Che c'entra il 239?

Anche questa l'ho (ri-)scoperta su Mathematical Constants, Vol. 1:

$$4\,{\rm arctan}\left(\frac{1}{5}\right)-{\rm arctan}\left(\frac{1}{239}\right)=\frac{\pi}{4}\;.$$
La verifica, come dicono gli inglesi, è straightforward: essenzialmente, è sufficiente applicare tre volte la formula di addizione per la tangente "rivoltata":

Si tratta della formula che John Machin utilizzò per calcolare le prime cento cifre di $\pi$, sfruttando lo sviluppo in serie di potenza dell'arcotangente (qualche informazione supplementare può essere trovata a questo link).