Siedler

Forse a causa del centesimo episodio di BBT (che ho visto di recente), o forse perché i miei figli iniziano ad avere l'età per giocarci, negli ultimi tempi si è risvegliato il mio interesse per I Coloni di Catan (Die Siedler von Catan), il geniale german-style board game inventato nel 1995 dall'odontotecnico tedesco Klaus Teuber (che, nel frattempo, ha trasformato l'isoletta di Catan in un vero impero multimediale). Si tratta di un gioco da tavola dalle regole piuttosto semplici, in cui tre o quattro giocatori competono per la supremazia territoriale su un'isola investendo e commerciando in modo oculato le risorse naturali, la cui disponibilità è determinata dalla posizione degli insediamenti e dal caso. Il fascino del gioco risiede da un lato nella sua accessibilità (un "principiante" può essere immediatamente coinvolto), dall'altro, e soprattutto, nell'infinita possibilità di sviluppare strategie anche molto sofisticate. Inoltre, e ciò non guasta mai, una partita non si prolunga quasi mai per ore e ore.

Ovviamente, ma questo vale per ogni gioco da tavolo, Coloni possiede aspetti matematici tutt'altro che trascurabili. Tralasciando quelli, interessantissimi, legati alla teoria dei giochi, varrebbe la pena di menzionare almeno  quelli più elementari legati al calcolo delle probabilità, dal momento che da un lato gli esagoni che compongono l'area di gioco possono essere ricombinati casualmente a ogni partita, e dall'altro la redditività dei territori dipende dalla somma dei punti nel lancio di due dadi. Le probabilità di tali somme possono essere facilmente calcolate (espresse in 36esimi, esse sono pari rispettivamente a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per gli esiti da 2 a 12), e sono tra l'altro evidenziate sui gettoni che contrassegnano i territori (anch'essi vengono disposti casualmente). Interessante la soluzione adottata nella versione inglese, che indica con dei "pallini" le rispettive probabilità; come viene spiegato qui, il valore di un insediamento può essere determinato sommando i "pallini" dei territori adiacenti.

Vista la popolarità di Catan, in rete non mancano le possibilità di approfondimento; ad esempio, un'analisi (a occhio e croce non particolarmente approfondita, però) del gioco può essere consultata qui.

Serpenti, scale e catene di Markov

L'altra sera, giocando in famiglia ad una versione del popolare Snakes and Ladders (o Chutes and Ladders, gioco di origine indiana) riflettevo sul fatto che esso è un esempio da manuale di catena di Markov. In effetti, considerando il percorso di un singolo giocatore, il movimento di una pedina dipende soltanto dall'ultima posizione assunta e dall'esito del lancio di un dado. Una rapida ricerca in rete mi ha poi condotto all'interessante articolo How long is a game of snakes and ladders?, apparso una ventina di anni fa sulla Mathematical Gazette (consultabile gratuitamente a partire da questo link), dove i tre autori (S.C. Althoen, L. King e K. Schilling) applicano tale modello probabilistico alla versione del gioco raffigurata in questo post, giungendo alla conclusione che il numero di lanci necessari a giungere alla meta è in media approssimativamente pari a 39. Si tratta senz'altro di un esempio didatticamente valido di applicazione della matematica ad un problema stimolante e concreto, che ben si abbina all'utilizzo del computer (indispensabile, dal momento che la matrice di transizione necessaria possiede quasi 100 righe e 100 colonne!).

Il gioco incompiuto

Tra gli argomenti della matematica liceale, il calcolo delle probabilità è forse quello che, almeno inizialmente, suscita maggiori entusiasmi tra gli studenti (tale entusiasmo si esaurisce però ben presto con la comparsa dei primi dettagli tecnici). In effetti, vi è un indubbio fascino dietro all'idea che la matematica permetta di gettare uno sguardo sul futuro (anche se poi le cose non stanno veramente così...).

Inevitabilmente, introducendo l'argomento il discorso si sposta rapidamente in direzione del gioco d'azzardo: sorgono spontanee domande quali "Che probabilità ho di fare un 6 al lotto?" oppure "È vero che con la probabilità si può vincere al Blackjack?" (quest'ultima in conseguenza della visione del film "21").
Si tratta di interrogativi del tutto legittimi; in effetti è stato proprio il gioco d'azzardo a dare l'impulso decisivo allo studio del calcolo delle probabilità, mediante il cosiddetto "problema del gioco incompiuto": se una partita a dadi viene interrotta prima della sua conclusione, come va spartita la posta? Questo interrogativo ha rappresentato il tema principale della corrispondenza tra due Grandi della storia della scienza che, per tradizione, viene considerata come la prima vera trattazione del calcolo delle probabilità. I due Grandi in questione furono Pierre de Fermat (il "più grande matematico dilettante") e Blaise Pascal (il matematico, fisico e filosofo che molti considerano anche pioniere dell'informatica). La loro corrispondenza rappresenta il filo conduttore di un'interessante pubblicazione edita da Rizzoli, La lettera di Pascal, nella quale il noto divulgatore Keith Devlin illustra sinteticamente le origini del pensiero stocastico, menzionando anche i contributi di altri Grandi quali Cardano, Huygens, i Bernoulli e Bayes.

Il libro è interessante anche perché ci presenta dei matematici tutt'altro che infallibili: Devlin cerca di mostrare come certi concetti abbiano faticato a farsi strada anche nelle menti dei più grandi pensatori, e come anche uno dei più grandi intuiti della storia abbia potuto fare clamorosamente cilecca (con i cosiddetti numeri primi di Fermat).
Un piccolo appunto all'edizione italiana: il titolo scelto è senz'altro inferiore all'originale ("The unfinished game", che fra parentesi potrebbe anche alludere all'incompiutezza della matematica stessa), ma è soprattutto il sottotitolo a lasciarmi perplesso: "Storia dell'equazione che ha fondato la teoria della probabilità". Di una tale equazione nel testo non vi è traccia (forse, semplicemente, perché essa non esiste...).