Sua maestà la matematica

Tra un episodio e l'altro di Breaking bad, l'altra sera ho dato un'occhiata allo speciale Majesty of Music and Math, prodotto dalla rete KBME, canale televisivo del Nuovo Messico affiliato al network PBS (la televisione pubblica statunitense). Alternando ascolti di brani celebri eseguiti dall'orchestra Filarmonica di Santa Fe (città non lontana dalla Albuquerque di Walter White) con spiegazioni teoriche di livello accessibile al grande pubblico, il matematico/informatico Chris Moore illustra tutta una serie di interconnessioni tra l'universo musicale e quello matematico.

Didone#5 - Considerazioni finali

 

Può sembrare intuitivamente chiaro, ma in realtà non è così semplice mostrare che il problema isoperimetrico per un poligono piano viene risolto dall'$n$-agono regolare (suppongo che la dimostrazione si basi su considerazioni legate alla simmetrizzazione analoghe a quelle fatte da Jakob Steiner per trattare il caso generale; qualcosa si può trovare qui). Ad ogni modo, dando per assodato questo fatto, non è difficile ricavare una disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano: dato che per il perimetro $P_n$ e l'area $A_n$ dell'$n$-agono inscritto in un cerchio di raggio unitario vale

$$P_n=2n\,\sin\frac{\pi}{n} \quad,\quad A_n=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\quad,\quad\frac{P_n^2}{A_n}=4n \,\tan\frac{\pi}{n}$$

otteniamo immediatamente la disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano

$$4n \,\tan\frac{\pi}{n} \cdot A_n \le P_n^2 \quad.$$

Dedichiamo un'ultima considerazione al rapporto $\frac{P_n^2}{A_n}$: per $n=3,4,5,$ $6,7,8,9,$ $100,1000$ esso assume approssimativamente i valori

$$20.78\;,\;16\;,\;14.53\;,\;13.86\;,\;13.48\;,\;13.25\;,\;13.10\;,\;12.57\;,\;12.57$$

Il calcolo "formale" del limite, con l'ausilio della regola di Bernoulli-L'Hôpital

(e del principio di trasposizione per i limiti di funzioni) fornisce il risultato

$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n^2}{A_n}=\lim_{n\to\infty}4n \,\tan\frac{\pi}{n}=\lim_{x\to+\infty}4x \,\tan\frac{\pi}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}$$

e

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{-\pi\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)}{x^2}}{-\frac{1}{4x^2}}=4\pi \quad.$$

Quindi con $n\to\infty$ riotteniamo, in questo modo, l'originale disuguaglianza isoperimetrica

$$4\pi A \le P^2 \quad.$$

Didone#4 - Quadrilateri inscritti

Rimpiazzando la formula di Erone con la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza

$$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$

dove $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ rappresenta nuovamente il semiperimetro, non è difficile estendere quanto fatto al #3 al caso dei quadrilateri inscritti (tra l'altro, la formula di Erone non è altro che il caso particolare con $d=0$). Ponendo nuovamente, per semplicità, $s=2$, e con $x$, $y$, $z$ e $w=2-x-y-z$ i lati del quadrilatero, si ha
$$A(x,y,z)=\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)}\quad.$$ In questo caso il calcolo, seppure non problematico, non è molto agevole; avvalendomi dell'aiuto di Maple, ho risolto il sistema
$$\begin{cases}B_x(x,y,z)=0\\ B_y(x,y,z)=0\\B_z(x,y,z)=0 \end{cases}$$ con
$$B(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)\quad,$$ ricavandone l'unica soluzione "interessante"
$$(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad,$$ corrispondente ad un punto di massimo della funzione $A$. Di nuovo, quindi, il massimo viene assunto nel caso di un quadrato, e la disuguaglianza isoperimetrica risulta essere
$$16A \le P^2 \quad.$$

Didone#3 - Triangoli qualsiasi

Se al triangolo non vengono posti vincoli particolari, il problema isoperimetrico si complica leggermente, dal momento che le variabili libere diventano due e quindi il problema di ottimizzazione diventa bidimensionale. Non è quindi possibile proporlo in tutti i curricula liceali, ma soltanto in alcune occasioni mirate di approfondimento (Opzione specifica, Opzione complementare, Lavoro di maturità, nell'ordinamento elvetico).

