Narra una leggenda che Didone, esiliata da Tiro, ottenne dal re nordafricano Ierba tanta terra quanta ne poteva contenere una pelle di toro. Senza perdersi d'animo, la furba regina tagliò quest'ultima a striscioline in modo da poter cingere la superficie necessaria a fondare la città di Cartagine. È quindi in onore della sfortunata regina, cui Virgilio dedica il Libro IV dell'Eneide, che oggi il problema isoperimetrico nel piano è noto anche come problema di Didone. La sua formulazione è abbastanza semplice: qual è la superficie più ampia che può essere racchiusa da una curva chiusa di data lunghezza? - e la sua soluzione viene solitamente espressa per mezzo della disuguaglianza isoperimetrica
$$4 \pi A \le P^2
$$
dove $A$ e $P$ rappresentano rispettivamente area e perimetro della superficie in questione ($P$ è quindi la lunghezza della curva chiusa). È facile verificare che la disuguaglianza diventa uguaglianza quando $A=\pi r^2$ e $P= 2\pi r$, cioè quando la curva è un cerchio.
Anche se dal punto di vista geometrico appare abbastanza plausibile, la soluzione del problema è tutt'altro che immediata. Il primo ad approcciarsi rigorosamente ad esso fu il matematico rossocrociato Jakob Steiner, che nel 1838 ne diede una (quasi-) dimostrazione basata su un processo di simmetrizzazione (qualche dettaglio lo si può trovare qui), e ricordo vagamente di averne studiata una versione al Politecnico, forse quella basata sulla formula di Green contenuta qui.
La complessità dell'argomento ne rende problematica una trattazione a livello liceale (anche se l'approccio di Steiner può essere reso abbastanza efficacemente), ma è senz'altro possibile specializzare la disuguaglianza specificando la forma della figura. L'uso, ad esempio, di triangoli o quadrilateri permette di applicare tecniche diverse, di difficoltà crescente, senz'altro accessibili ad uno studente del Liceo. Ne accennerò in una serie di post attualmente in fase di redazione.
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