Fibonacci e Binet - 1

È più o meno noto a tutti che vi è un rapporto tra i numeri di Fibonacci $$ 1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,89,\,144,\,\ldots$$ e la sezione aurea $$ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad. $$

Meno noto è il fatto che la sezione aurea $\phi$ compare in una formula esplicita per calcolare i termini della successione di Fibonacci, attribuita al matematico francese Jacques Philippe Marie Binet ma già nota in precedenza, ad esempio a Abraham de Moivre.

Tale formula può essere derivata in svariati modi. Ad esempio, come mostrano le slides incluse qui (preparate una dozzina d'anni fa per un corso di Didattica della matematica all'Uni di Zurigo, e in seguito tradotte in italiano per una "Giornata autogestita" del Liceo), linearizzando le potenze di $\phi$.