Strano, ma aureo

Qualche settimana fa, bighellonando su YouTube, mi sono imbattuto nella bizzarra equazione differenziale

$$f'(x)=f^{-1}(x)$$

(cioè: quale funzione reale ha per derivata la sua inversa?). Non ricordo il link, ma non è stato difficile ricostruire la soluzione: è sufficiente fare la giusta supposizione sulla forma della soluzione (quello che alcuni chiamano familiarmente un Ansatz): essenzialmente, essa risulta dal fatto che per un "monomio" $b \cdot x^a$ (tra virgolette perché l'esponente non si suppone intero) la forma della derivata e dell'inversa si somigliano:

La cosa rimarchevole è che dal confronto dei coefficienti risulta l'equazione aurea $a^2-a-1=0$, e conseguentemente la sezione aurea $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ fa la sua apparizione, in ben tre posizioni diverse, nella soluzione

$$f(x) = \left( \frac{1}{\phi}\right)^{\frac{1}{\phi}} \cdot x^{\phi} \cong 0.743 \cdot x^{1.618} \quad.$$