Didone#5 - Considerazioni finali

 

Può sembrare intuitivamente chiaro, ma in realtà non è così semplice mostrare che il problema isoperimetrico per un poligono piano viene risolto dall'$n$-agono regolare (suppongo che la dimostrazione si basi su considerazioni legate alla simmetrizzazione analoghe a quelle fatte da Jakob Steiner per trattare il caso generale; qualcosa si può trovare qui). Ad ogni modo, dando per assodato questo fatto, non è difficile ricavare una disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano: dato che per il perimetro $P_n$ e l'area $A_n$ dell'$n$-agono inscritto in un cerchio di raggio unitario vale

$$P_n=2n\,\sin\frac{\pi}{n} \quad,\quad A_n=n\sin\frac{\pi}{n}\cos\frac{\pi}{n}\quad,\quad\frac{P_n^2}{A_n}=4n \,\tan\frac{\pi}{n}$$

otteniamo immediatamente la disuguaglianza isoperimetrica per un $n$-agono piano

$$4n \,\tan\frac{\pi}{n} \cdot A_n \le P_n^2 \quad.$$

Dedichiamo un'ultima considerazione al rapporto $\frac{P_n^2}{A_n}$: per $n=3,4,5,$ $6,7,8,9,$ $100,1000$ esso assume approssimativamente i valori

$$20.78\;,\;16\;,\;14.53\;,\;13.86\;,\;13.48\;,\;13.25\;,\;13.10\;,\;12.57\;,\;12.57$$

Il calcolo "formale" del limite, con l'ausilio della regola di Bernoulli-L'Hôpital

(e del principio di trasposizione per i limiti di funzioni) fornisce il risultato

$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n^2}{A_n}=\lim_{n\to\infty}4n \,\tan\frac{\pi}{n}=\lim_{x\to+\infty}4x \,\tan\frac{\pi}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}$$

e

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\tan\frac{\pi}{x}}{\frac{1}{4x}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{-\pi\left(1+\tan^2\left(\frac{\pi}{x}\right)\right)}{x^2}}{-\frac{1}{4x^2}}=4\pi \quad.$$

Quindi con $n\to\infty$ riotteniamo, in questo modo, l'originale disuguaglianza isoperimetrica

$$4\pi A \le P^2 \quad.$$