Questo lo si può proporre anche in prima liceo, magari facendo riferimento alla recinzione di un campo: tra tutti i rettangoli di dato perimetro, qual è quello di superficie massima?
Se $x$ e $h=\frac{1}{2}P-x$ rappresentano i lati del rettangolo, per la sua area in funzione di $x$ vale
$$A(x)=x \cdot h = \frac12Px-x^2=x\left(\frac{1}{2}P-x\right) \quad.
$$
Si tratta di una funzione quadratica, che assume il valore massimo in corrispondenza del vertice della parabola (aperta verso il basso) che la rappresenta. Dal momento che l'ascissa del vertice si trova a metà strada tra i due zeri $x=0$ e $x=\frac{1}{2}P$, risulta chiaro che il valore massimo viene assunto per $x=\frac{1}{4}P$, cioè quando il rettangolo è un quadrato.
Simultaneamente, sostituendo tale valore in $A(x)$, otteniamo una disuguaglianza isoperimetrica per i rettangoli:
$$A \le \frac{1}{16} P^2 \quad \iff \quad 16A \le P^2 \quad.
$$
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