Se al triangolo non vengono posti vincoli particolari, il problema isoperimetrico si complica leggermente, dal momento che le variabili libere diventano due e quindi il problema di ottimizzazione diventa bidimensionale. Non è quindi possibile proporlo in tutti i curricula liceali, ma soltanto in alcune occasioni mirate di approfondimento (Opzione specifica, Opzione complementare, Lavoro di maturità, nell'ordinamento elvetico).
A venirci in aiuto in questo caso è la formula di EroneA=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
dove a, b e c sono i lati del triangolo e s=\frac{1}{2}(a+b+c) è il suo semiperimetro.
Ponendo, per semplificare il calcolo, P=2, con x, y e z=2-x-y i lati del triangolo, per la sua area vale
A(x,y)=\sqrt{(1-x)(1-y)(x+y-1)}
e, svolgendo le parentesi,A(x,y)=\sqrt{x^2y+xy^2-3xy-x^2+2x-y^2+2y-1}\;.
Calcoliamo le derivate parziali:
A_x(x,y)=\frac{y^2+2xy-2x-3y+2}{2A(x,y)}
e
A_y(x,y)=\frac{x^2+2xy-3x-2y+2}{2A(x,y)}\;.
Essenzialmente, quindi,la ricerca dei punti critici si riduce alla risoluzione del sistema
\begin{cases}x^2+2xy-3x-2y+2=0\\y^2+2xy-2x-3y+2=0\end{cases}
(che non presenta particolari difficoltà, dal momento che la prima equazione è lineare nell'incognita y).
Scartando le soluzioni (1,0), (0,1) e (1,1) (per le quali non esistono A_x e A_y), ricaviamo il punto di massimo
(x,y)=\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)
e quindi nuovamentex=y=z=\frac{1}{3}P e la disuguaglianza isoperimetrica per i triangoli
12\sqrt{3}A \le P^2 \quad.
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