La gara mondiale di matematica

di Cesare Zavattini.

È un ricordo della mia infanzia. Abitavo a Gottinga nel dicembre del milleottocentosettanta. Mio padre ed io giungemmo all’Accademia quando il presidente Maust stava cominciando l’appello dei partecipanti alla Gara Mondiale di Matematica. Subito babbo andò a mettersi fra gli iscritti dopo avermi affidato alla signora Katten, amica di famiglia. Seppi da lei che il colpo del cannone di Pombo, il bidello, avrebbe segnato l’inizio della storica contesa. La signora Katten mi raccontò un episodio, ignoto ai più, intorno all’attività di Pombo. Costui sparava da trent’anni un colpo di cannone per annunciare il mezzogiorno preciso. Una volta se n’era dimenticato. Il dì appresso, allora, aveva sparato il colpo del giorno prima, e così di seguito fino a quel venerdì del milleottocentosettanta, Nessuno a Gottinga si era mai accorto che Pombo sparava il colpo del giorno avanti. Esauriti i preliminari, la gara ebbe inizio alla presenza del principe Ottone e di un ragguardevole gruppo di intellettuali. Uno, due, tre, quattro, cinque… Nella sala si udivano soltanto le voci dei gareggianti. Alle diciassette circa, avevano superato il ventesimo migliaio. Il pubblico si appassionava alla nobile contesa e i commenti si intrecciavano. Alle diciannove, Alain, della Sorbona, si accasciò sfinito. Alle venti, i superstiti erano sette. ”36767, 36768, 36769, 36770…” Alle ventuno Pombo accese i lampioni. Gli spettatori ne approfittarono per mangiare le provviste portate da casa. “40719, 40720, 40721…” Io guardavo mio padre, madido di sudore, ma tenace. La signora Katten accarezzandomi i capelli ripeteva come un ritornello: ’Che bravo babbo hai,’ e a me non pareva neppure di avere fame. Alle ventidue precise avvenne il primo colpo di scena: l’algebrista Pull scattò: “Un miliardo”.  Un oh di meraviglia coronò l’inattesa sortita; si restò tutti col fiato sospeso. Binacchi , un italiano, aggiunse issofatto: ’Un miliardo di miliardi di miliardi.’ Nella sala scoppiò un applauso subito represso dal Presidente. Mio padre guardò intorno con superiorità, sorrise alla signora Katten e cominciò: ’Un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi…’ La folla delirava: ‘Evviva, evviva. ’ La signora Katten e io, stretti uno all’altro, piangevamo dall’emozione. …di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi.’ Il presidente Maust, pallidissimo, mormorava a mio padre, tirandolo per le falde della palandrana: ’Basta, basta, le farà male.’ Mio padre seguitava fieramente: … di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi.’ A poco a poco la sua voce si smorzò, l’ultimo fievole di miliardi gli uscì dalle labbra come un sospiro, indi si abbattè sfinito sulla sedia. Gli spettatori in piedi lo acclamavano freneticamente. Il principe Ottone gli si avvicinò e stava per appuntargli una medaglia sul petto quando Gianni Binacchi urlò: ’Più uno!’ La folla precipitatasi nell’emiciclo portò in trionfo Gianni Binacchi. Quando tornammo a casa, mia madre ci aspettava ansiosa alla porta. Pioveva. Il babbo, appena sceso dalla diligenza, le si gettò tra le braccia singhiozzando: ‘Se avessi detto più due avrei vinto io.’

Cesare Zavattini (1902-1989) fu, tra le altre cose, sceneggiatore, scrittore e pittore. Come sceneggiatore cinematografico, fu tra le figure più importanti del neorealismo italiano (di lui si ricorda ad esempio Miracolo a Milano, tratto da un suo romanzo, che a quanto pare ispirò sia Spielberg che Garcia Marquez); come sceneggiatore di fumetti, ideò la celebre saga Saturno contro la terra (che fu ripresa in uno dei miei fumetti disneyiani preferiti, Paperino e il razzo interplanetario).

Un po' di musica (e poca matematica)

Forse la matematica c'entra solo fino a un certo punto, ma il compositore del secondo brano, Federico Agnello, ha dichiarato di essersi ispirato, nel suo brano un po' cervellotico ma a suo modo estremamente interessante, a non ben definiti rapporti numerici, menzionando Leonardo Da Vinci (forse si riferiva all'Uomo di Vitruvio, che alcuni considerano uno studio dei rapporti aurei nelle proporzioni umane?).

Forse però questo concerto l'ho postato solo perché, da qualche parte in mezzo all'orchestra, fa la sua particina anche il sottoscritto... Buon ascolto, ne vale la pena.

Ancora qualche libro...

