Rimpiazzando la formula di Erone con la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza
$$A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$$
dove $s=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$ rappresenta nuovamente il semiperimetro, non è difficile estendere quanto fatto al #3 al caso dei quadrilateri inscritti (tra l'altro, la formula di Erone non è altro che il caso particolare con $d=0$). Ponendo nuovamente, per semplicità, $s=2$, e con $x$, $y$, $z$ e $w=2-x-y-z$ i lati del quadrilatero, si ha
$$A(x,y,z)=\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)}\quad.$$ In questo caso il calcolo, seppure non problematico, non è molto agevole; avvalendomi dell'aiuto di Maple, ho risolto il sistema
$$\begin{cases}B_x(x,y,z)=0\\ B_y(x,y,z)=0\\B_z(x,y,z)=0 \end{cases}$$ con
$$B(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)\quad,$$ ricavandone l'unica soluzione "interessante"
$$(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad,$$ corrispondente ad un punto di massimo della funzione $A$. Di nuovo, quindi, il massimo viene assunto nel caso di un quadrato, e la disuguaglianza isoperimetrica risulta essere
$$16A \le P^2 \quad.$$
$$A(x,y,z)=\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)}\quad.$$ In questo caso il calcolo, seppure non problematico, non è molto agevole; avvalendomi dell'aiuto di Maple, ho risolto il sistema
$$\begin{cases}B_x(x,y,z)=0\\ B_y(x,y,z)=0\\B_z(x,y,z)=0 \end{cases}$$ con
$$B(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)\quad,$$ ricavandone l'unica soluzione "interessante"
$$(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad,$$ corrispondente ad un punto di massimo della funzione $A$. Di nuovo, quindi, il massimo viene assunto nel caso di un quadrato, e la disuguaglianza isoperimetrica risulta essere
$$16A \le P^2 \quad.$$
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