) utilizzando i numeri naturali (cioè 1,2,3 e così via), cioè che non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N dei numeri naturali e l'insieme R dei numeri reali. Dal momento che N è contenuto in R, da ciò segue che R ha "più elementi" di N; trattandosi in entrambi i casi di insiemi infiniti, ciò implica l'esistenza di una "gerarchia" degli infiniti. Per studiare queste problematiche, Cantor introdusse la nozione di cardinalità: l'insieme R ha cardinalità maggiore rispetto a N. Immediatamente sorse spontanea una domanda: esistono cardinalità intermedie, esistono cioè sottoinsiemi di R che non possono essere contati utilizzando N e che a loro volta non permettono di contare R? Cantor credeva di no, e tale supposizione divenne nota come l'ipotesi del continuo.
La questione si rivelò talmente stuzzicante da essere inserita al primo posto da David Hilbert nell'elenco di 23 problemi che avrebbero dovuto plasmare la matematica del XX secolo (e in parte lo fecero davvero), stilata in occasione del II Congresso di Matematica di Parigi all'alba del nuovo secolo.
Il primo contributo importante giunse nel 1939 dal logico austriaco Kurt Gödel, il quale mostrò che l'ipotesi di Cantor non può essere confutata utilizzando le regole in uso per la definizione degli insiemi numerici (il sistema di Zermelo-Fraenkel provvisto dell'assioma della scelta). Qualche anno dopo Paul Cohen mostrò che tali regole non possono essere usate nemmeno per dimostrare tale ipotesi. Si tratta quindi di un enunciato indipendente dal sistema assiomatico in uso: supporre vera oppure falsa l'ipotesi del continuo non avrebbe generato alcuna contraddizione.
All'ipotesi del continuo, e più in generale alla nozione di infinito in matematica, è dedicato il fumetto Gottinga dell'autore italiano Davide Osenda, presentato al Festival della Matematica di Roma 2008. La storia si compone di 48 tavole ben illustrate in cui viene narrata l'ultima lezione tenuta all'Università di Gottinga da un professore di origini ebraiche, proprio mentre la furia antisemita (che avrebbe poi annichilito l'intera matematica tedesca) si sta abbattendo sulla città. Non dirò molto di più dato che il fumetto (che non ha ancora trovato un editore) è scaricabile liberamente (con licenza Creative Commons e in bassa risoluzione, ma perfettamente leggibile) dal blog di Andrea Plazzi (un noto esperto di cultura fumettistica).
Nel corso della narrazione al lettore vengono servite, in una forma accattivante e competente, alcune delle idee più affascinanti della storia della matematica, quali il metodo della diagonale o il paradosso dell'Hotel Hilbert (raffigurato nella tavola qui riprodotta), un immaginario albergo dotato di infinite stanze dove un ospite troverà sempre posto. Quest'ultimo, tra l'altro, è il tema di un racconto di SF di Stanislaw Lem, L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo, reperibile nell'antologia Racconti matematici (edita da Einaudi).

La scatola d'oro

Avrei voluto essere il primo a segnalare un divertentissimo errore di traduzione presente nel quinto DVD della (peraltro interessante) collana "Novecento: il secolo della scienza" venduta in allegato al mensile Le Scienze. Ma qualcuno ci ha pensato prima di me, pubblicando addirittura su YouTube un estratto del filmato in questione:



(tra l'altro non sono sicuro che il verbo falsificare sia usato correttamente - forse il termine corretto è confutare, ma non stiamo qui a sottilizzare...).

Si tratta di un'intervista, contenuta nella mini-biografia di Kurt Gödel, al matematico statunitense John L. Casti, in cui a un certo punto (nella traduzione italiana) viene menzionata una fantomatica Congettura della Scatola d'Oro. La congettura viene poi enunciata: "ogni numero pari maggiore di 2 (questo manca, a dire il vero) può essere scritto come somma di due numeri primi"... Sorpresa: dietro al poetico nome affibbiatole dal traduttore si nasconde la Congettura di Goldbach, uno dei più celebri problemi insoluti della teoria dei numeri, enunciata nel XVIII secolo dal matematico prussiano Christian Goldbach (1690-1764).
Ma... da dove viene il poetico nome utilizzato nel DVD? Facile: "Goldbachs conjecture" (dove il nome tedesco viene pronunciato con accento americano) è diventato "gold-box conjecture", e quindi la scatola d'oro si è materializzata per magia...
La congettura di Goldbach fa da sfondo anche ad un consigliabile romanzo del matematico, regista e scrittore Apostolos Doxiadis, Lo zio Petros e la Congettura di Goldbach. Edito in Italia da Bompiani, esso narra della discesa nella follia di tale Petros Papachristos, immaginario zio del narratore ossessionato dalla ricerca della soluzione al problema.

Nummeri

"Conterò poco, è vero

- diceva l'Uno ar Zero - 

ma tu che vali? Gnente: propio gnente.

Sia ne l'azzione come ner pensiero

rimani un coso vôto e inconcrudente.

Io, invece, se me metto a capofila

de cinque zeri tale e quale a te,

lo sai quanto divento? Centomila.

È questione de nummeri. A un dipresso

è quello che succede ar dittatore

che cresce de potenza e de valore

più so'gli zeri che je vanno appresso."

Geniale. Trilussa (Carlo Alberto Salustri, 1871-1950), arguto poeta "romano de' Roma", mostra di aver bene in chiaro il concetto di notazione posizionale. Ma questo non è il punto, no? (La poesia è stata pubblicata nel 1944...)