L'altro Silvestro

Oggi, ultimo giorno dell'anno, il calendario commemora la figura di San Silvestro, ossia Papa Silvestro I, che resse le sorti della Chiesa tra il 314 e il 335. Più interessante dal punto di vista di questo blog è però la figura di Silvestro II (al secolo Gerberto d'Aurillac), che fu papa tra il 999 e il 1003, quindi a cavallo dei primi due millenni. Egli fu studioso di astronomia e matematica e introdusse in occidente l'uso della notazione posizionale e dell'abaco due secoli prima di Fibonacci (senza l'uso dello zero, pare), che aveva appreso studiando in Spagna presso insegnanti arabi. Forse a causa delle sue frequentazioni islamiche numerose leggende lo rappresentano in combutta con il demonio e questo potenziale patrono della matematica non fu nemmeno beatificato.

Coseni iperbolici, cavalli e letteratura

Che forma assume una fune quando viene appesa per i due capi? Non si tratta di una parabola, come saremmo portati ad affermare, ma di una cosiddetta catenaria, come spiega Carlo Emilio Gadda (1893-1973), uno dei "pesi massimi" della letteratura italiana del '900 (ma ingegnere di formazione), in una nota al termine del "quadro milanese" Al parco, in una sera di maggio contenuto nell'Adalgisa (dove a dire il vero la curva in questione viene usata per descrivere la groppa di un malandato cavallo):

"Catenaria" è la figura di equilibrio della catena sospesa per i due capi (franc. "chaînette", ingl. "catenary curve"). È la curva secondo cui si dispone un filo pesante, omogeneo, flessibile, inestensibile, tenuto per i due estremi A e B, nel campo della gravitazione terrestre. L'equazione della catenaria è

ove si denomina a la distanza, dall'asse x, del punto centrale ed imo, sedente sull'asse y. È curva simmetrica rispetto ad y. Galileo, in un geniale errore, aveva assimilato la catenaria fisica all'arco centrale della parabola. E di fatto, se te tu sviluppi la y in serie di Stirling-Mac Laurin, e te tu trascuri i termini (trascurabilissimi ne' computi applicativi) di grado della x superiore al secondo, te tu ne cavi l'equazione 

che è l'equazione d'una parabola. Il che si pratica appunto nel calcolo meccanico delle funicolari e delle linee elettriche aeree, cioè sospese. 

Come fa notare Gadda, per le applicazioni pratiche il tratto centrale della catenaria può essere assimilato ad una parabola. Ecco una visualizzazione di questo fatto, con a=1:

Sgt. Piergiorgio's ...

L'ultima fatica letteraria dell'instancabile Piergiorgio Odifreddi è il libro dal titolo beatlesiano Il club dei matematici solitari del prof. Odifreddi (forse un po' lungo e autocelebrativo). Si tratta di una scelta di interventi tenuti nell'ambito del terzo Festival della Matematica di Roma da personalità di fama mondiale quali ad esempio i matematici Michel Atiyah, John Nash e Alain Connes, lo scacchista Boris Spassky, fino a Dario Fo e Umberto Eco, che ben illustrano come la tanto bistrattata matematica ben si inserisce nel discorso Culturale (la "C" maiuscola è voluta). Tra l'altro, oltre che dal libro in questione, il Festival è documentato anche da una collana di 10 DVD usciti in allegato a Le Scienze e dalla ricca scelta di files multimediali disponibili sul sito della manifestazione.

Finalmente un libro leggibile firmato Odifreddi, che quando ci risparmia i sui deliri anticlericali si conferma divulgatore appassionato e competente.

E ora... la derivata!

Dal momento che l'ultimo non viene più visualizzato, è tempo di inserire un nuovo filmatino (non vorrei sovraccaricare il vostro browser...). Oggi la scelta è caduta sulla Derivative Song, scritta (le parole, per lo meno) e interpretata dall'inimitabile Tom Lehrer:

Il testo :
You take a function of x and you call it y,
Take any x-nought that you care to try,
You make a little change and call it delta x,
The corresponding change in y is what you find nex',
And then you take the quotient and now carefully
Send delta x to zero, and I think you'll see
That what the limit gives us, if our work all checks,
Is what we call dy/dx,
It's just dy/dx.

Se avessi un pianoforte in aula, e soprattutto se lo sapessi suonare, potrei provarci anch'io...

Rivoluzione metrica

Il sistema metrico decimale è talmente ancorato nella nostra esperienza quotidiana da sembrarci scontato e banale (non per gli anglosassoni, però). Non riflettiamo mai a proposito di quanto sia agevole (perché compatibile con la nostra notazione numerica) il suddividere in 10 parti una misura di riferimento, non ci interroghiamo sul perché si utilizzino prefissi greci per i multipli e latini per i sottomultipli, e non ci poniamo il problema di come sia stato scelto, ad esempio, il metro campione.

A queste domande, e a molte altre, può dar risposta l'interessante saggio Il metro del mondo di Denis Guedj (quello del Teorema del pappagallo, di cui ho già parlato) uscito qualche mese fa in allegato a Le Scienze ma disponibile anche in libreria in edizione economica TEA. L'opera, un saggio che si legge come un romanzo, pone l'accento da un lato sulle vicende politiche che hanno fatto da sfondo, nel periodo rivoluzionario, all'adozione della nuova unità di misura, dall'altro sull'impressionante lavoro di misurazione, nelle condizioni più avverse, del quarto di meridiano passante per Parigi, la cui decimilionesima parte avrebbe appunto rappresentato la nuova unità di riferimento (nei due secoli trascorsi da allora la definizione sarà poi raffinata più volte).

