Fibonacci e Binet - 2

La linearizzazione delle potenze di $\phi$ non è l'unico metodo per ricavare la formula di Binet. In alternativa si può fare uso della cosiddetta matrice di Fibonacci

$$F= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
per cui vale
$$F^2=  \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \,,\,  F^3=  \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \,,\, F^4= \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \,,\, F^5= \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$$
e più in generale, com'è relativamente semplice mostrare induttivamente, 
$$F^n =\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_{n} \\ f_n &f_{n-1} \end{pmatrix}$$

dove $(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7\ldots)=(1,1,2,3,5,8,13,\ldots)$ rappresenta la successione di Fibonacci. Essenzialmente, occorre quindi calcolare le potenze di $F$ in modo efficiente.

Iniziamo determinando gli autovalori di $F$; il suo polinomio caratteristico è il "polinomio aureo" 

$$p_F(\lambda)={\rm det}(F-\lambda I_2)=\lambda^2-\lambda-1$$
i cui zeri sono gli autovalori di $F$
$$\lambda_1=\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2} \quad,\quad \lambda_2=\rho=-\frac{1}{\phi}=1-\phi=\frac{1-\sqrt 5}{2} \;.$$
Per i relativi autospazi vale
$$S_\phi={\rm Ker}(F-\phi I_2)= \left< \begin{pmatrix} -1 \\ \rho \end{pmatrix} \right>$$
e
$$S_\rho={\rm Ker}(F-\rho I_2)= \left< \begin{pmatrix} -1 \\ \phi \end{pmatrix} \right> \;.$$
Di conseguenza, per
$$B= \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ \rho & \phi \end{pmatrix}$$
vale
$$F= B  \begin{pmatrix} \phi & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} B^{-1}$$
e
$$F^n = B  \begin{pmatrix} \phi^n & 0 \\ 0 & \rho^n \end{pmatrix} B^{-1} = \ldots = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \phi^{n+1}-\rho^{n+1} & \phi^n-\rho^n \\  \phi^n-\rho^n & \phi^{n-1}-\rho^{n-1} \end{pmatrix} \:.$$
Dal confronto delle componenti con
$$F^n =\begin{pmatrix} f_{n+1} & f_{n} \\ f_n &f_{n-1} \end{pmatrix}$$
segue immediatamente che
$$f_n =  \frac{ \phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}} \quad,$$
come volevasi dimostrare.