Cubitis magikia

... ossia: "un grave disturbo mentale, accompagnato da prurito ai polpastrelli, cui è possibile dare sollievo solo tramite il contatto prolungato con un cubo multicolore originario dell'Ungheria e del Giappone. I sintomi persistono spesso per mesi. Altamente contagioso."

Così si apre Magic Cubology, uno tra i più noti Metamagical Themas di Douglas Hofstadter, apparso su Scientific American nel marzo 1981 (e disponibile nell'omonima raccolta), dedicato all'aggeggio che, fin dagli anni '80, è noto ai più come cubo magico (o Cubo di Rubik, dal nome del suo inventore ufficiale, l'architetto ungherese Ernö Rubik). Vera e propria icona degli anni '80, le sue proprietà combinatorie non potevano passare inosservate all'interno della comunità dei matematici: in particolare, non sono pochi i testi di introduzione alla teoria dei gruppi che a fini didattici fanno efficacemente uso del suo gruppo di trasformazioni (vedi ad esempio qui, qui e qui). Si tratta un sottogruppo del gruppo di permutazioni $S_{48}$ generato da sei particolari trasformazioni (corrispondenti alla rotazione di una delle facce), isomorfo a

$$
\left( \mathbb Z_3^7 \times \mathbb Z_2^{11} \right)
\rtimes \left( \left( A_8 \times A_{12} \right) \rtimes \mathbb Z_2 \right)
$$

(dove $\mathbb Z_p= \mathbb Z / p\mathbb Z$, $A_n$ è il gruppo alterno  e $\rtimes$ rappresenta il prodotto semidiretto), per un totale di

$$
3^7 \cdot 2^{11} \cdot \frac{8!}{2} \cdot \frac{12!}{2} \cdot 2
= 43\,252\,003\,274\,489\,866\,000 \cong 4,3 \cdot 10^{19}
$$

possibili trasformazioni. Ma la cosa sorprendente è che il cubo può essere risolto a partire da qualsiasi configurazione iniziale in meno di 20 mosse, per lo meno applicando un cosiddetto algoritmo divino (dove si suppone cioè che il risolutore sia onnisciente, ed esegua quindi ad ogni passo la mossa ideale).

Devo ammettere che da adolescente prestai ben poco interesse al Cubo: me ne ragalarono uno, ma non andai mai oltre la faccia "con i laterali". Mio figlio, recentemente, si è dimostrato ben più perseverante di me: studiandosi su YouTube gli algoritmi necessari, nel giro di un paio di giorni ha imparato a completare in qualche minuto il rompicapo. Ecco documentata tutta la sua soddisfazione dopo il suo primo tentativo riuscito:

Siedler

Forse a causa del centesimo episodio di BBT (che ho visto di recente), o forse perché i miei figli iniziano ad avere l'età per giocarci, negli ultimi tempi si è risvegliato il mio interesse per I Coloni di Catan (Die Siedler von Catan), il geniale german-style board game inventato nel 1995 dall'odontotecnico tedesco Klaus Teuber (che, nel frattempo, ha trasformato l'isoletta di Catan in un vero impero multimediale). Si tratta di un gioco da tavola dalle regole piuttosto semplici, in cui tre o quattro giocatori competono per la supremazia territoriale su un'isola investendo e commerciando in modo oculato le risorse naturali, la cui disponibilità è determinata dalla posizione degli insediamenti e dal caso. Il fascino del gioco risiede da un lato nella sua accessibilità (un "principiante" può essere immediatamente coinvolto), dall'altro, e soprattutto, nell'infinita possibilità di sviluppare strategie anche molto sofisticate. Inoltre, e ciò non guasta mai, una partita non si prolunga quasi mai per ore e ore.