Il libro menziona inoltre il ruolo politico di primo piano assunto nelle varie fasi della rivoluzione francese da parte dei matematici più noti dell'epoca (come Legendre, Lagrange, Vandermonde e, soprattutto, Gaspard Monge, il "padre" della geometria descrittiva, che firmò la messa a morte di Luigi XVI).

Logica, filosofia, letteratura e fumetto

Apostolos Doxiadis, studioso delle relazioni tra matematica e narrativa, si era già fatto notare qualche anno fa per il bel romanzo Zio Petros e la congettura di Goldbach (pubblicato in italiano da Bompiani), resoconto della progressiva discesa verso la pazzia di un immaginario zio alla disperata ricerca della soluzione di uno dei più celebri problemi aperti della matematica.

Ben più reale è il protagonista della sua ultima fatica, Logicomix, graphic novel ("romanzo grafico") dedicata alla vita di Bertrand Russell, uno tra i più Grandi pensatori del '900. Sceneggiato da Doxiadis con la consulenza del prof. Christos Papadimitriou e splendidamente disegnata dalla coppia Alecos Papadatos/Annie di Donna, il fumetto ben descrive la vita tormentata del grande logico, filosofo e pacifista e la sua "epica ricerca della verità" (per citare il sottotitolo). La narrazione è strutturata su tre piani temporali differenti: a fare da cornice vi sono da una parte il resoconto della creazione dell'opera, con protagonisti i 4 autori, dall'altra una conferenza tenuta nel 1939 in un'università statunitense, nella quale Russell stesso diventa narratore. Tale narrazione, che costituisce il corpo principale dell'opera, si snoda a partire dagli anni '70 del XIX secolo, e ben illustra alcune fasi della vita di Russell, concedendo spazio sia alla sua vita privata sia alla sua ricerca dei fondamenti della matematica, sull'onda del "sogno" di Hilbert che sarà però frustrato da Kurt Gödel. Numerosi sono i personaggi famosi che gli autori fanno interagire con il protagonista: particolare rilievo vien dato a Alfred North Whitehead (co-autore dei Principia Mathematica, mai terminati) e al tormentato Ludwig Wittgenstein (che Russell vedeva come ideale discepolo), ma ruoli importanti sono riservati anche a Gottlob Frege, Georg Cantor, Giuseppe Peano, ai già citati David Hilbert e Kurt Gödel e inoltre, in misura minore, a John Von Neumann. In relazione a tali personaggi, gli autori si concedono pure qualche libertà, immaginando incontri e interazioni mai avvenute (o, meglio, trasportando sul piano fisico incontri avvenuti soltanto sul piano filosofico) e addirittura, come nel caso di Frege, allungando la vita a qualcuno di essi. Ma, come fa notare Doxiadis nella postfazione, "il libro non è - e non vuol essere - un'opera storica; è - e vuole essere - una graphic novel".

La narrazione, come detto, si ferma al 1939, alla vigilia dell'entrata degli USA nel secondo conflitto mondiale. Non vengono quindi menzionati altri fatti salienti della vita di Russell (che vivrà fino all'età di 98 anni) quali il Nobel per la letteratura del 1950 (per la sua Storia della filosofia occidentale) e l'intensa attività pacifista degli anni '50 e '60 (vale la pena di menzionare il Manifesto Russell-Einstein contro le armi di distruzione di massa e l'opposizione all'intervento americano in Vietnam).

Varie iniziative online hanno accompagnato l'uscita di Logicomix: si segnalano in particolare il sito ufficiale (dove è possibile leggere una corposa anteprima), un gruppo su Facebook e un interessante making of su YouTube.

In rete non mancano poi le risorse per chi voglia approfondire le sue conoscenze su un Gigante della cultura occidentale come Russell: si consiglia di partire dai links della pagina Wikipedia.

L'altra costante

In un'ipotetica classifica delle costanti matematiche più gettonate, le posizioni di testa sarebbero senz'altro occupate dall'unità, dallo zero, da pi greco, da e (il numero di Eulero) e inoltre da i, l'unità immaginaria. L'appartenenza di questi cinque numeri ad una sorta di club esclusivo è certificata dalla celeberrima identità che li lega indissolubilmente tra loro.

Dietro a queste cinque inarrivabili prime donne, un intero serraglio di costanti minori scalpita per entrare nel salotto buono. Fra di esse, quella forse maggiormente degna di nota è la costante gamma di Euler-Mascheroni

definita come limite della differenza tra la serie armonica e il logaritmo naturale:

Proprio a tale costante è dedicato il bel libro Gamma: exploring euler's constant di Julian Havil, edito dalla Princeton University Press. Non si tratta, premetto, di un testo accessibile al grande pubblico: la comprensione dell'opera presuppone una buona familiarità con i concetti di base dell'analisi reale e pertanto essa è consigliata soltanto a chi abbia perlomeno terminato il liceo con solide basi. La sua lettura si rivela però oltremodo appagante: con il pretesto di "nobilitare" il ruolo di gamma, Havil fornisce un'ottima introduzione alle idee e ai metodi della cosiddetta teoria analitica dei numeri, branca della matematica inaugurata nella seconda metà del XIX secolo da Bernhard Riemann e Lejeune Dirichlet, entrando spesso nei dettagli tecnici senza dimenticare gli aspetti storici. Tra le altre cose, l'autore ci mostra come il logaritmo e la serie armonica possiedano proprietà e applicazioni davvero sorprendenti, spesso spiegabili proprio con l'approssimazione della serie armonica ottenuta dal logaritmo naturale con l'aiuto di gamma.
La parte finale del libro (quella più ostica) è dedicata ai numeri primi e alla loro relazione con la funzione zeta di Riemann, uno tra gli oggetti più affascinanti e misteriosi dell'intera matematica. Al termine del volume l'autore ha poi inserito alcune appendici di carattere tecnico; ho trovato molto interessanti, per chiarezza e  sinteticità, quelle dedicate agli sviluppi di Taylor e alla teoria delle funzioni complesse.
Tutto sommato, quindi,  un ottimo testo "per molti ma non per tutti",  che costituisce un eccellente esempio di divulgazione per iniziati.