A venirci in aiuto in questo caso è la formula di Erone
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono i lati del triangolo e $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ è  il suo semiperimetro.

Ponendo, per semplificare il calcolo, $P=2$, con $x$, $y$ e $z=2-x-y$ i lati del triangolo, per la sua area vale

$$A(x,y)=\sqrt{(1-x)(1-y)(x+y-1)}$$ e, svolgendo le parentesi,
$$A(x,y)=\sqrt{x^2y+xy^2-3xy-x^2+2x-y^2+2y-1}\;.$$
Calcoliamo le derivate parziali:
$$A_x(x,y)=\frac{y^2+2xy-2x-3y+2}{2A(x,y)}$$
e
$$A_y(x,y)=\frac{x^2+2xy-3x-2y+2}{2A(x,y)}\;.$$
Essenzialmente, quindi,la ricerca dei punti critici si riduce alla risoluzione del sistema
$$\begin{cases}x^2+2xy-3x-2y+2=0\\y^2+2xy-2x-3y+2=0\end{cases}$$

(che non presenta particolari difficoltà, dal momento che la prima equazione è lineare nell'incognita $y$). 

Scartando le soluzioni $(1,0)$, $(0,1)$ e $(1,1)$ (per le quali non esistono $A_x$ e $A_y$),  ricaviamo il punto di massimo

$$(x,y)=\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$ e quindi nuovamente
$$x=y=z=\frac{1}{3}P$$ e la disuguaglianza isoperimetrica per i triangoli
$$12\sqrt{3}A \le P^2 \quad.$$

Didone#2 - Triangoli isosceli

Nel caso di un triangolo isoscele, dove la variabile libera è soltanto una, il problema isoperimetrico può essere agevolmente trattato con l'aiuto di un po' di calcolo differenziale, riconducendolo ad un problema di ottimizzazione come se ne risolvono tanti in quarta liceo. Se, per comodità, chiamiamo $x$ la metà della base, il lato obliquo misurerà $c=\frac{1}{2}P-x$ e l'altezza

$$ h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{\frac{1}{4}P^2-Px} \quad. $$ Per l'area otteniamo quindi l'espressione
$$A(x)=\frac12\cdot2x\cdot h = x \sqrt{\frac{1}{4}P^2-Px} =\sqrt{\frac{1}{4}P^2x^2-Px^3}$$
la cui derivata rispetto a $x$ è
$$A'(x)=\frac{1}{2A(x)}\left( \frac{1}{2}P^2x-3Px^2\right)=\frac{Px}{2A(x)}\left( \frac{1}{2}P-3x\right)\;.$$
Se $x\neq0$, vale quindi
$$A'(x)=0 \quad\iff \quad P=6x\quad.$$

In altre parole, l'area è massima se il triangolo è equilatero. Con $x=\frac{1}{6}P$ otteniamo la disuguaglianza

$$A \le \frac{P^2}{12\sqrt{3}}\quad\iff\quad 12\sqrt{3}A \le P^2 \quad.$$

Didone#1 - Rettangoli

Questo lo si può proporre anche in prima liceo, magari facendo riferimento alla recinzione di un campo: tra tutti i rettangoli di dato perimetro, qual è quello di superficie massima?

Se $x$ e $h=\frac{1}{2}P-x$ rappresentano i lati del rettangolo, per la sua area in funzione di $x$ vale

$$
A(x)=x \cdot h = \frac12Px-x^2=x\left(\frac{1}{2}P-x\right) \quad.
$$

Si tratta di una funzione quadratica, che assume il valore massimo in corrispondenza del vertice della parabola (aperta verso il basso) che la rappresenta. Dal momento che l'ascissa del vertice si trova a metà strada tra i due zeri $x=0$ e $x=\frac{1}{2}P$, risulta chiaro che il valore massimo viene assunto per $x=\frac{1}{4}P$, cioè quando il rettangolo è un quadrato.

