La matematica ai tempi del COVID

Anche nella gestione di una crisi come quella attuale la matematica fa la sua parte. L'evoluzione di un'epidemia può essere modellata in modo abbastanza efficace per mezzo di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Il più celebre, forse, è quello proposto da Kermack e McKendrick nel 1927. Si tratta di un cosiddetto modello compartimentale (credo si dica così), in cui la popolazione viene suddivisa in comparti permeabili tra loro ma non verso l'esterno, la cui evoluzione è dettata da equazioni differenziali ordinarie. In particolare, in una versione molto semplificata del modello SIR, quasi un "modello-giocattolo", i compartimenti sono tre:

• i cosiddetti suscettibili, cioè la parte della popolazione non ancora infettata, la cui evoluzione nel tempo è descritta dalla funzione $S(t)$;
• gli infettivi, la cui evoluzione è descritta da $I(t)$;
• i rimossi $R(t)$, cioè chi non è più infettabile (immune o deceduto).

Tra le altre cose, il modello esclude nascite o migrazioni, suppone che la probabilità di incontrarsi sia la stessa per ogni coppia di individui, e assume un tempo d'incubazione nullo.

Le tre equazioni che descrivono le dinamiche nella popolazione si possono intuire come segue:

• la diminuzione istantanea dei suscettibili è direttamente proporzionale agli incontri tra suscettibili e infetti: ciò si traduce nell'EDO $$\frac{dS}{dt}=-\beta S(t) I(t)$$
• l'aumento istantaneo dei rimossi è direttamente proporzionale al numero di infetti:$$\frac{dR}{dt}=\gamma I(t)$$
• dal momento che il numero di individui è costante, vale $$S(t)+I(t)+R(t)=\text{cost.}\;;$$ derivando tale relazione e utilizzando le equazioni viste in precedenza si ricava $$-\beta S(t)I(t)+\frac{dI}{dt}+\gamma I(t)=0\; \iff \; \frac{dI}{dt}=\beta S(t)I(t)-\gamma I(t) .$$ 

Otteniamo quindi il sistema non lineare $$\begin{cases} \frac{dS}{dt} =-\beta S(t) I(t) \\[1mm] \frac{dI}{dt} = \beta S(t) I(t) - \gamma I(t) \\[1mm] \frac{dR}{dt}=\gamma I(t) \end{cases} $$ 

dove $\beta$ e $\gamma$ rappresentano rispettivamente il tasso d'infezione e il tasso medio di guarigione (quest'ultimo è il reciproco della durata media della malattia).

La non-linearità rende problematica la risoluzione del sistema con metodi esatti (ma a quanto pare è possibile ottenerla: si veda qui); è però possibile ricorrere anche a metodi numerici; ad esempio, giocherellando con il comando DEplot di Maple, ponendo $\beta=0.003$ e supponendo una durata media di 7 giorni dell'infezione, partendo da uno 0.01% di contagiati, si ottengono i seguenti grafici per $S$, $I$ e $R$:

Tra l'altro, la seconda equazione può essere riscritta come $$\frac{dI}{dt} = I(t)(\beta S(t)- \gamma) \;;$$ ciò significa che $$ \frac{dI}{dt}<0 \;\iff\; \frac{\beta}{\gamma}S(t)<1 \quad.$$
Nel nostro caso ($\beta=0.003$ e $\gamma=\frac17$), ad esempio, anche il grafico conferma che il numero di contagiati comincia a decrescere quando all'incirca $S<48$.