ha senz'altro il suo fascino, se non altro perché stabilisce un legame tra tra la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (il numero "più irrazionale di tutti") e i numeri $0$, $1$, $i$, $\pi$ e $e$ (senza dimenticare il $2$), coinvolgendo pure due funzioni trascendenti (il seno e il logaritmo naturale). La dimostrazione è una verifica elementare, basata sull'identità di Eulero, e le identità $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\frac{1}{2}i(e^{ix}-e^{-ix})$$ e $$\phi^2=\phi+1\quad\iff\quad\phi^{-1}-\phi=-1\quad$$ (senza dimenticare che $i^2=-1$).
In sintesi, $$\begin{eqnarray*}\sin(i\ln\phi) &=& -\frac{1}{2}i(e^{i^2\ln\phi}-e^{-i^2\ln\phi})=-\frac{1}{2}i(e^{-\ln\phi}-e^{\ln\phi})\\&=&-\frac{1}{2}i(\phi^{-1}- \phi) =\frac{1}{2}i\end{eqnarray*}$$ e quindi $$e^{2\pi\sin(i\ln(\phi))}=e^{2\pi\cdot\frac{1}{2}i}=e^{i\pi}=-1\quad.$$
Ho scovato questa bizzarra identità sfogliando il volumetto Euler's Pioneering Equation, una lettura estiva non troppo impegnativa, del matematico inglese Robin Wilson (di cui avevo letto anche questo).
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