Simultaneamente, sostituendo tale valore in $A(x)$, otteniamo una disuguaglianza isoperimetrica per i rettangoli:

$$
A \le \frac{1}{16} P^2 \quad \iff \quad 16A \le P^2 \quad.
$$

Didone#0 - il problema

Narra una leggenda che Didone, esiliata da Tiro, ottenne dal re nordafricano Ierba tanta terra quanta ne poteva contenere una pelle di toro. Senza perdersi d'animo, la furba regina tagliò quest'ultima a striscioline in modo da poter cingere la superficie necessaria a fondare la città di Cartagine. È quindi in onore della sfortunata regina, cui Virgilio dedica il Libro IV dell'Eneide, che oggi il problema isoperimetrico nel piano è noto anche come problema di Didone. La sua formulazione è abbastanza semplice: qual è la superficie più ampia che può essere racchiusa da una curva chiusa di data lunghezza? - e la sua soluzione viene solitamente espressa per mezzo della disuguaglianza isoperimetrica

$$
4 \pi A \le P^2
$$

dove $A$ e $P$ rappresentano rispettivamente area e perimetro della superficie in questione ($P$ è quindi la lunghezza della curva chiusa). È facile verificare che la disuguaglianza diventa uguaglianza quando $A=\pi r^2$ e $P= 2\pi r$, cioè quando la curva è un cerchio.

Anche se dal punto di vista geometrico appare abbastanza plausibile, la soluzione del problema è tutt'altro che immediata. Il primo ad approcciarsi rigorosamente ad esso fu il matematico rossocrociato Jakob Steiner, che nel 1838 ne diede una (quasi-) dimostrazione basata su un processo di simmetrizzazione (qualche dettaglio lo si può trovare qui), e ricordo vagamente di averne studiata una versione al Politecnico, forse quella basata sulla formula di Green contenuta qui.

La complessità dell'argomento ne rende problematica una trattazione a livello liceale (anche se l'approccio di Steiner può essere reso abbastanza efficacemente), ma è senz'altro possibile specializzare la disuguaglianza specificando la forma della figura. L'uso, ad esempio, di triangoli o quadrilateri permette di applicare tecniche diverse, di difficoltà crescente, senz'altro accessibili ad uno studente del Liceo. Ne accennerò in una serie di post attualmente in fase di redazione.

Glorioso nella Scienza dei Numeri

Lunedì scorso sono passato da Brescia. Cittadina affascinante, ricca di storia e cultura; dovrò tornarci, dal momento che, visto il tempo da lupi, abbiamo dovuto forzatamente limitare all'essenziale la visita (però abbiamo pranzato bene, alla Locanda dei Guasconi). 

In Piazza del Duomo, a destra dell'ingresso del Duomo Vecchio, del tutto per caso mi sono imbattuto nella piccola lapide che ricorda l'incidente che diede il soprannome a Niccolò Fontana, vittima di una barbara aggressione durante il sacco del 1512 mentre come molti suoi concittadini cercava rifugio proprio all'interno della Chiesa.

Temperamento equabile?

Grazie alle (quasi) illimitate possibilità offerte da Spotify, poco fa ero alla ricerca di una versione del Wohltemperiertes Klavier da usare come musica di sottofondo. Basandomi sul primo Preludio, ho trovato un po' secca la versione di Glenn Gould e un po' troppo morbida e sfuggente quella di Maurizio Pollini. La versione del 1972 di Friedrich Gulda mi è parsa un buon compromesso (musicista eclettico e geniale; ricordo un suo concerto di parecchi anni fa all'Estival Jazz luganese).

I 48 preludi e le 48 fughe contenute nei due volumi del Clavicembalo ben temperato rappresentano una pietra miliare nella storia della musica occidentale. Nel corso del XX secolo i teorici della musica hanno a lungo dibattuto sul vero significato del termine "ben temperato"; in particolare, non è chiaro se il temperamento inteso da Bach fosse davvero quello equabile, basato su una progressione geometrica di ragione pari alla radice dodicesima di 2. Ma questa sembra essere l'opinione di Eugenia Cheng, matematica e pianista, che nel video che segue ci illumina un po' sulla questione.
La questione del temperamento, con particolare riferimento a Johann Sebastian Bach, è un argomento affascinante al confine tra musica e matematica. Qui è possibile leggere qualcosa in proposito. Qui, inoltre, si indaga sul temperamento equabile considerandolo dal punto di vista delle frazioni continue, metodo "universale" per ottenere buone approssimazioni razionali.

Che sia la volta buona?