Da un IgNobel a un Nobel...

Pi greco

di Wislawa Szymborska (da Grande Numero, 1976)

Degno di meraviglia è il numero Pi greco
tre virgola uno quattro uno.
Le sue cifre seguenti sono ancora tutte iniziali,
cinque nove due, perchè non ha mai fine.
Non si fa abbracciare sei cinque tre cinque con lo sguardo,
otto nove con il calcolo,
sette nove con l’immaginazione,
e neppure tre due tre otto per scherzo, o per paragone
quattro sei con qualsiasi cosa
due sei quattro tre al mondo.
Il più lungo serpente terrestre dopo una dozzina di metri s’interrompe.
Così pure, anche se un po’ più tardi, fanno i serpenti delle favole.
La fila delle cifre che compongono il numero Pi
non si ferma al margine del foglio,
riesce a proseguire sul tavolo, nell’aria,
su per il muro, il ramo, il nido, le nuvole, diritto nel cielo,
per tutto il cielo atmosferico e stratosferico.
Oh come è corta, quasi quanto quella di un topo, la coda della cometa!
Quanto è debole il raggio di una stella, che s’incurva nello spazio!
Ed ecco invece due tre quindici trecento diciannove
il mio numero di telefono il tuo numero di camicia
l’anno mille novecento settanta tre sesto piano
numero di abitanti sessanta cinque centesimi
giro dei fianchi due dita una sciarada e una cifra,
in cui vola vola e canta, mio usignolo
e si prega di mantenere la calma,
e così il cielo e la terra passeranno,
ma il Pi greco no, quello no,
lui sempre col suo bravo ancora cinque,
un non qualsiasi otto,
un non ultimo sette,
stimolando, oh sì, stimolando la pigra eternità
a durare.

Wislawa Szymborska, vincitrice del Nobel per la letteratura nel 1996, è considerata la più importante poetessa polacca contemporanea. 

A proposito di IgNobel...

(Grazie a Laura per la segnalazione) I promotori del premio IgNobel ("che prima fa ridere e poi riflettere"), cioè gli editori degli Annals of Improbable Research (scaricabili qui gratuitamemente, almeno nella versione low-res) si dimostrano meno schizzinosi di Alfred Nobel per quanto riguarda la matematica: in effetti, tra le 10 categorie premiate nel 2009 fa capolino anche quest'ultima, anche se il premiato non è propriamente un matematico. L'onore è andato al Dr. Gideon Gono ("failure is not an option"), il governatore della Banca Centrale dello Zimbabwe, per aver fornito alla gente un modo semplice e immediato per familiarizzarsi con i numeri - dai più piccoli ai più grandi - stampando banconote da un centesimo di dollaro fino a 100 bilioni ("trillions", in inglese).

In effetti, l'iper-inflazione (che nel 2008 ha raggiunto valori superiori a 200 000 000% (sì, duecento milioni percento!)) ha fatto sì che il 12 aprile 2009 il dollaro dello Zimbabwe cessasse di esistere come moneta corrente.

Trink, trink, Brüderlein, trink ...

Oggi, 19 settembre, a Monaco si apre l'Oktoberfest. Per un paio di settimane sotto le numerose Bierzelten la buona birra bavarese scorrerà a fiumi, perpetuando una tradizione che si ripete per la 176esima volta.

Ma, vi starete chiedendo, che c'entra la matematica?

C'entra, c'entra (almeno un po'). Si sa che una birra è tanto più buona quanto più lenta è la scomparsa della sua schiuma, ed è probabilmente nel clima un po' fermentato di una Bierzelt che al Dr. Arnd Leike, ricercatore in fisica proprio all'Università di Monaco, è saltato in mente di dedicare una saggio all'argomento. Utilizzando come  modello il decadimento esponenziale, Leike ha quindi analizzato tre diverse birre mettendone a confronto i "tempi di dimezzamento" per giungere ad una misura quantitativa della bontà di una particolare birra. Le considerazioni del ricercatore sono apparse sull'European journal of physics nell'articolo Demonstration of the exponential decay law using beer froth (scaricabile qui in formato .pdf), che è valso all'autore il premio Ig-Nobel per la fisica nel 2002 (la parodia del premio Nobel che ogni anno mette alla berlina le ricerche più strampalate). 

Al di là dell'aspetto scherzoso della questione, il lavoro di Leike può rivelarsi didatticamente interessante: la misura del livello di schiuma è senz'altro realizzabile in un laboratorio scolastico, e può quindi rappresentare un'ottima introduzione alla legge di decadimento esponenziale (a condizione che poi gli alunni non si bevano la birra).

L'articolo di Leike ha avuto un'eco inaspettata nella stampa, e in rete si trova parecchio sull'argomento. Ad esempio, sul sito di ScienCentral (qui) è possibile visionare un breve documento filmato che comprende anche un'intervista al ricercatore tedesco.

Un, due, tre, ...

