Didone#3 - Triangoli qualsiasi

Se al triangolo non vengono posti vincoli particolari, il problema isoperimetrico si complica leggermente, dal momento che le variabili libere diventano due e quindi il problema di ottimizzazione diventa bidimensionale. Non è quindi possibile proporlo in tutti i curricula liceali, ma soltanto in alcune occasioni mirate di approfondimento (Opzione specifica, Opzione complementare, Lavoro di maturità, nell'ordinamento elvetico).

A venirci in aiuto in questo caso è la formula di Erone
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

dove $a$, $b$ e $c$ sono i lati del triangolo e $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$ è  il suo semiperimetro.

Ponendo, per semplificare il calcolo, $P=2$, con $x$, $y$ e $z=2-x-y$ i lati del triangolo, per la sua area vale

$$A(x,y)=\sqrt{(1-x)(1-y)(x+y-1)}$$ e, svolgendo le parentesi,
$$A(x,y)=\sqrt{x^2y+xy^2-3xy-x^2+2x-y^2+2y-1}\;.$$
Calcoliamo le derivate parziali:
$$A_x(x,y)=\frac{y^2+2xy-2x-3y+2}{2A(x,y)}$$
e
$$A_y(x,y)=\frac{x^2+2xy-3x-2y+2}{2A(x,y)}\;.$$
Essenzialmente, quindi,la ricerca dei punti critici si riduce alla risoluzione del sistema
$$\begin{cases}x^2+2xy-3x-2y+2=0\\y^2+2xy-2x-3y+2=0\end{cases}$$

(che non presenta particolari difficoltà, dal momento che la prima equazione è lineare nell'incognita $y$). 

Scartando le soluzioni $(1,0)$, $(0,1)$ e $(1,1)$ (per le quali non esistono $A_x$ e $A_y$),  ricaviamo il punto di massimo

$$(x,y)=\left( \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right)$$ e quindi nuovamente
$$x=y=z=\frac{1}{3}P$$ e la disuguaglianza isoperimetrica per i triangoli
$$12\sqrt{3}A \le P^2 \quad.$$