Ingannevolmente semplice. Così definisce Sir Michael Atiyah la sua proposta di dimostrazione del più ambito tra i problemi aperti della matematica, l'Ipotesi di di Riemann, annunciata due giorni fa nell'ambito del sesto Heidelberg Laureate Forum. Sarebbe davvero un evento di portata storica, anche se lo scetticismo non manca, dal momento che il quasi novantenne Atiyah negli ultimi anni ha già in un paio di occasioni prodotto lavori che non hanno convinto la comunità matematica. Ma, d'altro canto, Atiyah non è un Opeyemi qualsiasi, bensì uno dei più eminenti matematici degli ultimi decenni, vincitore sia della medaglia Fields che del premio Abel.

Il riassunto del lavoro di Sir Michael, che combina tecniche sviluppate dal Friedrich Hirzebruch e John Von Neumann, è scaricabile qui. Qui, invece, è possibile visionare il talk tenuto dal Atiyah due giorni fa a Heidelberg (tra l'altro, i commenti che seguono il video non sono certo teneri nei confronti dell'anziano professore). Incrociamo le dita, ma forse non ci siamo neanche stavolta...

A poche ore...

... dall'esordio della rappresentativa rossocrociata al mondiale, mi sto preparando psicologicamente leggendo questo paper di tre ricercatori dell'Università di Innsbruck, in cui si descrive l'approccio basato sul bookmaker consensus model per prevedere l'andamento del torneo. Essenzialmente i tre hanno estrapolato e opportunamente rielaborato i dati forniti da 26 bookmakers per poi simulare un milione di volte l'intera competizione. Manco a dirlo, le squadre favorite risultano essere il Brasile (con una probabilità del 16.6%) e la Germania (15.8%), e ai poveri miei connazionali viene associato un modestissimo 0.8%. Quindi, a rigor di logica, stasera non c'è nessuna chance di spuntarla contro i temuti verdeoro. Ma quanto successo otto anni fa, e pure l'esito del match di ieri sera, mostra che non sempre il risultato finale rispecchia il prestigio delle forze in campo. Anche perché, dalla versione interattiva del paper tirolese, accessibile qui, si evince comunque una non trascurabile probabilità di spuntarla (24%). Vedremo fra qualche ora come sarà andata. Hopp Schwiiz! 

Geometria

di Giorgio Caproni, da Il franco cacciatore (Garzanti 1982)

L’importante è colpire
alle spalle.
Così si forma un cerchio
dove l’inseguito insegue
il suo inseguitore.
Dove non si può più dire
(figure concomitanti
fra loro, e equidistanti)
chi sia il perseguitato
e chi il persecutore.

Sabato mattina, mentre tenevo d'occhio un gruppo di studenti intenti a svolgere l'esame di maturità di Italiano, lo sguardo mi è caduto su una delle tracce, il toccante Congedo del viaggiatore cerimonioso. Cercando di rinfrescare le mie conoscenze sull'autore, mi sono imbattuto in questo inseguimento circolare, che non potevo non riportare in questo blog.

Tra l'altro, la poesia di Caproni è menzionata nel saggio Matematica e poesia di Paolo Maroscia, pubblicato nella raccolta Matematica e Cultura 2008.

Sherlock Euler

Die Gleichung des Lebens ("L'equazione della vita") è il quarto romanzo del giornalista, scrittore e sceneggiatore tedesco Norman Ohler. Ambientato durante la bonifica delle paludi dell'Oderbruch, attualmente al confine tra Germania e Polonia, mette in scena nientepopodimeno che Leonhard Euler, incaricato dal re prussiano Federico il Grande di effettuare una serie di rilievi e di calcoli che avrebbero dovuto accelerare lo svolgimento dei lavori. Al suo arrivo, il matematico viene suo malgrado coinvolto nell'indagine per l'omicidio di uno dei responsabili del progetto, [spoiler alert!] rischiando a sua volta la vita a due riprese. Il romanzo, abbastanza avvincente, ha la sua forza nelle ambientazioni, tra le corti di Berlino e Potsdam e un mondo ancora intriso (oltre che d'acqua) di superstizioni antiche, fieramente attaccato alle sue tradizioni e ai privilegi legati alla pesca, attività destinata a scomparire assieme alle anse del fiume e agli acquitrini, e flagellato dalla malaria che [spoiler alert!] nel romanzo assume il ruolo di vera e propria arma biologica.

