Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 12 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
12^{16} = 184\,884\,258\,895\,036\,416 \cong 1,85 \cdot 10^{17}
$$
(185 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):