Nel suo libro Il curioso dei numeri (pubblicato in Italia da Mondadori), Andrew Hodges ci propone una scorribanda attraverso la matematica seguendo un originalissimo percorso ispirato dai numeri da 1 a 9: in 9 capitoli (numerati appunto come le cifre del sistema arabo) l'autore ci conduce attraverso (cito dal sottotitolo) "stranezze matematiche, controversie scientifiche e divagazioni" varie, dove i temi trattati denotano qualche tipo di legame con la cifra corrispondente (legame che può essere evidente, come quello tra il numero 8 e l'elaborazione elettronica, o anche piuttosto arbitrario, come quello tra il 6 e il calcolo combinatorio). In ogni caso, si tratta di un libro interessante, da non leggere tutto d'un fiato per evitare un'indigestione e magari per prendersi il tempo di approfondire altrove gli argomenti trattati.
A proposito di numeri: su YouTube mi sono imbattuto in una registrazione "vintage" di La serie dei numeri, in cui il buon Angelo Branduardi ci dà la sua personale interpretazione del loro significato. Cliccare per ascoltare.

La matematica dei supereroi

La teoria dei grafi può rivelarsi uno strumento prezioso per lo studio delle cosiddette reti sociali: rappresentando gli individui come vertici e le relazioni tra essi come archi tali reti (ad esempio di collaboratori scientifici) possono essere studiate in maniera efficiente con algoritmi ben noti.
Nel 2002 un trio di ricercatori dell'Università delle Baleari (R. Alberich, J. Miro-Julia e F. Rossello) ha investigato con tali metodi il grafo costruito a partire dall'Universo Marvel (cioè l'insieme dei personaggi dei fumetti editi dalla Marvel Comics), i cui vertici sono costituiti dai personaggi e gli archi dalle loro collaborazioni (due vertici sono cioè uniti da un arco se gli eroi corrispondenti sono stati protagonisti di una stessa storia). L'analisi, basata sullo studio di 6486 personaggi distribuiti su 12942 albi, ha evidenziato come l'universo artificiale creato nel 1962 da Stan Lee presenti molte delle caratteristiche di una vera rete sociale.
Il saggio che riassume le conclusione dei tre autori, intitolato Marvel Universe looks almost like a social network, è disponibile qui sotto forma di preprint.

La matematica degli zombies

(No, non sto per riferire delle reazioni degli alunni di fronte alle mie lezioni)
A volte girovagando a caso per la rete può capitare di fare delle scoperte interessanti. L'altro giorno, ad esempio, sul frequentatissimo blog boingboing mi sono imbattuto in un post del giornalista e autore di SF canadese Cory Doctorow a proposito di un bizzarro studio sull'epidemiologia dello zombismo. Pensando ad uno scherzo, ho scaricato l'articolo corrispondente ("When zombies attack!: Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection", disponibile qui in formato .pdf). In realtà si tratta di un esercizio interessante di modellizzazione matematica, in cui le interazioni tra tre popolazioni indicate con S (i "suscettibili", cioè i viventi), Z (gli zombies) e R (i "rimossi", cioè i deceduti) permettono di esprimere un sistema di 3 equazioni differenziali ordinarie (cioè una terna di relazioni tra le grandezze R,S,T e le rispettive variazioni istantanee, o derivate, R',S',T') dal cui studio è possibile prevedere quale sarà l'effetto del contagio a lungo andare. Le conclusioni del quartetto di autori (capeggiato dal prof. Robert J. Smith? (il punto interrogativo fa parte del cognome)) faranno senz'altro felici i fans di George A. Romero, Max Brooks e Robert Kirkman: nel caso di un'invasione di non-morti, le chances del genere umano sarebbero veramente poche...

110010

Cinquantesimo post. In due anni non si tratta certo di un grande exploit, ma d'altro canto l'intenzione iniziale era soltanto di sperimentare questa nuova forma di comunicazione tanto in voga...
Tra l'altro, 50 è il più piccolo numero naturale che può essere scritto in due modi diversi come somma di due quadrati (quali?).

Lisbeth & Fermat

Ho da poco terminato la lettura del romanzo La ragazza che giocava con il fuoco, gradevole episodio centrale della trilogia Millennium (che, pare, nelle intenzioni del compianto Stieg Larsson sarebbe dovuta diventare un decalogo). Il personaggio principale è, tra le altre cose, una matematica autodidatta che alimenta la propria passione per i numeri con la lettura di un immaginario testo intitolato Dimensions in Mathematics, arrivando addirittura a ricostruire autonomamente la dimostrazione "perduta" (o, meglio, inesistente) di quel briccone di Pierre de Fermat...

Matematica esplosiva

Ho terminato da qualche giorno la lettura dell'autobiografia di Stanislaw Ulam, appropriatamente intitolata Avventure di un matematico (edita in italiano da Sellerio). Scritto con uno stile informale e discontinuo ma certamente sincero, il libro ben rappresenta vita ed opere del celebre matematico, dalla sua formazione nella Polonia di inizio '900 alla sua frenetica attività di ricerca negli States, dove Ulam ricoprì un ruolo fondamentale all'interno del progetto Manhattan, che rese gli USA la prima potenza nucleare al mondo. In effetti, la parte più interessante del libro consiste proprio nella descrizione "dall'interno" dei laboratori di Los Alamos, dove Ulam lavorò a lungo anche dopo il secondo conflitto mondiale. A dire il vero, nel libro la questione delle applicazioni belliche della ricerca viene affrontata in un modo molto superficiale (un po' cinico?): Ulam giustifica le ricerche effettuate a Los Alamos da un punto di vista meramente intellettuale, senza soffermarsi sulle conseguenze pratiche che esse anno avuto, liquidando in poche righe le reazioni ai lanci delle atomiche su Hiroshima e Nagasaki.
Nella sua autobiografia, Ulam dedica ampio spazio ad alcuni grandi personaggi che lo accompagnarono nelle sue avventure intellettuali, in particolare Stefan Banach (il fondatore dell'analisi funzionale), Enrico Fermi (Nobel per la fisica nel 1938) e John Von Neumann (che qualcuno definisce "l'ultimo dei grandi matematici"), veri propri "mostri sacri" della scienza del '900 che il libro ci restituisce nella loro dimensione più profondamente umana.
Stanislaw Ulam fu un pioniere dell'applicazione del computer ai problemi della matematica. Egli fu tra i primi scienziati civili ad aver accesso ad un calcolatore elettronico (il cosiddetto MANIAC I, sviluppato negli anni '50 a Los Alamos a partire dalle idee di Von Neumann), e quindi a poter sfruttare una potenza di calcolo fino ad allora inimmaginabile a supporto della teoria. In particolare, egli è considerato uno dei padri dei metodi detti di Monte Carlo per la simulazione di sistemi fisici e matematici altamente complessi.

