Sembra che la prodigiosa relazione
$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;,
$$
contenuta negli
appunti di
Srinivasa Ramanujan inviati ad alcuni eminenti matematici inglesi nel 1913, da un lato lo allontanò dalla maggior parte di essi, che lo bollarono come un semplice
crank, ma dall'altro suscitò l'interesse di
Hardy, che invitò a Cambridge il "matematico indiano" dando vita ad una delle più singolari e proficue collaborazioni della storia della disciplina. Hardy seppe leggere al di là della lacunosa notazione di Ramanujan (la cui istruzione formale era alquanto limitata) per riconoscere nell'espressione il calcolo di $\zeta(-1)$, e quindi lo stadio embrionale di quella che oggi viene chiamata $\zeta$-
regolarizzazione ("
zeta-regolarizzazione"), un altro artificio, più potente di quello ideato da
Ernesto Cesàro, per attribuire un valore sensato ad alcune serie divergenti.
Essenzialmente, ad una serie
$$
A=a_1+a_2+a_3+\ldots=\sum_{n=1}^{\infty}a_n
$$
$$
\zeta_A(s)=\frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s}+\frac{1}{a_3^s}+\ldots
= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{s}}
$$
la quale, solitamente, definisce una funzione
olomorfa solo in un semipiano del piano complesso, della forma $Re(s)>x_0$, ma può essere
prolungata analiticamente quasi ovunque in $\mathbb C$, fatta eccezione per un
polo da qualche parte. Si pone allora
$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \zeta_A(-1)
$$
(dove con $\zeta_A$ si intende il suo prolungamento): abusando un po' della notazione (come d'altronde fece l'ingenuo Ramanujan) avremmo
$$
\zeta_A(-1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n^{-1}}= \sum_{n=1}^{\infty}a_n
= a_1+a_2+a_3+\ldots
$$
Questo procedimento associa alla somma
$$
1+2+3+4+5+\ldots
$$
la più nota tra le serie di Dirichlet, ossia la
funzione zeta per antonomasia,
$$
\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=
\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\ldots \;,
$$
la quale,
come mostrò Bernhard Riemann, possiede un prolungamento analitico sul piano complesso fatta eccezione per un polo di primo ordine per $s=1$. Tale prolungamento soddisfa (vedi
qui, a pag. 91) l'equazione funzionale
$$
\zeta(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)
$$
che, curiosamente, mette in relazione il calcolo di Ramanujan con uno dei più famosi problemi del XVII/XVIII secolo, il
problema di Basilea, posto da
Pietro Mengoli nel 1644 e risolto da un certo
Leonhard Euler nel 1735: ponendo $s=-1$ nell'equazione funzionale, si ottiene
$$
\zeta(-1)=\frac{1}{2\pi^2}\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\Gamma(2)\zeta(2) \;;
$$
noto che vale $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ e che $\Gamma(2)=1!=1$ (la
funzione gamma, studiata fra gli altri da Euler e
Gauss, rappresenta un'interpolazione del
fattoriale: $\Gamma(n)=(n-1)!$ per $n=1,2,3,\ldots$), per il fattore rimanente osserviamo che vale
$$
\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+
\ldots=\frac{\pi^2}{6}
$$
(questa è la soluzione del problema posto da Mengoli); vale quindi
$$
\zeta(-2)=-\frac{1}{2\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12} \;;
$$
in altre parole, il metodo della $\zeta$-regolarizzazione fornisce proprio la relazione
$$
1+2+3+4+5+\ldots = -\frac{1}{12}\;.
$$
