BarLumi di matematica

La briscola in cinque (Sellerio) è il titolo del primo romanzo di una (per ora?) trilogia di gialli del giovane autore toscano Marco Malvaldi. Il protagonista della vicenda, ambientata in un'immaginaria località della costa toscana, è il barista (o, meglio, "barrista") Massimo, investigatore suo malgrado, anche se spesso a rubargli la scena è il pittoresco quartetto di vecchietti che staziona in pianta stabile nel suo locale. Massimo, che ha potuto acquistare il bar grazie ad un'ingente vincita al totocalcio, è un ex ricercatore di matematica, e l'autore (a sua volta ricercatore, ma in biochimica) fa risaltare qua e là anche questo aspetto, lanciandosi addirittura, nelle ultime pagine, in una sommaria spiegazione del primo teorema d'incompletezza di Gödel, a dire il vero non del tutto convincente  dal punto di vista formale (ma senz'altro adatta al contesto, dove un'erudita digressione avrebbe poco senso...). Credo però che all'autore si possa perdonare qualche piccola imprecisione, dal momento che il romanzo risulta decisamente godibile, in particolare grazie alla simpatica caratterizzazione dei personaggi.

Io non sono un teorema.

Nel 1999, il settimanale statunitense Time pubblicò una serie di numeri speciali dedicati alle 100 personalità più importanti del XX secolo, con lo scopo di proclamare la "persona del secolo" (che risultò poi essere un fisico dei nome Albert). Tra i 20 "Scienziati e pensatori" scelti dalla redazione vi fu anche Kurt Gödel, il logico che, tramite i cosiddetti teoremi di incompletezza, pose fine alla speranza Hilbertiana di dimostrare che l'aritmetica è priva di contraddizioni.
Il modo in cui Gödel pervenne alle sue conclusioni rappresenta una delle vette più alte mai raggiunte dal pensiero umano: essenzialmente, egli riuscì ad "aritmeticizzare" gli enunciati della matematica assegnando ad essi una sorta di codice numerico (il processo è oggi noto come gödelizzazione) permettendo quindi all'aritmetica di parlare di sè stessa. In questo modo gli fu possibile tradurre nel linguaggio aritmetico il paradosso di Epimenide (che si può sintetizzare nell'enunciato "quello che sto dicendo è falso"), sostituendo però il concetto di verità (logicamente e filosoficamente problematico) con il concetto di dimostrabilità. Aritmeticizzò quindi l'espressione "io non sono dimostrabile" (o "io non sono un teorema"), mostrando poi che tale enunciato non può essere né provato né refutato in nessun sistema formale abbastanza potente da descrivere le proprietà dei numeri naturali.
I principali risultati di Kurt Gödel sono l'argomento del libro Tutti pazzi per Gödel (edito da Laterza) del filosofo italiano Francesco Berto, che già nel sottotitolo promette di essere una guida completa al Teorema di Incompletezza. Si tratta di un'opera notevole, dal taglio tutt'altro che divulgativo: nella prima parte ("La sinfonia gödeliana"), Berto illustra in modo abbastanza dettagliato i due "teoremi di incompletezza" nell'ambito dell'aritmetica tipografica (un sistema assiomatico semplice ma abbastanza potente da definire i numeri naturali), supponendo che il lettore possieda già una certa dimestichezza con la logica di base, mentre nella seconda ("Il mondo dopo Gödel") analizza le implicazioni e le interpretazioni (spesso prive di senso) che i risultati gödeliani hanno avuto nel dibattito filosofico, ad esempio in riferimento al realismo platonico (i risultati della matematica esistono di per sè, e vengono quindi scoperti, o vengono creati dal matematico?).
Si tratta quindi di un libro che si può rivelare molto appagante, a condizione di possedere i necessari prerequisiti e di essere disposti ad una lettura molto concentrata (la lettura superficiale di un testo di questo tipo non ha senso). Per quanto mi riguarda, confesso di averlo letto forse troppo frettolosamente, e quindi di aver potuto assaporare solo in parte le raffinatezze offerte. Mi ripropongo però di riascoltare presto la sinfonia Gödeliana, approfondendo magari anche la biografia di Kurt Gödel.

L'infinito a fumetti

Alla fine dell'800, il matematico tedesco Georg Cantor mostrò in due modi diversi che i numeri reali (cioè i numeri corrispondenti ai punti di una retta) non possono essere "contati" (o enumerati) utilizzando i numeri naturali (cioè 1,2,3 e così via), cioè che non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N dei numeri naturali e l'insieme R dei numeri reali. Dal momento che N è contenuto in R, da ciò segue che R ha "più elementi" di N; trattandosi in entrambi i casi di insiemi infiniti, ciò implica l'esistenza di una "gerarchia" degli infiniti. Per studiare queste problematiche, Cantor introdusse la nozione di cardinalità: l'insieme R ha cardinalità maggiore rispetto a N. Immediatamente sorse spontanea una domanda: esistono cardinalità intermedie, esistono cioè sottoinsiemi di R che non possono essere contati utilizzando N e che a loro volta non permettono di contare R? Cantor credeva di no, e tale supposizione divenne nota come l'ipotesi del continuo.
La questione si rivelò talmente stuzzicante da essere inserita al primo posto da David Hilbert nell'elenco di 23 problemi che avrebbero dovuto plasmare la matematica del XX secolo (e in parte lo fecero davvero), stilata in occasione del II Congresso di Matematica di Parigi all'alba del nuovo secolo.
Il primo contributo importante giunse nel 1939 dal logico austriaco Kurt Gödel, il quale mostrò che l'ipotesi di Cantor non può essere confutata utilizzando le regole in uso per la definizione degli insiemi numerici (il sistema di Zermelo-Fraenkel provvisto dell'assioma della scelta). Qualche anno dopo Paul Cohen mostrò che tali regole non possono essere usate nemmeno per dimostrare tale ipotesi. Si tratta quindi di un enunciato indipendente dal sistema assiomatico in uso: supporre vera oppure falsa l'ipotesi del continuo non avrebbe generato alcuna contraddizione.
All'ipotesi del continuo, e più in generale alla nozione di infinito in matematica, è dedicato il fumetto Gottinga dell'autore italiano Davide Osenda, presentato al Festival della Matematica di Roma 2008. La storia si compone di 48 tavole ben illustrate in cui viene narrata l'ultima lezione tenuta all'Università di Gottinga da un professore di origini ebraiche, proprio mentre la furia antisemita (che avrebbe poi annichilito l'intera matematica tedesca) si sta abbattendo sulla città. Non dirò molto di più dato che il fumetto (che non ha ancora trovato un editore) è scaricabile liberamente (con licenza Creative Commons e in bassa risoluzione, ma perfettamente leggibile) dal blog di Andrea Plazzi (un noto esperto di cultura fumettistica).
Nel corso della narrazione al lettore vengono servite, in una forma accattivante e competente, alcune delle idee più affascinanti della storia della matematica, quali il metodo della diagonale o il paradosso dell'Hotel Hilbert (raffigurato nella tavola qui riprodotta), un immaginario albergo dotato di infinite stanze dove un ospite troverà sempre posto. Quest'ultimo, tra l'altro, è il tema di un racconto di SF di Stanislaw Lem, L'hotel straordinario, o il milleunesimo viaggio di Ion il Tranquillo, reperibile nell'antologia Racconti matematici (edita da Einaudi).