Buonpigiorno!

Per ovvie ragioni, il 14 marzo (3.14 negli USA) è oramai diventato il "$\pi$-day". Sembra che l'idea sia venuta inizialmente al fisico Larry Shaw, per 33 anni attivo all'Exploratorium di San Francisco, dove la ricorrenza viene sottolineata tutti gli anni da una serie di eventi.

Assieme a $\phi$, $\sqrt{2}$ e a $e$, $\pi$ è senz'altro il più noto numero irrazionale. Fu Johann Heinrich Lambert, nel 1761, il primo a dimostrarlo, facendo uso di uno sviluppo della funzione $\tan(x)$ come frazione continua. Da allora in molti hanno presentato dimostrazioni alternative, spesso più semplici. Fra le più carine c'è quella pubblicata da Ivan Niven nel 1947 sul Bulletin of the AMS. Eccola, ci sta tutta qui:

Tra l'altro, la stessa dimostrazione (più o meno) è data per esercizio nel fondamentale Fonctions d'une variable réelle, il volume dedicato dal gruppo Bourbaki ai rudimenti dell'analisi:

Che c'entra il 239?

Anche questa l'ho (ri-)scoperta su Mathematical Constants, Vol. 1:
$$
4\,{\rm arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-{\rm arctan}\left(\frac{1}{239}\right)=\frac{\pi}{4}\;.
$$
La verifica, come dicono gli inglesi, è straightforward: essenzialmente, è sufficiente applicare tre volte la formula di addizione per la tangente "rivoltata":

Si tratta della formula che John Machin utilizzò per calcolare le prime cento cifre di $\pi$, sfruttando lo sviluppo in serie di potenza dell'arcotangente (qualche informazione supplementare può essere trovata a questo link).

Letture...

Telegraficamente, tre cosine che ho letto ultimamente, non particolarmente impegnative ma adatte alle infernali settimane di organizzazione del nuovo anno scolastico.

• Enigma. La strana vita di Alan Turing, graphic novel di Tuono Pettinato (simpatico pseudonimo dell'illustratore Andrea Paggiaro) e Francesca Riccioni: non inganni lo stile volutamente cartoonesco: si tratta di una biografia seria e tragicamente accurata del genio inglese, che riesce con successo anche a parlarci di alcuni argomenti di logica tutt'altro che scontati. Consigliato.
  
• La caduta di un uomo, di David Lagercrantz (l'autore del IV episodio della saga di Millennium). Il romanzo prende le mosse proprio dal suicidio di Turing, per narrarci più che altro le vicende personali di un ispettore di polizia incaricato delle indagini, e per abbozzare una sorta di riflessione sui contrasti della società anglosassone degli anni '50. Piuttosto confuso; non mi ha convinto.
  
• Storia di π (chi meglio di P. Greco poteva parlarci del pi greco?): il rapporto tra circonferenza e diametro è certamente uno degli oggetti più trasversali della matematica, dai suoi esordi puramente  geometrici nel mondo ellenistico alla sua ricomparsa in campo analitico, fino alla scoperta della sua natura trascendente. Il giornalista scientifico Pietro Greco ci conduce in un affascinante viaggio lungo la storia della matematica, utilizzando π come punto di riferimento. Un bel libro, non c'è dubbio.

Da un IgNobel a un Nobel...

Pi greco

di Wislawa Szymborska (da Grande Numero, 1976)

Degno di meraviglia è il numero Pi greco
tre virgola uno quattro uno.
Le sue cifre seguenti sono ancora tutte iniziali,
cinque nove due, perchè non ha mai fine.
Non si fa abbracciare sei cinque tre cinque con lo sguardo,
otto nove con il calcolo,
sette nove con l’immaginazione,
e neppure tre due tre otto per scherzo, o per paragone
quattro sei con qualsiasi cosa
due sei quattro tre al mondo.
Il più lungo serpente terrestre dopo una dozzina di metri s’interrompe.
Così pure, anche se un po’ più tardi, fanno i serpenti delle favole.
La fila delle cifre che compongono il numero Pi
non si ferma al margine del foglio,
riesce a proseguire sul tavolo, nell’aria,
su per il muro, il ramo, il nido, le nuvole, diritto nel cielo,
per tutto il cielo atmosferico e stratosferico.
Oh come è corta, quasi quanto quella di un topo, la coda della cometa!
Quanto è debole il raggio di una stella, che s’incurva nello spazio!
Ed ecco invece due tre quindici trecento diciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di camicia
l’anno mille novecento settanta tre sesto piano
numero di abitanti sessanta cinque centesimi
giro dei fianchi due dita una sciarada e una cifra,
in cui vola vola e canta, mio usignolo
e si prega di mantenere la calma,
e così il cielo e la terra passeranno,
ma il Pi greco no, quello no,
lui sempre col suo bravo ancora cinque,
un non qualsiasi otto,
un non ultimo sette,
stimolando, oh sì, stimolando la pigra eternità
a durare.

Wislawa Szymborska, vincitrice del Nobel per la letteratura nel 1996, è considerata la più importante poetessa polacca contemporanea. 

Happy pi-day

Sui calendari anglosassoni il 14 marzo è scritto 3/14 (giorno e mese sono invertiti). Per questo, a qualche burlone è saltato in mente di dedicarlo a pi greco, il rapporto tra circonferenza e diametro, forse la costante più famosa dell'intera matematica. Per motivi pratici, essa viene studiata da sempre: qusi due millenni prima di Cristo erano già note approssimazioni accurate all'1%, e la più famosa approssimazione razionale, 22/7, è opera di Archimede di Siracusa (III sec. a.C.; tra l'altro, da qualche parte ho letto che per qualcuno il 22 luglio sarebbe il pi-approximation day, stavolta nel nostro calendario).
Si tratta del più celebre numero trascendente, non ottenibile cioè come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi: questo risultato, ottenuto nel 1882 da Ferdinand von Lindemann, risolve uno dei più famosi problemi geometrici della storia, quello relativo alla quadratura del cerchio (che si dimostra quindi impossibile). Essendo trascendente, pi greco è pure irrazionale, non esprimibile cioè come quoziente di numeri interi. Ciò è noto sin dalla fine del '700 (grazie a Johann Heinrich Lambert), e dimostrazioni sempre più brevi ed eleganti si sono succedute nel tempo. La più celebre, che fa uso solo dell'analisi elementare, fu pubblicata dal matematico statunitense Ivan Niven nel 1947.
Tra l'altro, il 14 marzo 2009 ricorre anche il 130esimo anniversario della nascita di uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, tale Albert Einstein...