Un bel romanzo, che sarebbe interessante veder tradotto in italiano (anche perché, visto il mio tedesco imperfetto, ho un po' faticato a districarmi tra le dettagliate descrizioni di Ohler della flora e della fauna del Bruch).

Cold mathematics making its move on me now

Carina, questa ballad intitolata semplicemente Mathematics, singolo d'esordio dei Cherry Ghost, gruppo indie rock capitanato dal cantautore Simon Aldred. La matematica c'è solo nel titolo, anche se a quanto pare Aldred l'ha studiata all'università di Leeds.

Un problema virale

Sembra (l'ho letto qui) che il problema di determinare il rapporto tra l'area del quadrato e l'area colorata, pubblicato da Ed Southall sul suo account Twitter,  abbia stimolato l'ingegno di parecchi appassionati, che hanno letteralmente sommerso il professore inglese di soluzioni più o meno corrette. In effetti il problema è carino; l'ho risolto al volo con un metodo "cartesiano" poco elegante, ma ha una soluzione piuttosto immediata, che di primo acchito mi era sfuggita vista la mia propensione a complicarmi le cose (forse a causa del mio background algebro/geometrico, un ambito dove di soluzioni semplici non ce ne sono mai...).

Il Teorema di Dante

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Lo sanno anche i sassi, e lo sapeva pure Dante, che nel Paradiso, Canto XIII (nel quale san Tommaso d’Aquino, de l’ordine d’i frati predicatori solve una questione toccata di sopra da Salamone), vv. 101-102 ci fa spiegare dall'Aquinate in persona che Salomone chiese il dono della sapienza non per comprendere se del mezzo cerchio far si puote trïangol sì ch’un retto non avesse, bensì per governare il suo popolo con rettitudine.

È in onore di questi versi che la ben nota proprietà dei semicerchi (caso particolare del teorema sugli angoli al centro e alla circonferenza) viene a volte indicata come Teorema di Dante. Me l'hanno raccontato solo qualche giorno fa. Non si finisce mai di imparare. Meno male...

Arte e simmetria

Un filmato vintage, prodotto qualche annetto fa dalla Rai per le scuole, con un uso pionieristico della computer graphics. Gli spunti degni di approfondimento sono molti: tra gli altri, i disegni di Lucio Saffaro, la formula di Birkhoff per la misura dell'estetica e l'uso dei numeri di Fibonacci nell'Allegro Barbaro di Béla Bartok. Senza dimenticare Dürer, Le Corbusier e l'Alhambra di Granada.

Già, l'Alhambra. Un anno fa mi trovavo proprio lì...

Olga è tornata

Già, Olga. Così avevo soprannominato, mezza vita fa, la sequenza esatta 

che sintetizza il Teorema di Barsotti, Rosenlicht e Chevalley sulla struttura di un gruppo algebrico (nella versione data qui da Rosenlicht: sia G un gruppo algebrico connesso. Allora esiste un sottogruppo algebrico lineare connesso L di G tale che G/L è una varietà abeliana. L è unico e contiene tutti i sottogruppi algebrici connessi lineari di G; qui se ne trova una trattazione in un linguaggio più moderno, ad opera di James Milne). Si trattava essenzialmente del punto di partenza delle considerazioni che, un passettino dopo l'altro, mi avevano permesso di conseguire l'agognato PhD (estensione al caso non commutativo di alcune costruzioni: compattificazione equivariante e immersione proiettiva di G per mezzo della teoria della discesa fedelmente piatta, coomologia,...).

Per anni non avevo più pensato a Olga. Fino a qualche settimana fa, quando l'ho ritrovata rappresentata a pochi centimetri dal mio nome nel preprint On the multiplicity estimates (scaricabile qui), del matematico messicano Mario Huicochea, dove mi viene attribuita un'idea che, a dire il vero, avevo ripreso (citando correttamente, ci mancherebbe!) da un lavoro del mio Capo.

Un piccolo tuffo del passato, comunque, in un periodo in cui sto iniziando a pensare ad un altro pezzettino del mio futuro...

Chissà cosa si erano detti?