Ovviamente, ma questo vale per ogni gioco da tavolo, Coloni possiede aspetti matematici tutt'altro che trascurabili. Tralasciando quelli, interessantissimi, legati alla teoria dei giochi, varrebbe la pena di menzionare almeno  quelli più elementari legati al calcolo delle probabilità, dal momento che da un lato gli esagoni che compongono l'area di gioco possono essere ricombinati casualmente a ogni partita, e dall'altro la redditività dei territori dipende dalla somma dei punti nel lancio di due dadi. Le probabilità di tali somme possono essere facilmente calcolate (espresse in 36esimi, esse sono pari rispettivamente a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 per gli esiti da 2 a 12), e sono tra l'altro evidenziate sui gettoni che contrassegnano i territori (anch'essi vengono disposti casualmente). Interessante la soluzione adottata nella versione inglese, che indica con dei "pallini" le rispettive probabilità; come viene spiegato qui, il valore di un insediamento può essere determinato sommando i "pallini" dei territori adiacenti.

Vista la popolarità di Catan, in rete non mancano le possibilità di approfondimento; ad esempio, un'analisi (a occhio e croce non particolarmente approfondita, però) del gioco può essere consultata qui.

Topologia?

Un ottimo studente di IV, Mario J., mi ha sottoposto qualche giorno fa un intrigante rompicapo, che vi ripropongo nella forma originale:

(sorvoliamo sull'abuso del simbolo di uguaglianza).
A giudicare da quanto si dice in rete, il tempo richiesto per la risoluzione dovrebbe essere inversamente proporzionale alle competenze matematiche: un alunno della scuola primaria lo risolverebbe in brevissimo tempo mentre pare che per chi è in possesso di un Ph.D. l'impresa sia disperata.

Io, che un Ph.D. ce l'ho, ci ho impiegato alcuni minuti. Devo rallegrarmene o preoccuparmi?

Un matematico in fattoria

Avevo già sentito parlare del topologo polacco Karol Borsuk (1905-1982) in un paio di occasioni, come autore del problema a lui intitolato ("un sottoinsieme limitato S dell'n-spazio euclideo può sempre essere partizionato in n+1 sottoinsiemi di diametro inferiore a S?") e della congettura di Stan Ulam da lui dimostrata nel 1933 ("per ogni funzione continua tra la n-sfera e l'n-spazio euclideo esiste almeno una coppia di punti antipodali avente la stessa immagine"). Ma ignoravo che Borsuk si fosse distinto anche come inventore di giochi di società. In effetti, per sbarcare il lunario nel triste periodo dell'occupazione tedesca, ideò e commercializzò l'ingegnoso Hodowla zwierzątek, una divertente simulazione della gestione di una fattoria. Caduto nel dimenticatoio per decenni e ricomparso con il titolo Super Farmer (o anche Have you Herd?, in una variante semplificata per il mercato statunitense), il gioco richiede limitate competenze aritmetiche e gestionali e, soprattutto, una buona dose di fortuna (sono reduce da due sonore sconfitte ad opera di mia figlia, 5 anni...). Tra l'altro, esso si segnala anche per l'uso pionieristico di dadi a 12 facce, diventati poi standard nell'ambito dei Role-playing games. 

Insomma un bel passatempo, pensato per i più piccoli ma divertente anche per i più grandicelli, dalle regole semplici e dallo sviluppo veloce (diciamo mezz'oretta per partita).

Serpenti, scale e catene di Markov

L'altra sera, giocando in famiglia ad una versione del popolare Snakes and Ladders (o Chutes and Ladders, gioco di origine indiana) riflettevo sul fatto che esso è un esempio da manuale di catena di Markov. In effetti, considerando il percorso di un singolo giocatore, il movimento di una pedina dipende soltanto dall'ultima posizione assunta e dall'esito del lancio di un dado. Una rapida ricerca in rete mi ha poi condotto all'interessante articolo How long is a game of snakes and ladders?, apparso una ventina di anni fa sulla Mathematical Gazette (consultabile gratuitamente a partire da questo link), dove i tre autori (S.C. Althoen, L. King e K. Schilling) applicano tale modello probabilistico alla versione del gioco raffigurata in questo post, giungendo alla conclusione che il numero di lanci necessari a giungere alla meta è in media approssimativamente pari a 39. Si tratta senz'altro di un esempio didatticamente valido di applicazione della matematica ad un problema stimolante e concreto, che ben si abbina all'utilizzo del computer (indispensabile, dal momento che la matrice di transizione necessaria possiede quasi 100 righe e 100 colonne!).

