Matematico, poeta e cittadino

Confesso che, fino a poco tempo fa, tutto quello che sapevo di Lorenzo Mascheroni (1750-1800) è che il suo nome compare a fianco di quello di Leonhard Euler nel nome della costante nota come gamma. Fino a quando, in modo del tutto casuale, mi sono imbattuto, sul sito EPFL del prof. Manuel Ojanguren, nella "poesia scherzevole" Al reverendo signor curato di San Cassiano in cui, con fine ironia, il matematico Bergamasco stigmatizzava l'atteggiamento bigottamente antiscientifico di tale don Antonio Serughetti:

Ho quindi cercato di colmare almeno un po' la mia ignoranza; in particolare mi è venuto in aiuto l'interessante articolo Mascheroni, matematico, poeta e cittadino, del prof. Luigi Pepe, pubblicato nel 1999 sul Bollettino dell'Unione Matematica Italiana e disponibile online qui. Il breve saggio ripercorre la breve vita del matematico e letterato, sacerdote (per un po'), professore e poi rettore a Pavia, membro del Gran Consiglio della Repubblica Cisalpina, spentosi inaspettatamente a Parigi nel 1800, cinquantenne, mentre si apprestava ad approvare l'introduzione del sistema metrico decimale. Come matematico, oltre che per la costante gamma, Mascheroni viene ricordato principalmente per la sua Geometria del compasso, dedicata a Bonaparte l'italico, in cui mostrò come ottenere con il solo compasso (e quindi senza la riga) tutta una serie di costruzioni geometriche classiche. Mascheroni ebbe effettivamente modo di illustrare di persona il contenuto del libro a a Napoleone il quale, si dice, ne fece sfoggio con Laplace e Lagrange. Tra l'altro, qualcuno attribuisce al matematico bergamasco anche la paternità del celebre Teorema di Napoleone, uno dei pochi risultati degni di nota della geometria classica posteriori a Euclide. 

La più nota composizione del Mascheroni poeta è L'invito a Lesbia Cidonia, "poesia scientifica" volta ad illustrare i pregi di Pavia e della sua università alla poetessa Paolina Secco Suardo Grismondi di Bergamo, aka Lesbia Cidonia. Ma non va dimenticata La geometria.

Al Mascheroni Vincenzo Monti dedicò la cantica In morte di Lorenzo Mascheroni, nota anche come Mascheroniana, in cui, alla maniera dantesca, narrò il suo viaggio ultraterreno verso un cielo dominato dalla figura di Napoleone.

Ei fu. - Parte II

Il Teorema di Napoleone può essere intuito grazie alla simmetria della figura seguente (l'ho rubata qui):

Personalmente, però, mi piace di più la dimostrazione basata su un diverso tipo di simmetria, quella della relazione

$$
3q^2 = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}+\frac{2\mathcal A}{\sqrt{3}} \quad,
$$

dove $A$, $B$ e $C$ sono i vertici del triangolo (qualsiasi), $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$, $\mathcal A$ è l'area di $ABC$ e $q=|PR|$, dove $P$ e $R$ sono i centri dei triangoli equilateri di lati $AB$ risp. $AC$. 

La simmetria della relazione in $a$, $b$ e $c$ implica che essa sarebbe valida anche ponendo $q=|PQ|$ oppure $q=|QR|$; ne consegue che $|PQ|=|PR|=|QR|$.

La dimostrazione di quella che potremmo battezzare "formula di Napoleone" è un esercizio di trigonometria, diciamo da seconda Liceo. Innanzitutto occorre ricordare che nel triangolo equilatero la distanza tra un vertice e il baricentro è pari ai $\displaystyle\frac{2}{3}$ dell'altezza, e quindi

$$
|AR|=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}b=\frac{b}{\sqrt{3}}
$$

e analogamente $|AP|= \displaystyle\frac{c}{\sqrt{3}}$. Dal momento che $\widehat{PAB}=\widehat{CAR}=\displaystyle\frac{\pi}{6}$, il Teorema del coseno fornisce quindi la relazione

\begin{eqnarray*}
q^2 &=& |AR|^2+|AP|^2-2\cdot|AR|\cdot|AP|\cdot\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \\
&=& \frac{b^2}{3}+\frac{c^2}{3}-\frac23bc\cdot\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \;.
\end{eqnarray*}
e quindi
$$
3q^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right) \quad.
$$
Dalla formula di addizione per il coseno ricaviamo
$$
\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\alpha\cdot\cos\frac{\pi}{3}-\sin\alpha\cdot\sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha 
$$
e
$$
3q^2=b^2+c^2-bc\cos\alpha+\frac{bc\sin\alpha}{\sqrt{3}} \quad.
$$

La "formula di Napoleone" segue quindi dal fatto che per l'area $\mathcal A$ di $ABC$ vale

$$
\mathcal A = \frac{1}{2}bc\sin\alpha
$$
e che, nuovamente per il Tm. del coseno,
$$
bc\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2} \quad.
$$

Ei fu.

Centonovantatré anni fa, Il cinque maggio 1821, moriva in esilio a Sant'Elena Napoleone Bonaparte, personaggio chiave per le sorti dell'Europa (pure il piccolo Ticino gli deve qualcosa, dal momento che con l'atto di mediazione del 1803 acquisì definitivamente dignità pari ai cantoni di cui fino a qualche anno prima era baliaggio). Tutti abbiamo studiato a scuola le vicende dell'uom fatale, dalla repentina ascesa al potere al doppio esilio ("due volte nella polvere, due volte sull'altar"), di cui è possibile intravedere non pochi riflessi anche a due secoli di distanza (basta pensare al codice napoleonico). Quello che non molti sanno, invece, è che il Bonaparte fu pure un appassionato matematico, e che amava circondarsi dei più importanti matematici dell'epoca, cui conferì anche prestigiosi incarichi politici (Lagrange, Monge e Laplace furono scelti quali membri del Sénat Conservateur). E forse fu proprio uno di essi a dimostrare per primo l'enunciato noto oggi come Teorema di Napoleone: "i centri dei triangoli equilateri costruiti esternamente su un triangolo qualsiasi formano i vertici di un triangolo equilatero".

In realtà, la paternità del Teorema risulta alquanto incerta: esso fece la sua prima comparsa sul Ladies' Diary nel 1826, in un articolo del matematico inglese William Rutherford, ma il primo a collegarlo con il nome dell'imperatore fu probabilmente il didatta insigne Aureliano Faifofer, che menzionò il risultato nei suoi Elementi di Geometria (anche se, a quanto pare, tale collegamento comparve solo in un'edizione postuma del manuale, del 1911).
A domani, per la dimostrazione...