L'equazione di Gaber

(Grazie ad Arno per la segnalazione) Per rendere interessanti le sue opere, un autore di qualità deve poter attingere ad un ampio bagaglio culturale, che non può prescindere da qualche nozione di matematica (ne avevo accennato qui). Ciò è senz'altro il caso per il grande Giorgio Gaber, che per parlare di sentimenti ricorre nientepopodimeno che al concetto di equazione. Ascoltare per credere.

Chissà, forse in futuro la costanteassumerà il nome di costante di Gaber...

Aggiornamento (9 febbraio 2010): il brano è stato rimosso, ma al momento è ancora disponibile qui (si tratta, credo, di un'altra versione).

Io non sono un teorema.

Nel 1999, il settimanale statunitense Time pubblicò una serie di numeri speciali dedicati alle 100 personalità più importanti del XX secolo, con lo scopo di proclamare la "persona del secolo" (che risultò poi essere un fisico dei nome Albert). Tra i 20 "Scienziati e pensatori" scelti dalla redazione vi fu anche Kurt Gödel, il logico che, tramite i cosiddetti teoremi di incompletezza, pose fine alla speranza Hilbertiana di dimostrare che l'aritmetica è priva di contraddizioni.
Il modo in cui Gödel pervenne alle sue conclusioni rappresenta una delle vette più alte mai raggiunte dal pensiero umano: essenzialmente, egli riuscì ad "aritmeticizzare" gli enunciati della matematica assegnando ad essi una sorta di codice numerico (il processo è oggi noto come gödelizzazione) permettendo quindi all'aritmetica di parlare di sè stessa. In questo modo gli fu possibile tradurre nel linguaggio aritmetico il paradosso di Epimenide (che si può sintetizzare nell'enunciato "quello che sto dicendo è falso"), sostituendo però il concetto di verità (logicamente e filosoficamente problematico) con il concetto di dimostrabilità. Aritmeticizzò quindi l'espressione "io non sono dimostrabile" (o "io non sono un teorema"), mostrando poi che tale enunciato non può essere né provato né refutato in nessun sistema formale abbastanza potente da descrivere le proprietà dei numeri naturali.
I principali risultati di Kurt Gödel sono l'argomento del libro Tutti pazzi per Gödel (edito da Laterza) del filosofo italiano Francesco Berto, che già nel sottotitolo promette di essere una guida completa al Teorema di Incompletezza. Si tratta di un'opera notevole, dal taglio tutt'altro che divulgativo: nella prima parte ("La sinfonia gödeliana"), Berto illustra in modo abbastanza dettagliato i due "teoremi di incompletezza" nell'ambito dell'aritmetica tipografica (un sistema assiomatico semplice ma abbastanza potente da definire i numeri naturali), supponendo che il lettore possieda già una certa dimestichezza con la logica di base, mentre nella seconda ("Il mondo dopo Gödel") analizza le implicazioni e le interpretazioni (spesso prive di senso) che i risultati gödeliani hanno avuto nel dibattito filosofico, ad esempio in riferimento al realismo platonico (i risultati della matematica esistono di per sè, e vengono quindi scoperti, o vengono creati dal matematico?).
Si tratta quindi di un libro che si può rivelare molto appagante, a condizione di possedere i necessari prerequisiti e di essere disposti ad una lettura molto concentrata (la lettura superficiale di un testo di questo tipo non ha senso). Per quanto mi riguarda, confesso di averlo letto forse troppo frettolosamente, e quindi di aver potuto assaporare solo in parte le raffinatezze offerte. Mi ripropongo però di riascoltare presto la sinfonia Gödeliana, approfondendo magari anche la biografia di Kurt Gödel.

Wolfram|Alpha

Da qualche settimana è attivo Wolfram Alpha, un nuovo... non saprei come definirlo: il termine ufficiale è computational knowledge engine (motore di conoscenza computazionale?). In ogni caso, si tratta dell'ultima trovata dell'eclettico Stephen Wolfram (l'inventore di Mathematica, uno dei più popolari CAS presenti sul mercato): una sorta di motore di ricerca "intelligente", che comprende anche funzioni di calcolo avanzato (il cui scopo principale, comunque, sembra essere quello di fungere da veicolo pubblicitario proprio per Mathematica, su cui è basato). Provare per credere: è sufficiente inserire la propria richiesta (che può consistere anche in un'equazione, un integrale o semplicemente una funzione) nel campo previsto, e vedere quel che succede...

Qualche domanda interessante da porre a Wolfram Alpha (purtroppo, almeno per ora, occorre conoscere un po' d'inglese):

x^3*cos(x)
factor(x^32-1)
limit(n->infinity) Fibonacci(n+1)/Fibonacci(n)
days since august 2, 1971
Where am I?
How are you?
How old are you?
How many roads must a man walk down before you can call him a man?
What is the meaning of life?

