Dubbi algebrici, e...

A volte, un banale e innocente dubbio può condurci su sentieri totalmente inattesi. La scorsa settimana, a lezione, illustrando qualche proprietà del calcolo matriciale, mi sono letteralmente piantato su un problema, apparentemente semplice, a cui non avevo mai prestato attenzione.
Nella definizione di gruppo, in particolare nel caso non commutativo, l'esistenza dell'elemento opposto viene presupposta sia a sinistra che a destra; a tal proposito, è facile dimostrare che, postulando l'esistenza di due opposti $s$ e $d$ a sinistra e a destra di un elemento $x$, essi devono coincidere:
$$
s=se=sxd=ed=d \; .
$$
Ma, e questo è il punto, in strutture algebriche più semplici l'esistenza di un elemento inverso sinistro non implica per forza l'esistenza di un inverso a destra. Ed è alla disperata ricerca di un esempio in questo senso che il mio cervello è andato un po' in tilt. Più tardi, ho trovato una risposta in una "Serie" di esercizi assegnata dal prof. Brent Doran all'ETHZ (una garanzia!) nel lontano 2012: 

OK, tutto chiaro. Ma ad attirare la mia attenzione è l'ultimo esercizio della "Serie", etichettato come "more challenging problem":

 

 

Rovistando un po' in rete, ho infine trovato un riferimento "serio" al gruppo omofonico in un paper pubblicato congiuntamente nel 1993 da quattro autori sulla rivista Experimental Mathematics, in cui esso viene dimostrato essere banale in francese per la lingua inglese e in inglese per la lingua francese. Francamente, riesce un po' difficile considerarlo poco più di un innocente divertissement; già la pseudo-citazione iniziale (Ah, la recherche! Du temps perdu) ci fa intuire che gli autori non si sono presi troppo sul serio (ma attenzione: l'ultimo dei quattro in ordine alfabetico è uno dei più geniali teorici dei numeri del XX/XXI secolo!). E il riferimento a un ulteriore, oscuro lavoro (denominato Jimmy's Book, pubblicato nel 1986 sull'American Mathematical Monthly), una collezione di problemi difficilissimi, irrisolti e piuttosto eccentrici, non fa che accentuarne il tono goliardico e un po' geek. Insomma, anche i matematici, e pure quelli bravi, a volte si divertono a prendersi un po' in giro...

A proposito...

 ... di problemini che conducono lontano, qualche settimana fa, con il solo scopo di ripassare qualche teoremino di geometria elementare, ho dato ad una classe del primo anno il compito di rappresentare qualche numero reale sulla retta numerica. In particolare, alcune radici quadrate intere possono essere agevolmente disegnate scrivendo il radicando come somma di due quadrati. Ad esempio, dato che $13=3^2+2^2$, per disegnare $\sqrt{13}$ si può procedere così:

Potremmo legittimamente chiederci per quali numeri naturali sia possibile fare lo stesso; cioè, in altre parole, come sono caratterizzate le somme di due quadrati?

Il criterio è abbastanza noto; citando dal Capitolo 4 della traduzione italiana di Proofs from the Book (ricordando innanzitutto che tutti i numeri primi, tranne il $2$, hanno la forma $4m+1$ o $4m+3$), "un numero naturale $n$ può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se ogni fattore primo della forma $p=4m+3$ appare con un esponente pari nella decomposizione in primi di $n$".

In particolare, ciò si verifica se tutti i fattori primi di $n$ hanno la forma $4m+1$, e quindi, ovviamente, per tutti i numeri primi della forma $p=4m+1$. Questo criterio "ridotto" compare (non per la prima volta) in una lettera di Pierre de Fermat a padre Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640 (e viene a volte citato come teorema di Natale di Fermat - noto ora che qualche giorno fa ne ha parlato pure il caro ex-collega Francesco de Maria nel suo blog Ticinolive). Si tratta di uno di quei risultati che ammettono una miriade di dimostrazioni; la più stuzzicante, forse, la dobbiamo a quel geniaccio di Don Zagier, ed è essenzialmente tutta qui:

Già, una sola frase. Certo, come dice Zagier (il paper completo, tratto dalla rivista The Teaching of Mathematics, è qui), la verifica delle affermazioni implicite (che $S$ è finito e che l'applicazione è un'involuzione) è lasciata al lettore, ma la dimostrazione si lascia seguire facilmente: se l'involuzione descritta ha esattamente un punto fisso, allora la cardinalità di $S$ è dispari, e di conseguenza ogni involuzione su $S$ avrà forzatamente un punto fisso; ciò è vero in particolare per quella che scambia $y$ e $z$ in $(x,y,z)$; $S$ possiede quindi un elemento della forma $(x,y,y)$, per cui vale $$x^2+4y^2=x^2+(2y)^2=p \;\;.$$ Ciò dimostra l'esistenza di una scomposizione di $p$ come somma di quadrati; si tratta di un bell'esempio di dimostrazione non-costruttiva.

La dimostrazione di Zagier è una versione più raffinata di quella data qui da Roger Heath-Brown, sviscerata da Aigner e Ziegler nel già citato Proofs from the Book, dove il criterio di Fermat viene poi generalizzato nel senso descritto sopra a numeri naturali qualsiasi.