Dubbi algebrici, e...

A volte, un banale e innocente dubbio può condurci su sentieri totalmente inattesi. La scorsa settimana, a lezione, illustrando qualche proprietà del calcolo matriciale, mi sono letteralmente piantato su un problema, apparentemente semplice, a cui non avevo mai prestato attenzione.
Nella definizione di gruppo, in particolare nel caso non commutativo, l'esistenza dell'elemento opposto viene presupposta sia a sinistra che a destra; a tal proposito, è facile dimostrare che, postulando l'esistenza di due opposti $s$ e $d$ a sinistra e a destra di un elemento $x$, essi devono coincidere:
$$
s=se=sxd=ed=d \; .
$$
Ma, e questo è il punto, in strutture algebriche più semplici l'esistenza di un elemento inverso sinistro non implica per forza l'esistenza di un inverso a destra. Ed è alla disperata ricerca di un esempio in questo senso che il mio cervello è andato un po' in tilt. Più tardi, ho trovato una risposta in una "Serie" di esercizi assegnata dal prof. Brent Doran all'ETHZ (una garanzia!) nel lontano 2012: 

OK, tutto chiaro. Ma ad attirare la mia attenzione è l'ultimo esercizio della "Serie", etichettato come "more challenging problem":

 

 

Rovistando un po' in rete, ho infine trovato un riferimento "serio" al gruppo omofonico in un paper pubblicato congiuntamente nel 1993 da quattro autori sulla rivista Experimental Mathematics, in cui esso viene dimostrato essere banale in francese per la lingua inglese e in inglese per la lingua francese. Francamente, riesce un po' difficile considerarlo poco più di un innocente divertissement; già la pseudo-citazione iniziale (Ah, la recherche! Du temps perdu) ci fa intuire che gli autori non si sono presi troppo sul serio (ma attenzione: l'ultimo dei quattro in ordine alfabetico è uno dei più geniali teorici dei numeri del XX/XXI secolo!). E il riferimento a un ulteriore, oscuro lavoro (denominato Jimmy's Book, pubblicato nel 1986 sull'American Mathematical Monthly), una collezione di problemi difficilissimi, irrisolti e piuttosto eccentrici, non fa che accentuarne il tono goliardico e un po' geek. Insomma, anche i matematici, e pure quelli bravi, a volte si divertono a prendersi un po' in giro...