Identità di... Wilson?

Non è certo sexy come $$e^{i\pi}+1=0\quad,$$ ma anche l'identità $$\fbox{$e^{2\pi\sin(i\ln(\phi))}+1=0$}$$ 

ha senz'altro il suo fascino, se non altro perché stabilisce un legame tra tra la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (il numero "più irrazionale di tutti") e i numeri $0$, $1$, $i$, $\pi$ e $e$ (senza dimenticare il $2$), coinvolgendo pure due funzioni trascendenti (il seno e il logaritmo naturale). La dimostrazione è una verifica elementare, basata sull'identità di Eulero, e le identità $$\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=-\frac{1}{2}i(e^{ix}-e^{-ix})$$ e $$\phi^2=\phi+1\quad\iff\quad\phi^{-1}-\phi=-1\quad$$ (senza dimenticare che $i^2=-1$).

In sintesi, $$\begin{eqnarray*}\sin(i\ln\phi) &=& -\frac{1}{2}i(e^{i^2\ln\phi}-e^{-i^2\ln\phi})=-\frac{1}{2}i(e^{-\ln\phi}-e^{\ln\phi})\\&=&-\frac{1}{2}i(\phi^{-1}- \phi) =\frac{1}{2}i\end{eqnarray*}$$ e quindi $$e^{2\pi\sin(i\ln(\phi))}=e^{2\pi\cdot\frac{1}{2}i}=e^{i\pi}=-1\quad.$$

Ho scovato questa bizzarra identità sfogliando il volumetto Euler's Pioneering Equation, una lettura estiva non troppo impegnativa, del matematico inglese Robin Wilson (di cui avevo letto anche questo).

Prosta - che?

Le formule di prostaferesi, abbastanza note agli studenti liceali, come
$$
\cos(\alpha)+\cos(\beta)= 2\,\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\,\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) \; ,
$$

rappresentano (al pari del logaritmo, che precedono di qualche decennio), una relazione tra addizione e moltiplicazione di numeri reali (di fatto, con la formula di Eulero non è difficile mostrare che si tratta di un'altra faccia della stessa medaglia). Quello che però non molti sanno è che per una trentina d'anni, a partire dal 1580 circa, il cosiddetto metodo di prostaferesi fu sfruttato dagli astronomi (Come Tycho Brahe) per semplificare il calcolo dei prodotti. Esso si basa sulle formule "inverse", dette di Werner (dal nome del matematico tedesco Johann Werner, che le derivò all'inizio del XV secolo); la versione per il coseno, derivabile dalla soprastante rimpiazzando $\alpha$ e $\beta$ con $\alpha+\beta$ e $\alpha-\beta$ rispettivamente, è

$$
\cos(\alpha)\,\cos(\beta) = \frac{1}{2}( \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)) \, .
$$

Volendo, ad esempio, calcolare il prodotto $1,5 \cdot 2,5$ (come abbiamo fatto qui con l'aiuto dei logaritmi) scriviamo innanzitutto, con l'aiuto delle tavole per il coseno (queste, ad esempio),

$$
1,5 \cdot 2,5 = 100 \cdot 0,15 \cdot 0,25 \cong 100 \cdot \cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ)
$$ e quindi, con la formula di Werner e nuovamente con le tavole,
\begin{eqnarray*}
\cos(81,4^\circ) \cdot \cos(75,5^\circ) &=&
\frac{1}{2}( \cos(156,9^\circ) + \cos(5,9^\circ)) \\
&=&
\frac{1}{2}( -\cos(23,1^\circ) + \cos(5,9^\circ))
\cong 0,037441
\end{eqnarray*}

da cui si ricava $1,5 \cdot 2,5 \cong 3,7441$, con un errore dello 0,16% circa rispetto al risultato esatto. Sulla scorta di questo esempio non è difficile immaginare come tale metodo, abbastanza macchinoso, sia stato rapidamente spazzato via dalla scoperta dei logaritmi.

Un altro esempio di calcolo di questo tipo, opera di Brian Borchers, è disponibile qui, assieme a qualche cenno storico. Chi volesse approfondire maggiormente gli aspetti storici della questione può inoltre consultare (qui) il saggio Prostaphaeresis Revisited, apparso sulla rivista Historia Mathematica nel 1988, dove lo storico dell'astronomia Victor E. Thoren fa un po' di luce sull'attribuzione di un metodo che, seppure oscuro, ha certamente rappresentato una tappa importante nell'evoluzione del calcolo numerico.