Anche al buon Eulero...

 ... è capitato, almeno una volta, di prendere un granchio. Nel 1769, forse frustrato dall'apparente impossibilità di dimostrare la celeberrima congettura scarabocchiata da Fermat sulla sua copia dell'Aritmetica, ne propose una generalizzazione, immaginando che per ottenere un'$n$-esima potenza intera da una somma di $n$-esime potenze occorressero almeno $n$ addendi. In sintesi, se $a_1,a_2,\ldots,a_k,b\,\in\mathbb N\setminus\{0\}$ e $n,k\ge2$,
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b^n \;\Rightarrow\; k \ge n \;.
$$
La congettura resistette ai tentativi di dimostrazione o confutazione fino al 1966, quando Leon J. Lander e Thomas R. Parkin, sfruttando la potenza del "supercomputer" più potente dell'epoca (il CDC 6600), riuscirono a ricavare un controesempio per $n=5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
$$
(la verifica si può fare con una semplice calcolatrice scientifica). Il paper in cui comunicarono la loro scoperta è certamente tra i più brevi mai pubblicati:

(qualche informazione in più si può trovare qui).

Nel 1967 Lander e Parkin, assieme al più noto John Selfridge,  proposero una nuova congettura, riassumibile con
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b_1^n+\ldots+b_{\ell}^n \;\Rightarrow\; k+\ell \ge n \;.
$$
Dalla validità di quest'ultima seguirebbe, con $\ell=1$, che la congettura di Eulero varrebbe con la condizione $k\ge n$ rimpiazzata da $k\ge n-1$. Ciò è supportato anche dalla scoperta del 1988 di Roger Frye (menzionata in un lavoro di Noam Elkies), il quale riuscì a scovare un controesempio anche per $n=4$, con 3 addendi:
$$
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4 \; .
$$
Si tratta del "più piccolo controesempio" per $n=4$, e quindi del più piccolo in assoluto: per $n=3$ la congettura di Eulero è una conseguenza immediata dell'intuizione di Fermat, nel frattempo promossa da congettura a Teorema (l'Ultimo Teorema di Fermat, o Teorema di Wiles).

A proposito...

 ... di problemini che conducono lontano, qualche settimana fa, con il solo scopo di ripassare qualche teoremino di geometria elementare, ho dato ad una classe del primo anno il compito di rappresentare qualche numero reale sulla retta numerica. In particolare, alcune radici quadrate intere possono essere agevolmente disegnate scrivendo il radicando come somma di due quadrati. Ad esempio, dato che $13=3^2+2^2$, per disegnare $\sqrt{13}$ si può procedere così:

Potremmo legittimamente chiederci per quali numeri naturali sia possibile fare lo stesso; cioè, in altre parole, come sono caratterizzate le somme di due quadrati?

Il criterio è abbastanza noto; citando dal Capitolo 4 della traduzione italiana di Proofs from the Book (ricordando innanzitutto che tutti i numeri primi, tranne il $2$, hanno la forma $4m+1$ o $4m+3$), "un numero naturale $n$ può essere rappresentato come somma di due quadrati se e solo se ogni fattore primo della forma $p=4m+3$ appare con un esponente pari nella decomposizione in primi di $n$".

In particolare, ciò si verifica se tutti i fattori primi di $n$ hanno la forma $4m+1$, e quindi, ovviamente, per tutti i numeri primi della forma $p=4m+1$. Questo criterio "ridotto" compare (non per la prima volta) in una lettera di Pierre de Fermat a padre Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640 (e viene a volte citato come teorema di Natale di Fermat - noto ora che qualche giorno fa ne ha parlato pure il caro ex-collega Francesco de Maria nel suo blog Ticinolive). Si tratta di uno di quei risultati che ammettono una miriade di dimostrazioni; la più stuzzicante, forse, la dobbiamo a quel geniaccio di Don Zagier, ed è essenzialmente tutta qui:

Già, una sola frase. Certo, come dice Zagier (il paper completo, tratto dalla rivista The Teaching of Mathematics, è qui), la verifica delle affermazioni implicite (che $S$ è finito e che l'applicazione è un'involuzione) è lasciata al lettore, ma la dimostrazione si lascia seguire facilmente: se l'involuzione descritta ha esattamente un punto fisso, allora la cardinalità di $S$ è dispari, e di conseguenza ogni involuzione su $S$ avrà forzatamente un punto fisso; ciò è vero in particolare per quella che scambia $y$ e $z$ in $(x,y,z)$; $S$ possiede quindi un elemento della forma $(x,y,y)$, per cui vale $$x^2+4y^2=x^2+(2y)^2=p \;\;.$$ Ciò dimostra l'esistenza di una scomposizione di $p$ come somma di quadrati; si tratta di un bell'esempio di dimostrazione non-costruttiva.

La dimostrazione di Zagier è una versione più raffinata di quella data qui da Roger Heath-Brown, sviscerata da Aigner e Ziegler nel già citato Proofs from the Book, dove il criterio di Fermat viene poi generalizzato nel senso descritto sopra a numeri naturali qualsiasi.

Non proprio per tredicenni...

Su YT si fanno costantemente scoperte interessanti. Ad esempio, del tutto per caso mi sono imbattuto in questa sfida per tredicenni:

La risoluzione (che trovate qui) richiede di saper risolvere una semplice equazione quadratica. OK, sì, lo sapevano fare anche i babilonesi, quattro millenni fa, ma forse non a tredici anni. Per quanto riguarda i miei alunni quindicenni, diciamo che la sfida sarà alla loro portata fra qualche settimana (e non esiterò a infliggerla loro). 

Ma ora arriva la parte intrigante: dal momento che la soluzione $1+\sqrt{85}$ non è poi così elegante, ho provato a riformulare il problema, nel tentativo, magari, di costruire un esempio in cui l'altezza fosse intera. 

Ho quindi denominato $a$ l’altezza del recipiente conico, e $b$, $c$ le altezze dei coni rappresentanti la parte inizialmente riempita di liquido e la parte svuotata dopo il capovolgimento.

 

Già, si ottiene proprio la relazione

$$a^3 = b^3 + c^3 \quad,$$

e quindi, a garantirci che non c'è nessuna chance di trovare un risultato "bello" sono nientepopodimeno che Pierre de Fermat e Andrew Wiles: si tratta del caso $n=3$ del celeberrimo Ultimo Teorema di Fermat (anche se la dimostrazione del caso particolare che ci concerne, risolto da Eulero, non necessita del Teorema di Shimura-Taniyama-Weil, ma solo della tecnica nota come discesa infinita).

Notevole, come un problemino geometrico possa condurci così lontano...

Il gioco incompiuto

Tra gli argomenti della matematica liceale, il calcolo delle probabilità è forse quello che, almeno inizialmente, suscita maggiori entusiasmi tra gli studenti (tale entusiasmo si esaurisce però ben presto con la comparsa dei primi dettagli tecnici). In effetti, vi è un indubbio fascino dietro all'idea che la matematica permetta di gettare uno sguardo sul futuro (anche se poi le cose non stanno veramente così...).

Inevitabilmente, introducendo l'argomento il discorso si sposta rapidamente in direzione del gioco d'azzardo: sorgono spontanee domande quali "Che probabilità ho di fare un 6 al lotto?" oppure "È vero che con la probabilità si può vincere al Blackjack?" (quest'ultima in conseguenza della visione del film "21").
Si tratta di interrogativi del tutto legittimi; in effetti è stato proprio il gioco d'azzardo a dare l'impulso decisivo allo studio del calcolo delle probabilità, mediante il cosiddetto "problema del gioco incompiuto": se una partita a dadi viene interrotta prima della sua conclusione, come va spartita la posta? Questo interrogativo ha rappresentato il tema principale della corrispondenza tra due Grandi della storia della scienza che, per tradizione, viene considerata come la prima vera trattazione del calcolo delle probabilità. I due Grandi in questione furono Pierre de Fermat (il "più grande matematico dilettante") e Blaise Pascal (il matematico, fisico e filosofo che molti considerano anche pioniere dell'informatica). La loro corrispondenza rappresenta il filo conduttore di un'interessante pubblicazione edita da Rizzoli, La lettera di Pascal, nella quale il noto divulgatore Keith Devlin illustra sinteticamente le origini del pensiero stocastico, menzionando anche i contributi di altri Grandi quali Cardano, Huygens, i Bernoulli e Bayes.