Pitagora Superstar

(Il titolo è una citazione; un non-premio a chi la coglie).
Sembra che Pitagora di Samo (575-495 a.C.) ispiri titoli non propriamente allegri. Infatti, dopo il già menzionato Delitti Pitagorici, ecco La vendetta di Pitagora, romanzo d'esordio del matematico e giornalista freelance Arturo Sangalli edito in Italia da Ponte alle Grazie. La narrazione, un po' scontata e vagamente Browniana (non è un complimento...) ruota attorno alla ricerca di un misterioso manoscritto, attribuito a Pitagora stesso, in cui il maestro avrebbe sintetizzato il suo pensiero e dato le istruzioni necessarie a ritrovare, a secoli di distanza, colui in cui egli si sarebbe reincarnato. La trama è comunque funzionale al vero scopo del libro, che è parlare di matematica: Sangalli riesce a comunicare al lettore alcune idee e alcuni concetti per niente banali e ad illustrarli in modo piuttosto convincente (tra le altre cose, si occupa ad esempio del gioco del 15, dell'irrazionalità della radice di 2 o, nell'appendice, del numero di permutazioni senza punti fissi). Lo scopo divulgativo dell'opera è evidente anche dall'editore dell'edizione originale, la prestigiosa Princeton University Press.
Si tratta quindi di un interessante caso di "matematica di contrabbando", dove l'interesse degli aspetti matematici compensa ampiamente le piccole pecche nella narrazione.

Bella e impossibile

There's no permanent place in the world for ugly mathematics. Ossia, al mondo non c'è un posto permanente per la brutta matematica. Si tratta di una delle frasi più celebri del saggio di G. H. Hardy A mathematician's apology (pubblicato in italiano da Garzanti con il titolo Apologia di un matematico), che ho recentemente riletto con maggiore cognizione di causa dopo aver approfondito la figura del suo autore (qui e, parzialmente, qui).

Scritto nel 1940, quando Hardy si era ormai reso conto di essersi lasciato alle spalle il suo periodo produttivo, il libro rappresenta un tentativo di giustificare i motivi che possono condurre a dedicare la propria vita alla matematica. Si tratta di un'opera affascinante, nella quale il far matematica viene descritto come un processo soprattutto creativo e l'importanza della matematica viene giudicata con criteri estetici. Hardy accosta in modo affascinante arti figurative, musica e matematica: il pittore crea la bellezza accostando i colori, il musicista accostando i suoni e il matematico accostando le idee. Già, idee, e non formule, equazioni o simboli. Per Hardy, quindi, la matematica è interessante quando è bella.
Purtroppo, però, Hardy si mostra un po' troppo ottimista: anche il fruitore occasionale può facilmente cogliere la bellezza in un dipinto o in una sinfonia, ma senza aver istruito adeguatamente l'occhio (o l'orecchio) della mente ben difficilmente saprà apprezzare l'eleganza di una dimostrazione. Il libro contiene solo due esempi (celeberrimi) di "belle dimostrazioni": l'irrazionalità della radice di 2 e l'infinità dei numeri primi, guarda caso proprio quelle che, all'inizio del primo anno di Liceo, vengono somministrate agli studenti (i quali, purtroppo, non ci trovano niente di affascinante; tuttalpiù le studiano a memoria sperando di far bella figura...).
Per Hardy esiste una matematica "banale" (quella che viene studiata nei corsi scolastici e universitari) e una matematica "vera", che viene approfondita proprio perché bella. Afferma inoltre che la matematica "vera" non potrebbe mai avere applicazioni nefaste, ad esempio in ambito bellico. Qui si rivela però un cattivo profeta: oggi il suo campo di studi prediletto, la teoria dei numeri, viene sfruttata intensamente in crittologia, disciplina legata a doppio filo alle applicazioni militari.
Il libro, per lo meno nell'edizione della Cambridge University Press, è preceduto da una lunga introduzione biografica del romanziere C. P. Snow, che è stato vicino ad Hardy negli ultimi anni della sua vita e che ci permette quindi di farci un'idea precisa degllo stato d'animo in cui il matematico si trovava al momento in cui l'opera è stata redatta.

Ramanujan done right

Insoddisfatto dalla lettura di Il matematico indiano, ho deciso di andare alla ricerca di un libro maggiormente focalizzato sulla figura di Srinivasa Ramanujan. Seguendo il consiglio dello stesso Leavitt, ho quindi scelto la biografia The man who knew infinity, dello statunitense Robert Kanigel (in italiano è uscito da Rizzoli, con il titolo L'uomo che vide l'infinito). Non sono rimasto deluso, anche se pure quest'opera trascura un po' troppo gli aspetti matematici. Il libro ci presenta soprattutto la vicenda umana di Ramanujan, dalla ricerca di un mentore (che troverà in Hardy) agli anni trascorsi in virtuale isolamento in Gran Bretagna (dove il rapporto con la sua unica figura di riferimento, Hardy appunto, non andrà mai oltre l'ambito professionale), fino alla malattia che, ahimè, lo condurrà ad una morte prematura. La figura che ne emerge è quella di un uomo triste, costantemente alla ricerca dei riconoscimenti che in India non aveva potuto avere (ne avrà comunque in abbondanza, anche se troppo tardi per goderne appieno), geniale ma limitato nell'espressione del suo genio da una conoscenza frammentaria della matematica (ad Hardy spetterà il compito di istruirlo almeno per quanto riguarda l'essenziale).
Come ho già detto, il libro non approfondisce la matematica di Hardy e Ramanujan; esso permette però di farsi un'idea abbastanza chiara dell'ambito in cui si mossero i due, specie per quanto riguarda il problema delle partizioni (che studia i modi in cui un numero naturale può essere scritto come somma), a cui diedero contributi fondamentali.
Per approfondire la matematica di Ramanujan esistono innumerevoli riferimenti online; qui, ad esempio, è possibile leggere la raccolta dei suoi lavori e "sfogliare" virtualmente i suoi celebri quaderni; qui, invece, è possibile scaricare l'edizione critica di tali quaderni curata dal matematico statunitense Bruce Berndt.

