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domenica 25 novembre 2018

Didone#4 - Quadrilateri inscritti


Rimpiazzando la formula di Erone con la formula di Brahmagupta per l'area di un quadrilatero inscritto in una circonferenza
A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

dove s=\frac{1}{2}(a+b+c+d) rappresenta nuovamente il semiperimetro, non è difficile estendere quanto fatto al #3 al caso dei quadrilateri inscritti (tra l'altro, la formula di Erone non è altro che il caso particolare con d=0). Ponendo nuovamente, per semplicità, s=2, e con x, y, z e w=2-x-y-z i lati del quadrilatero, si ha
A(x,y,z)=\sqrt{(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)}\quad.
In questo caso il calcolo, seppure non problematico, non è molto agevole; avvalendomi dell'aiuto di Maple, ho risolto il sistema
\begin{cases}B_x(x,y,z)=0\\ B_y(x,y,z)=0\\B_z(x,y,z)=0 \end{cases}
con
B(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)(x+y+z-1)\quad,
ricavandone l'unica soluzione "interessante"
(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\quad,
corrispondente ad un punto di massimo della funzione A. Di nuovo, quindi, il massimo viene assunto nel caso di un quadrato, e la disuguaglianza isoperimetrica risulta essere
16A \le P^2 \quad.

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