Già, chissà cosa si erano detti, Bohr e Heisenberg, in quel giorno di settembre del 1939, quando quest'ultimo, esponente di punta della fisica nucleare tedesca, si era recato in visita dal suo vecchio mentore in una Copenhagen occupata dai nazisti. Nessuno lo saprà mai veramente, ma da quel giorno i rapporti tra i due si incrinarono definitivamente. È il tema portante della pièce Copenhagen, di Michael Frayn, magistralmente interpretata negli scorsi giorni sul palco del LAC di Lugano e del Teatro di Locarno da Umberto Orsini (Bohr), Massimo Popolizio (Heisenberg) e Giuliana Lojodice (Margarethe Bohr) (io l'ho vista sabato sera a Lugano, in una sala purtroppo non gremitissima). La trama è presto riassunta: all'interno di una sorta di aula universitaria, dalle pareti ricoperte di formule matematiche, in un luogo senza tempo, gli spiriti dei tre rievocano il fatidico incontro, rivivendolo e reinterpretandolo in più modi, confrontando i rispettivi punti di vista e, nel caso di Heisenberg, cercando di giustificarsi per le scelte fatte di fronte al "papa" della fisica teorica, cercandone disperatamente l'approvazione. Frayn appare forse un po' troppo indulgente nei confronti del tedesco, anche alla luce di rivelazioni emerse proprio in seguito al dibattito riaccesosi grazie al successo della pièce, in particolare contenute nelle bozze di una lettera di Bohr destinata a Heisenberg, mai spedita, che smentiva le voci secondo cui Heisenberg avrebbe volutamente rallentato il programma nucleare tedesco. Tra i due, sarebbe poi stato il danese a contribuire in modo determinante allo sviluppo definitivo dell'arma atomica, in seguito alla sua fuga dalla Danimarca occupata e alla sua adesione al progetto Manhattan.

Simple math

Un brano gradevole (con un video inquietante), tratto dall'omonimo album della Manchester Orchestra, complesso indie rock  basato ad Atlanta, Georgia. La matematica a dire il vero c'entra poco, tranne qualche fugace allusione nel testo.

Matematico, poeta e cittadino

Confesso che, fino a poco tempo fa, tutto quello che sapevo di Lorenzo Mascheroni (1750-1800) è che il suo nome compare a fianco di quello di Leonhard Euler nel nome della costante nota come gamma. Fino a quando, in modo del tutto casuale, mi sono imbattuto, sul sito EPFL del prof. Manuel Ojanguren, nella "poesia scherzevole" Al reverendo signor curato di San Cassiano in cui, con fine ironia, il matematico Bergamasco stigmatizzava l'atteggiamento bigottamente antiscientifico di tale don Antonio Serughetti:

Ho quindi cercato di colmare almeno un po' la mia ignoranza; in particolare mi è venuto in aiuto l'interessante articolo Mascheroni, matematico, poeta e cittadino, del prof. Luigi Pepe, pubblicato nel 1999 sul Bollettino dell'Unione Matematica Italiana e disponibile online qui. Il breve saggio ripercorre la breve vita del matematico e letterato, sacerdote (per un po'), professore e poi rettore a Pavia, membro del Gran Consiglio della Repubblica Cisalpina, spentosi inaspettatamente a Parigi nel 1800, cinquantenne, mentre si apprestava ad approvare l'introduzione del sistema metrico decimale. Come matematico, oltre che per la costante gamma, Mascheroni viene ricordato principalmente per la sua Geometria del compasso, dedicata a Bonaparte l'italico, in cui mostrò come ottenere con il solo compasso (e quindi senza la riga) tutta una serie di costruzioni geometriche classiche. Mascheroni ebbe effettivamente modo di illustrare di persona il contenuto del libro a a Napoleone il quale, si dice, ne fece sfoggio con Laplace e Lagrange. Tra l'altro, qualcuno attribuisce al matematico bergamasco anche la paternità del celebre Teorema di Napoleone, uno dei pochi risultati degni di nota della geometria classica posteriori a Euclide. 

La più nota composizione del Mascheroni poeta è L'invito a Lesbia Cidonia, "poesia scientifica" volta ad illustrare i pregi di Pavia e della sua università alla poetessa Paolina Secco Suardo Grismondi di Bergamo, aka Lesbia Cidonia. Ma non va dimenticata La geometria.

Al Mascheroni Vincenzo Monti dedicò la cantica In morte di Lorenzo Mascheroni, nota anche come Mascheroniana, in cui, alla maniera dantesca, narrò il suo viaggio ultraterreno verso un cielo dominato dalla figura di Napoleone.