Arte e simmetria

Un filmato vintage, prodotto qualche annetto fa dalla Rai per le scuole, con un uso pionieristico della computer graphics. Gli spunti degni di approfondimento sono molti: tra gli altri, i disegni di Lucio Saffaro, la formula di Birkhoff per la misura dell'estetica e l'uso dei numeri di Fibonacci nell'Allegro Barbaro di Béla Bartok. Senza dimenticare Dürer, Le Corbusier e l'Alhambra di Granada.

Già, l'Alhambra. Un anno fa mi trovavo proprio lì...

Simmetrie andaluse

Ne sentivo parlare da una vita, e finalmente l'ho potuta visitare. Parlo dell'Alhambra, probabilmente la più spettacolare testimonianza dell'arte islamica sopravvissuta in occidente (ma anche l'Alcazar di Siviglia non scherza...). La fortezza, che domina dall'altro la città di Granada, costruita nel XIV secolo come reggia per il sultano, venne conquistata nel 1492 dall'esercito spagnolo, diventando palazzo reale di Ferdinando d'Aragona e Isabella di Castiglia. Questi ne modificarono struttura e decorazioni, nascondendole in parte (ma contribuendo involontariamente alla loro preservazione); il sacro romano imperatore Carlo V contribuì a sua volta al degrado della struttura, lasciandoci un palazzo tuttora incompleto; nel XIX secolo l'esercito francese, guidato dal conte Sebastiani, e l'ennesimo terremoto causarono danni ulteriori, ma nel contempo la fortezza acquisì notorietà, grazie anche allo scrittore e diplomatico Washington Irving (quello di Rip Van Winkle e Sleepy Hollow), che vi soggiornò e le dedicò una raccolta di brevi saggi e racconti (che ho acquistato in loco e che ho iniziato a leggiucchiare). Tra il XIX e il XX secolo l'Alhambra è stata oggetto di un'imponente campagna di restauri che forse non le hanno restituito tutto lo splendore originale, ma che ne fanno una delle mete turistiche più gettonate al mondo, patrimonio UNESCO dell'umanità e inserita tra le 20 finaliste nell'iniziativa New7Wonders of the World. E non sono pochi gli artisti, Escher in primis (ne ho parlato anche qui), che ne hanno tratto ispirazione per le loro opere.

È noto che l'arte islamica è stata fortemente influenzata dal timore, se non addirittura dalla proibizione esplicita, di rappresentare la figura umana, che in alcune interpretazione dei testi sacri si configurerebbe come idolatria. Ciò ha portato, più che in altre culture, allo sviluppo di arti quali la calligrafia e la tassellazione. Ed è proprio quest'ultima a colpire il visitatore all'interno dell'Alhambra (e, in misura un po' minore, dell'Alcazar di Siviglia e della Mezquita di Cordova, le altre due mete del mio viaggio pasquale): in alcuni degli ambienti, le pareti sono ricoperte da raffinatissime e intricatissime figure perfettamente simmetriche, in cui qualcuno (ad esempio qui) ha verificato la presenza di tutti e 17 i gruppi cristallografici piani (quelli classificati indipendentemente da Fedorov nel 1891 e da Polya nel 1924). All'Alhambra fa riferimento pure Hermann Weyl, nel suo classico Symmetry, del 1952.
Sull'Alhambra e sulle sue simmetrie in rete si trova un po' di tutto: mi limito a segnalare la passeggiata di Rafaél Pérez Goméz, apparsa sul numero III del semestrale Ithaca. Ma l'Alhambra non può essere apprezzata online o sui libri; va visitata, almeno una volta.

Così è l'Alhambra, palazzo mussulmano nel cuore di una terra cristiana, edificio orientale tra costruzioni gotiche occidentali, elegante vestigia di un popolo valoroso, intelligente e raffinato, che conquistò, dominò e svanì.
(W. Irving, Racconti dell'Alhambra, trad. di B. Cserska-Garanzini)

Altre simmetrie

Come Il disordine perfetto (di cui ho già parlato), anche il bel libro dell'astrofisico statunitense di origine rumena Mario Livio L'equazione impossibile affronta con un linguaggio accessibile il tema dell'algebra applicata allo studio della simmetria. I due libri, anche se simili, possono essere in parte considerati come complementari: in particolare, l'opera di Livio (che precede quella di DuSautoy) si concentra maggiormente sui due personaggi chiave della nascita dell'algebra moderna, Abel (il "matematico povero") e Galois (il "matematico romantico") e cerca di essere più matematicamente esplicita nella descrizione della struttura di gruppo. Inoltre Livio si dilunga maggiormente sul ruolo della simmetria nella fisica (il suo campo d'azione!), descrivendone il ruolo nell'ambito della teoria della relatività (speciale e generale) e della meccanica quantistica.
Si tratta quindi di un lavoro forse meno spettacolare e pirotecnico di Il disordine perfetto, ma altrettanto serio e valido. Non sapendo quale scegliere, consiglio la lettura di entrambi.