Icosaedro

Qual è stata la parola più pronunciata a casa mia durante le Feste? Regali? Panettone? Auguri? No - icosaedro. Già, proprio così: il poliedro regolare con f=20 facce, v=12 vertici e e=30 spigoli (nel pieno rispetto della formula v-e+f=2). In effetti, Gesù Bambino (perché da noi passa lui, non il pancione della Cocacola) ha avuto l'ottima idea di lasciare sotto l'albero una generosa confezione di Geomag (versione kids), con il quale il simpatico poliedro si lascia realizzare in un battibaleno (come mostrano orgogliosi i miei bimbi). 

Si tratta, a tutti gli effetti, di un prodotto geniale, che permette da un lato di scatenare la fantasia e dall'altro di toccare con mano strutture geometriche che solitamente vengono soltanto visualizzate, quali ad esempio i solidi platonici o archimedei, investigandone nel contempo la stabilità, le simmetrie e le proprietà combinatorie.

Consigliatissimo, a casa e a scuola.

Boom!

Non mi sarei mai aspettato di trovare della buona matematica all'interno di una bomba da party (quei cilindretti di cartone che esplodono disseminando ovunque gadgets di infima qualità). Immaginate quindi la sorpresa quando, assieme a cappellini di cartone, nasi di plastica e fischietti (che di solito non fischiano) ho raccolto tra i detriti una piccola busta di plastica contenente 6 carte simili a questa:

(il set completo è qui). Le schede permettono di indovinare un numero (tra 1 e 63) pensato da un partner semplicemente facendoci indicare quali di esse lo contengono e sommandone i valori riportati in alto a sinistra. Ad esempio, se il numero pensato è il 35, le carte riconsegnate inizieranno con 1, 2 e 32.

Il funzionamento del gioco è basato sul sistema binario. Ciascuna delle 6 carte contiene soltanto i numeri in cui la cifra 1 compare in una posizione fissa nella notazione in base 2: la carta con "1" contiene tutti i numeri con "1" nella prima posizione (da destra verso sinistra), la carta con "2" contiene quelli con "1" al secondo posto" e così via. Consegnare o non consegnare una carta equivale quindi a comunicare il codice binario del numero pensato: nell'esempio visto sopra, si tratta di 100011 in base 2, cioè 32+2+1=35 (come noto, per convertire in base 10 un numero binario è sufficiente sommare le potenze di 2 corrispondenti alle posizioni non nulle).

Indovinare un numero fino a 63 non sembra poi una gran cosa, però. Per questo motivo, pasticciando un po' con Maple e LaTex mi sono divertito a creare le carte per giocare con numeri fino a 1000 (1023, per la precisione). Sono solo 10 (indicate dalle potenze di 2 da 2^0=1 a 2^9=512), ma ognuna di esse contiene 512 valori. Se a qualcuno interessano, sono qui.

Matematica e canguri

Anche quest'anno la Scuola in cui lavoro ha avuto la fortuna di poter ospitare una fase eliminatoria del gioco-concorso "Kangourou della matematica". La competizione, svoltasi per la prima volta in Australia nel 1981, coinvolge oggi quasi 4 milioni di studenti in oltre 30 nazioni, e rappresenta ormai il più popolare tra i concorsi scolastici a tema matematico. Il sito dell'edizione italiana propone tra le altre cose i testi e le soluzioni delle passate edizioni, dai quali ci si può rendere conto dell'originalità della proposta e del lavoro richiesto ogni anno per la sua attuazione.

Un grosso Grazie, quindi, agli organizzatori, e ... arrivederci all'anno prossimo (nella speranza che, come tre anni fa, uno studente del LiLu1 possa qualificarsi nuovamente per la finale italiana).