Gemelli diversi

Dopo aver rimandato per un po', mi sono infine deciso a leggere La solitudine dei numeri primi (uscito per i tipi di Mondadori), opera d'esordio del torinese Paolo Giordano, bestseller e vincitore del Premio Strega 2008. Devo dire di essermi avvicinato al libro con una certa diffidenza, dovuta forse alla massiccia pubblicità di cui ha beneficiato, ma di essere stato piacevolmente sorpreso dalla narrazione. I protagonisti del romanzo sono due giovani torinesi, Alice Della Rocca e Mattia Balossino, le cui esistenze, segnate da due tragedie patite nell'infanzia, si dipanano parallelamente, venendo più volte a contatto senza mai intrecciarsi definitivamente, proprio come le coppie di numeri primi gemelli (vedi sotto), indissolubilmente legate ma sempre separate da un numero pari. Concentrata in sette diversi momenti, la trama segue per oltre un ventennio le vite di Alice e Mattia, mostrandocene le esistenze tormentate fino all'ultimo, definitivo distacco, paradossalmente l'unico momento del libro che lascia spazio ad una seppur tenue speranza. Tra l'altro, l'autore è ricercatore in fisica, e la sua familiarità con il mondo accademico è evidente nella costruzione del personaggio di Mattia, ricercatore in topologia algebrica, se non erro.
Il titolo del romanzo rimanda ai numeri primi gemelli: si tratta di quei numeri primi che differiscono di due unità, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, 41 e 43 e così via; la coppia più grande conosciuta consta di due numeri di 58711 cifre. Tali numeri costituiscono uno dei tanti misteri ancora insoluti nel mondo dell'aritmetica: in effetti nessuno ha ancora saputo provare o confutare la congettura dei primi gemelli: esiste un'infinità di numeri primi p tali che p+2 sia a sua volta primo. A supporto della plausibilità di tale congettura esistono forti indizi (ma anche risultati apparentemente contraddittori, ad esempio il Teorema di Brun, secondo il quale, contrariamente a quanto accade con tutti i numeri primi, la somma dei reciproci dei numeri primi gemelli converge), ma nessuna dimostrazione formale.
Ed ora, per terminare, un simpatico intermezzo musicale: dal programma NovaScienceNow, una canzone ispirata dai numeri primi gemelli, inframmezzata dagli interventi di alcune "guest stars" matematiche d'eccezione (un piccolo appunto: chi ha realizzato il video, ha erroneamente incluso il numero 1 nella famiglia dei numeri primi...):

Ramanujan e Winnie the Pooh

Non è un buon segno quando, per il sonno, un libro mi cade di mano. E tantomeno se ciò si verifica per 5 sere di fila (anche in un periodo di intenso lavoro). Forse in tal caso occorrerebbe rimettere il libro nello scaffale e leggere altro, ma non ne sono capace: se inizio un libro, devo finirlo (ognuno ha le sue piccole fissazioni).
Forse avrete intuito che sto per parlare di un libro che non mi è piaciuto. In effetti, l'aggettivo che per me meglio descrive Il matematico indiano (traduzione pasticciata del più efficace The indian clerk) dell'autore statunitense David Leavitt, è noioso. La trama è costruita attorno ad uno degli aneddoti più famosi della storia matematica recente, ossia l'incontro e la collaborazione tra il grande matematico inglese Godfrey H. Hardy (1877-1947, l'autore dell'Apologia di un matematico) e Srinivasa Ramanujan (1887-1920), il "commesso" del titolo dell'edizione inglese, forse una delle menti matematiche più geniali e interessanti di sempre. Dico "costruita attorno" perché Ramanujan rimane per lo più ai margini delle vicende trattate, incentrate su Hardy (e sulle sue tormentate relazioni omosessuali) e sui sentimenti di Alice Neville, personaggio semi-inventato, nei confronti di Ramanujan (ma anche, comunque, su una Gran Bretagna alle prese con il primo conflitto mondiale e sulle differenze culturali tra India e Inghilterra). L'aspetto matematico della questione viene ridotto a poche pagine; in effetti mi chiedo perché si siano dovuti scomodare così tanti "pesi massimi" (fanno la loro comparsa anche John E. Littlewood (ovviamente) e Bertrand Russell) per lasciare poi la matematica ai margini della vicenda (e qui mi trovo d'accordo con la recensione di Alex Kasman). Comunque il libro qualche pregio deve pur averlo, visto che si sarebbe aggiudicato uno dei premi Grinzane Cavour 2009, se il premio esistesse ancora.
A proposito dell'edizione italiana: a parte il maldestro titolo, vi è da segnalare un'altra chicca: il frontespizio di copertina parla della "difficile e contrastata relazione d'amore" tra Hardy e Ramanujan: è vero che Hardy descrive la sua relazione con Ramanujan parlando di "one romantic incident", ma di amore tra i due nel libro non vi è traccia. Ma chi li scrive 'sti frontespizi? E, soprattutto, li legge prima i libri?
Comunque dal libro di Leavitt qualcosa ho imparato: qual è l'origine segreta di Winnie the Pooh...