La geometria non è un reato

Harold Scott MacDonald "Donald" Coxeter (1907-2003) è stato senz'altro uno dei matematici più importanti del XX secolo. In un periodo in cui la geometria andava perdendo quasi ogni connotazione "visibile", concentrandosi su aspetti sempre più astratti e formali (si pensi ad esempio alla geometria algebrica, mia croce e delizia, e al concetto di schema introdotto dal grande Alexander Grothendieck), egli seppe riaffermare con successo il valore della rappresentazione degli oggetti di studio, mostrando che la geometria "classica" aveva ancora molte frecce al suo arco.

La vicenda umana di Coxeter, lunga e produttiva (partecipò al suo ultimo congresso e scrisse l'ultimo saggio all'età di 96 anni, decisamente in controtendenza dato che spesso l'ispirazione di un matematico si esaurisce a 40!) viene ben descritta nella biografia Il re dello spazio infinito, della giornalista canadese Siobhan Roberts (edita in Italia da Rizzoli). Tra le altre cose, in essa viene ben messa in evidenza la "battaglia" combattuta tra il geometrico Coxeter e l'algebrico Bourbaki (come evidenzia Marcus DuSautoy in una sua recensione per il Guardian), terminata con una concessione di quest'ultimo al genio coxeteriano (l'inclusione dei suoi diagrammi nel libro VIII degli Eléments de mathématique). Nella seconda parte del libro l'autrice si sofferma poi sulle applicazioni pratiche ispirate dalle idee di Coxeter (una per tutte: le cupole geodetiche realizzate dall'eclettico architetto Richard Buckminster Fuller, dalla struttura simile ai composti del carbonio noti oggi come fullereni o "Buckyballs") e sulla sua amicizia con M.C. Escher , nelle cui celeberrime opere la geometria (la simmetria, in particolare) riveste un ruolo fondamentale.

Oltre al libro della Roberts, in questo momento ho sottomano una raccolta di dodici saggi originali di Coxeter (raccolti in The Beauty of Geometry, nell'edizione economica Dover). Non mi sono soffermato sui dettagli dei singoli articoli (occorrerebbe investire parecchio tempo: si tratta sì di geometria elementare, ma in matematica elementare non è sinonimo di semplice), ma anche solo sfogliando velocemente l'opera ci si può fare un'idea del "sapore" dell'opera coxeteriana: le pagine sono ricoperte di diagrammi, perfino di fotografie, e di calcoli espliciti, in contrasto con qualsiasi pubblicazione geometrica "moderna" dove tutto è algebrico e formale (ma, devo confessare, più vicino alla mia sensibilità, forse "corrotta" da anni di frequentazioni grothendieckiane).

A caccia del mostro

Il bel libro Il disordine perfetto, opera del matematico e divulgatore inglese Marcus DuSautoy, rappresenta un'affascinante introduzione alle idee e al linguaggio dell'algebra, e mette bene in evidenza come il linguaggio algebrico sia il più adatto a descrivere e a classificare gli oggetti dotati di simmetria. In 12 capitoli, numerati secondo i mesi da agosto a luglio, l'autore spazia dagli argomenti più classici quali ad esempio le classificazioni dei mosaici dell'Alhambra fino a problemi di recente soluzione come lo studio del mostro, un terrificante (o bellissimo?) oggetto algebrico formato da 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000 (sì, sul serio!) elementi che può "vivere" solo in spazi di dimensione superiore a 196884, menzionando anche il cosiddetto "moonshine" ("chiar di luna" - ma come possono essere poetici i matematici!), una proprietà che lo lega ad un campo totalmente diverso della matematica (quello delle cosiddette funzioni modulari). Il libro contiene inoltre tutta una serie di aneddoti biografici sui personaggi che hanno plasmato l'algebra fino a farle raggiungere l'attuale livello di sintesi ed eleganza, da Muhammad al Khwaritzmi fino ai grandi del ventesimo secolo come John Conway o Richard Borcherds, passando per Cardano, Abel, Galois e Cayley (giusto per menzionarne qualcuno). Interessanti sono anche le digressioni su quegli artisti che, in modo più o meno consapevole, hanno fatto massicciamente uso della simmetria nelle loro opere (come Mozart, Escher o Xenakis). Nel testo sono poi inserite un gran numero di annotazioni autobiografiche che, tramite le esperienze dirette dell'autore, ci permettono di gettare uno sguardo all'interno di alcuni dipartimenti di matematica.

Un'ottima lettura, quindi, che ha forse un solo difetto di rilievo: il linguaggio della simmetria può servire ottimamente come introduzione alle idee dell'algebra, ma l'assenza di un formalismo più sintetico rende ostiche alcune spiegazioni, che risultano quindi comprensibili solo a chi ha già almeno un'infarinatura dei temi trattati.