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lunedì 14 marzo 2022

Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 11 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
11^{16} = 45\,949\,729\,863\,572\,161 \cong 4,59 \cdot 10^{16}
$$
(45 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):



lunedì 25 settembre 2017

Il problema di Stockhausen

Bighellonando online, mi sono imbattuto nel saggio Combinatorial problems in the theory of music, pubblicato vent'anni fa su Discrete Mathematics dal matematico e compositore Ronald C. Read. Fra i problemi trattati, ce n'è uno che trovo particolarmente intrigante: in quanti modi può essere eseguito il Klavierstück XI di Stockhausen?
Karlheinz Stockhausen (1928-2007) è stato uno tra i più visionari e influenti compositori del XX secolo, grazie ad esempio al suo approccio pionieristico alla musica elettronica e alle tecniche compositive aleatorie. Ed è proprio a queste ultime che si rifà l'undicesimo Klavierstück, una delle prime "opere aperte" della musica occidentale: lo spartito si compone di 19 frammenti, disposti su un foglio di grandi dimensioni, in modo assolutamente non gerarchico:


I frammenti devono venire eseguiti in un ordine casuale, mai due volte di seguito e in modo tale che il brano si arresti non appena uno dei diciannove venga selezionato per la terza volta.
Applicando al problema tecniche piuttosto sofisticate di calcolo combinatorio (funzioni generatrici, in particolare), Read mostra che il brano può essere eseguito in

17423 935148332 958167310 127282862 901334594

modi (più di diciassettemila miliardi di miliardi di miliardi di miliardi); possiamo essere quindi ragionevolmente sicuri che, a meno di imbrogli, il Klavierstück XI non verrà mai eseguito due volte nello stesso modo.
Come gran parte della produzione di Stockhausen, il brano non è di facile ascolto. Eccone un'esecuzione da parte del pianista francese Pierre-Laurent Aimard:




Irriverente, ma in fondo un po' comprensibile, il primo commento apparso sul sito di YouTube: à l'entrée de la salle de concert, il y a des militaires armés pour empêcher les spectateurs de fuire.