Happy pi-day

Sui calendari anglosassoni il 14 marzo è scritto 3/14 (giorno e mese sono invertiti). Per questo, a qualche burlone è saltato in mente di dedicarlo a pi greco, il rapporto tra circonferenza e diametro, forse la costante più famosa dell'intera matematica. Per motivi pratici, essa viene studiata da sempre: qusi due millenni prima di Cristo erano già note approssimazioni accurate all'1%, e la più famosa approssimazione razionale, 22/7, è opera di Archimede di Siracusa (III sec. a.C.; tra l'altro, da qualche parte ho letto che per qualcuno il 22 luglio sarebbe il pi-approximation day, stavolta nel nostro calendario).
Si tratta del più celebre numero trascendente, non ottenibile cioè come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi: questo risultato, ottenuto nel 1882 da Ferdinand von Lindemann, risolve uno dei più famosi problemi geometrici della storia, quello relativo alla quadratura del cerchio (che si dimostra quindi impossibile). Essendo trascendente, pi greco è pure irrazionale, non esprimibile cioè come quoziente di numeri interi. Ciò è noto sin dalla fine del '700 (grazie a Johann Heinrich Lambert), e dimostrazioni sempre più brevi ed eleganti si sono succedute nel tempo. La più celebre, che fa uso solo dell'analisi elementare, fu pubblicata dal matematico statunitense Ivan Niven nel 1947.
Tra l'altro, il 14 marzo 2009 ricorre anche il 130esimo anniversario della nascita di uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, tale Albert Einstein...

Per ogni matematico

Angelo Branduardi è senz'altro un grande artista. Fra le sue canzoni, nell'album Il dito e la luna, fa capolino anche un pochino di matematica:

Il testo (opera del poliedrico Giorgio Faletti, sì, proprio lui) non è forse ispiratissimo, ma l'ascolto è senz'altro piacevole (qualità della registrazione a parte). Interessante anche questo videoclip "artigianale" (qui il suono è migliore).

Alice e la matrice

Chi può essere considerato il matematico più celebre? Se la domanda fosse posta ad uno specialista, forse la risposta sarebbe compresa nell'insieme {Archimede, Euclide, Newton, Eulero, Gauss, Hilbert}. Ma se non ci limitassimo alla produzione matematica la palma andrebbe forse consegnata al reverendo Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), più noto con il nom de plume di Lewis Carroll. Esatto: l'autore dei romanzi Alice nel paese delle meraviglie e Attraverso lo specchio fu anche un matematico di prim'ordine (oltre che pioniere della fotografia e inventore). Il suo acume si espresse soprattutto nel campo della logica: egli escogitò un celebre paradosso dei tre barbieri (da non confondere con il quasi omonimo paradosso proposto da Bertrand Russell) ed inventò tutta una serie di giochetti logici. Il più famoso di essi è forse il seguente: "un bicchiere contiene 50 cucchiai di latte ed un altro 50 cucchiai d'acqua; un cucchiaio di latte viene travasato nell'acqua, e in seguito un cucchiaio della miscela ottenuta viene travasato nel primo bicchiere; c'è più acqua nel latte o più latte nell'acqua?"
Anche nel campo dell'algebra lineare Carroll ottenne risultati notevoli: in particolare, egli escogitò un ingegnoso procedimento per il calcolo del determinante di una matrice, detto per condensazione, che nel caso 3x3 può essere descritto come segue:

Tale metodo (generalizzabile per mezzo di un procedimento ricorsivo a matrici quadrate qualsiasi) è ben più di una semplice curiosità: esso può rappresentare una valida alternativa alla regola di Sarrus o agli sviluppi per riga o per colonna (almeno per matrici "piccole"), ma viene perlopiù ignorato.

Il gioco incompiuto

Tra gli argomenti della matematica liceale, il calcolo delle probabilità è forse quello che, almeno inizialmente, suscita maggiori entusiasmi tra gli studenti (tale entusiasmo si esaurisce però ben presto con la comparsa dei primi dettagli tecnici). In effetti, vi è un indubbio fascino dietro all'idea che la matematica permetta di gettare uno sguardo sul futuro (anche se poi le cose non stanno veramente così...).

Inevitabilmente, introducendo l'argomento il discorso si sposta rapidamente in direzione del gioco d'azzardo: sorgono spontanee domande quali "Che probabilità ho di fare un 6 al lotto?" oppure "È vero che con la probabilità si può vincere al Blackjack?" (quest'ultima in conseguenza della visione del film "21").
Si tratta di interrogativi del tutto legittimi; in effetti è stato proprio il gioco d'azzardo a dare l'impulso decisivo allo studio del calcolo delle probabilità, mediante il cosiddetto "problema del gioco incompiuto": se una partita a dadi viene interrotta prima della sua conclusione, come va spartita la posta? Questo interrogativo ha rappresentato il tema principale della corrispondenza tra due Grandi della storia della scienza che, per tradizione, viene considerata come la prima vera trattazione del calcolo delle probabilità. I due Grandi in questione furono Pierre de Fermat (il "più grande matematico dilettante") e Blaise Pascal (il matematico, fisico e filosofo che molti considerano anche pioniere dell'informatica). La loro corrispondenza rappresenta il filo conduttore di un'interessante pubblicazione edita da Rizzoli, La lettera di Pascal, nella quale il noto divulgatore Keith Devlin illustra sinteticamente le origini del pensiero stocastico, menzionando anche i contributi di altri Grandi quali Cardano, Huygens, i Bernoulli e Bayes.

Il libro è interessante anche perché ci presenta dei matematici tutt'altro che infallibili: Devlin cerca di mostrare come certi concetti abbiano faticato a farsi strada anche nelle menti dei più grandi pensatori, e come anche uno dei più grandi intuiti della storia abbia potuto fare clamorosamente cilecca (con i cosiddetti numeri primi di Fermat).
Un piccolo appunto all'edizione italiana: il titolo scelto è senz'altro inferiore all'originale ("The unfinished game", che fra parentesi potrebbe anche alludere all'incompiutezza della matematica stessa), ma è soprattutto il sottotitolo a lasciarmi perplesso: "Storia dell'equazione che ha fondato la teoria della probabilità". Di una tale equazione nel testo non vi è traccia (forse, semplicemente, perché essa non esiste...).