Didone#2 - Triangoli isosceli

Nel caso di un triangolo isoscele, dove la variabile libera è soltanto una, il problema isoperimetrico può essere agevolmente trattato con l'aiuto di un po' di calcolo differenziale, riconducendolo ad un problema di ottimizzazione come se ne risolvono tanti in quarta liceo. Se, per comodità, chiamiamo $x$ la metà della base, il lato obliquo misurerà $c=\frac{1}{2}P-x$ e l'altezza

$$ h=\sqrt{c^2-x^2}=\sqrt{\frac{1}{4}P^2-Px} \quad. $$ Per l'area otteniamo quindi l'espressione
$$A(x)=\frac12\cdot2x\cdot h = x \sqrt{\frac{1}{4}P^2-Px} =\sqrt{\frac{1}{4}P^2x^2-Px^3}$$
la cui derivata rispetto a $x$ è
$$A'(x)=\frac{1}{2A(x)}\left( \frac{1}{2}P^2x-3Px^2\right)=\frac{Px}{2A(x)}\left( \frac{1}{2}P-3x\right)\;.$$
Se $x\neq0$, vale quindi
$$A'(x)=0 \quad\iff \quad P=6x\quad.$$

In altre parole, l'area è massima se il triangolo è equilatero. Con $x=\frac{1}{6}P$ otteniamo la disuguaglianza

$$A \le \frac{P^2}{12\sqrt{3}}\quad\iff\quad 12\sqrt{3}A \le P^2 \quad.$$