Il libro è interessante anche perché ci presenta dei matematici tutt'altro che infallibili: Devlin cerca di mostrare come certi concetti abbiano faticato a farsi strada anche nelle menti dei più grandi pensatori, e come anche uno dei più grandi intuiti della storia abbia potuto fare clamorosamente cilecca (con i cosiddetti numeri primi di Fermat).
Un piccolo appunto all'edizione italiana: il titolo scelto è senz'altro inferiore all'originale ("The unfinished game", che fra parentesi potrebbe anche alludere all'incompiutezza della matematica stessa), ma è soprattutto il sottotitolo a lasciarmi perplesso: "Storia dell'equazione che ha fondato la teoria della probabilità". Di una tale equazione nel testo non vi è traccia (forse, semplicemente, perché essa non esiste...).

Ma perché nel '600 non lasciavano più spazio ai margini?

Pierre de Fermat (1601-1665) è l'autore del più celebre bluff della storia della matematica. Ai margini della sua copia dell'Aritmetica di Diofanto scrisse di aver trovato una magnifica dimostrazione del fatto che per n intero con n>2 nessuna terna (a,b,c) di numeri naturali può soddisfare la relazione

  

ma di non avere spazio sufficiente per includerla. In realtà, la dimostrazione di questo enunciato, oggi noto come "Ultimo (o "Grande") Teorema  di Fermat" è stata completata soltanto nel 1994, grazie al lavoro decisivo del matematico inglese Andrew Wiles (ne ho già parlato), che ha dimostrato un'affermazione più generale nell'ambito delle curve ellittiche (da non confondere con le ellissi) nota come "Congettura di Taniyama-Shimura". Molto probabilmente, quindi, Fermat non aveva dimostrato in generale la sua affermazione; d'altronde, nonostante il suo enorme intuito anche il buon Pierre qualche cantonata nella sua carriera l'aveva presa (si vedano ad esempio i suoi "numeri primi"). 

L'enunciato del Teorema, di per sè, non è particolarmente interessante: si tratta tuttalpiù di una curiosità, un'equazione diofantina (cioè di cui si ricercano le soluzioni intere) come ce ne sono tante. Ma i tentativi di dimostrazione hanno coinvolto per tre secoli i matematici più famosi (come Euler, Sophie Germain, Kummer e Faltings), dando origine a nuovi campi di studio. La storia dei tentativi di dimostrazione, fino al ruolo decisivo di Andrew Wiles è narrata magistralmente nel consigliatissimo libro L'ultimo Teorema di Fermat (Rizzoli) dell'inglese Simon Singh, autore anche di un documentario televisivo sull'argomento (ne riparlerò non appena l'avrò visionato).

Pecore e matematica

Clicca al centro dell'immagine, sopra la freccia...

Tom Lehrer (mai un cognome fu più appropriato!) è un insegnante di matematica e cantautore americano, attivo sul versante musicale principalmente a cavallo tra gli anni '50 e '60. I suoi testi trattano perlopiù di satira politica, ma in alcune occasioni sconfinano anche nel campo della matematica. La canzone That's mathematics, composta nel 1993 sulle note di That's Entertainment, si apre con un elenco di situazioni (dal contare le pecore per addormentarsi alle previsioni del tempo) in cui la matematica riveste un ruolo e termina con un omaggio a Andrew Wiles (non Wyles...), che in quel periodo acquisì fama internazionale per la dimostrazione della celebre Congettura (o "Ultimo Teorema") di Fermat (more about it later).

Altri testi di Lehrer a sfondo matematico sono disponibili qui (magari ne parlerò in un'altra occasione).