Non proprio per tredicenni...

Su YT si fanno costantemente scoperte interessanti. Ad esempio, del tutto per caso mi sono imbattuto in questa sfida per tredicenni:

La risoluzione (che trovate qui) richiede di saper risolvere una semplice equazione quadratica. OK, sì, lo sapevano fare anche i babilonesi, quattro millenni fa, ma forse non a tredici anni. Per quanto riguarda i miei alunni quindicenni, diciamo che la sfida sarà alla loro portata fra qualche settimana (e non esiterò a infliggerla loro). 

Ma ora arriva la parte intrigante: dal momento che la soluzione $1+\sqrt{85}$ non è poi così elegante, ho provato a riformulare il problema, nel tentativo, magari, di costruire un esempio in cui l'altezza fosse intera. 

Ho quindi denominato $a$ l’altezza del recipiente conico, e $b$, $c$ le altezze dei coni rappresentanti la parte inizialmente riempita di liquido e la parte svuotata dopo il capovolgimento.

 

Già, si ottiene proprio la relazione

$$a^3 = b^3 + c^3 \quad,$$

e quindi, a garantirci che non c'è nessuna chance di trovare un risultato "bello" sono nientepopodimeno che Pierre de Fermat e Andrew Wiles: si tratta del caso $n=3$ del celeberrimo Ultimo Teorema di Fermat (anche se la dimostrazione del caso particolare che ci concerne, risolto da Eulero, non necessita del Teorema di Shimura-Taniyama-Weil, ma solo della tecnica nota come discesa infinita).

Notevole, come un problemino geometrico possa condurci così lontano...

Tre, quattro, cinque

 Da qualche parte online, forse su YouTube, mi sono imbattuto in un altro stuzzicante problemino geometrico:

Sono convinto che ci debba essere una soluzione elegante che non richieda di calcolare il lato del quadrato. Ma non l'ho trovata. Per il momento mi accontento di questa, che riduce un sistemino non lineare di 5 equazioni a una singola equazione biquadratica per, appunto, il lato del quadrato:

Qualcuno riesce a fare di meglio? Ho lanciato la sfida ai miei allievi ma, a parte un tiepido interesse iniziale, senza successo.

Un problema virale

Sembra (l'ho letto qui) che il problema di determinare il rapporto tra l'area del quadrato e l'area colorata, pubblicato da Ed Southall sul suo account Twitter,  abbia stimolato l'ingegno di parecchi appassionati, che hanno letteralmente sommerso il professore inglese di soluzioni più o meno corrette. In effetti il problema è carino; l'ho risolto al volo con un metodo "cartesiano" poco elegante, ma ha una soluzione piuttosto immediata, che di primo acchito mi era sfuggita vista la mia propensione a complicarmi le cose (forse a causa del mio background algebro/geometrico, un ambito dove di soluzioni semplici non ce ne sono mai...).

Popular problems

(No, non mi riferisco al nuovo, pregevole, album di Leonhard Cohen).

Forse Alex Bellos ha ragione, nel definire il suo collega Ian Stewart "Britain's most brilliant and prolific populariser of mathematics". Anche se, a dire il vero, avrei qualche difficoltà nel catalogare The great Mathematical Problems (uscito di recente anche in italiano) sotto la voce popularization. Non che il libro non mi sia piaciuto. Anzi, l'ho letto con enorme interesse, ma mi chiedo quanto possa capirci il lettore occasionale, nonostante gli evidenti sforzi dell'autore che ad esempio, per illustrare la nozione di ciclo algebrico nell'ambito della congettura di Hodge, giunge a parlare di pi greco maiali meno radice di due mucche (!!!).

Nel libro trovano posto tutti i più celebri problemi che, direttamente o indirettamente, hanno ispirato l'evoluzione della matematica degli ultimi quattrocento anni, sia risolti (come le congetture di Fermat, Keplero, Poincaré o dei quattro colori) che aperti (dalla congettura di Goldbach ai problemi del millennio). Come detto, per un po' il discorso si adatta anche ad una lettura superficiale ma, man mano che si avanza tra le pagine, e ci si avvicina quindi alla matematica più recente, il cammino si fa decisamente più ostico: anche il lettore più distratto e sprovveduto  riuscirà senza troppo sforzo a capire per lo meno l'enunciato della congettura di Goldbach o del teorema dei quattro colori, ma gli dò poche speranze per quanto riguarda le congetture di Hodge e Birch/Swinnerton-Dyer.

L'ultimo capitolo, Twelve for the Future,  elenca dodici problemi che, a detta di Stewart, potrebbero rappresentare per la matematica del futuro quello che nel passato hanno rappresentato, ad esempio, le sfide lanciate da Fermat o Mordell (sfide vinte, rispettivamente, da Wiles e Faltings); alcuni di essi sono facilmente enunciabili e stanno a poco a poco entrando nel "folklore" matematico (come il problema di Collatz o l'esistenza di cuboidi perfetti); altri, in particolare la (già menzionata) congettura ABC, con cui il libro si conclude, ci proiettano direttamente al fronte della ricerca.