• Fare matematica. Astratto e concreto nella matematica elementare, di Paolo Aluffi. Un libro dedicato, come dice il sottotitolo, alla cosiddetta matematica elementare (che non è sinonimo di  matematica semplice, anche se il livello qui è abbordabile), con uno sguardo in particolare sulla sua presentazione a livello liceale. Sono tre i temi su cui l'autore decide di concentrarsi: gli insiemi numerici, il calcolo differenziale e l'aritmetica modulare. I primi due fanno parte del percorso standard del medio superiore, il terzo è colpevolmente quasi assente (ma io il modo di infilarlo nelle mie lezioni l'ho comunque spesso trovato). L'obiettivo principale del libro è di convincere il lettore del fatto che la matematica, per essere davvero compresa, vada "fatta". Nel senso che non è possibile apprenderla senza ripercorrerne autonomamente il tracciato, cozzando contro tutti gli ostacoli che ne hanno contraddistinto l'evoluzione, con un livello di consapevolezza che non può mai limitarsi ad un ascolto passivo o a una semplice lettura di quanto già fatto da altri. Insomma, come diceva già George Polya, Mathematics is not a spectator sport.
• Comics&Science (Volumi 1 e 2). Un'iniziativa, quella del CNR, che non può lasciarmi indifferente: coniugare scienza e fumetto. La matematica fa capolino qua e là, e fra gli autori mobilitati ci sono alcuni dei "pesi massimi" della letteratura italiana disegnata (tra cui Ortolani, Zerocalcare, il compianto Tuono Pettinato, Castelli, Silver, Burchielli, Di Giandomenico). Il livello grafico e narrativo è un po' diseguale, ma i due volumi meritano senz'altro l'acquisto e la lettura.
  
• Dio, la matematica, la follia, di Fouad Laroui. Titolo un po' folle per un libro a sua volta un po' folle, ma non del tutto privo di fascino. Un divertissement sempre in bilico tra matematica, teologia e filosofia, in cui sfilano alcuni dei matematici che una qualche forma di pazzia non l'hanno soltanto sfiorata (come Pascal, Gödel, Erdös, Grothendieck e Perel'man), oggetti in bilico tra il divino e il demoniaco (come il pi greco o la sfera di Banach-Tarski) e concetti, come l'infinito, con cui l'uomo ha cercato, con tutti i limiti della sua condizione, di venire a patti. Non mi sono pentito di averlo letto.
• Fantastic numbers and where to find them, di Antonio Padilla (titolo scherzoso e ammiccante, nello stile dell'autore, fisico teorico, divulgatore e popolare YouTuber sul canale Numberphile (da non confondere però con il Tony Padilla di 13 Reasons why)). I "numeri fantastici" del titolo, sempre più fantasmagorici man mano che ci si inoltra nella lettura del libro, sono solo un pretesto per condurci attraverso alcuni dei misteri più affascinanti dell'universo fisico. Si inizia, simpaticamente, con il valore che rappresenta il rallentamento dell'orologio di Usain Bolt quando, nel 2009, vinse i 100 piani con un inarrivabile 9.58''. E si termina con l'infinito (che propriamente un numero non è), passando per i ciclopici googol e googolplex, per il quasi inconcepibile Tree(3), e per un altro paio di numeretti che lascerei scoprire a chi avrà voglia di leggere il libro. Perché lo si può senz'altro leggere. 
• La maison del mathématiques, di Cédric Villani, Jean-Philippe Uzan e Vincent Moncorgé. Villani, medaglia Fields 2010 e personaggio noto in Francia anche oltre l'ambito strettamente scientifico (due anni fa si candidò, per il movimento En marche, come sindaco di Parigi), mette sempre volentieri la sua fama al servizio della matematica, e in più di un'occasione si è dato da fare per cercare di raccontarci cosa fa, un giorno dopo l'altro, il matematico. E lo fa anche qui, con l'aiuto degli scatti del fotografo Vincent Moncorgé e delle testimonianze di molti colleghi, in un elegante volume che celebra l'Institut Henri Poincaré (sede dei prestigiosi Séminaires Bourbaki), che dirige dal 2009.
  

Dio è un numero?

Mi sono imbattuto nel documentario Is God a Number su Netflix, dov'è presente una piccol(issim)a selezione di contenuti dedicati alla matematica. Presentata dal matematico britannico Michael Barnsley (quello della felce di Barnsley), un pioniere della compressione frattale (su cui detiene anche alcuni brevetti), l'opera si prefigge di illustrare al grande pubblico il concetto di Iterated Function System, uno strumento che permette di generare l'autosimilarità presente nelle strutture frattali (come la summenzionata felce).
La presentazione è un po' vintage e superficiale, ma è valorizzata dalla presenza di una guest star d'eccezione come il premio Nobel Sir Roger Penrose.

Let Us Now Praise Prime Numbers

di Helen Spalding (1920-1991).

Let us now praise prime numbers
With our fathers who begat us:
The power, the peculiar glory of prime numbers
Is that nothing begat them,
No ancestors, no factors,
Adams among the multiplied generations.

None can foretell their coming.
Among the ordinal numbers
They do not reserve their seats, arrive unexpected.
Along the lines of cardinals
They rise like surprising pontiffs,
Each absolute, inscrutable, self-elected.

In the beginning where chaos
Ends and zero resolves,
They crowd the foreground prodigal as forest,
But middle distance thins them,
Far distance to infinity
Yields them rare as unreturning comets.

O prime improbable numbers,
Long may formula-hunters
Steam in abstraction, waste to skeleton patience:
Stay non-conformist, nuisance,
Phenomena irreducible
To system, sequence, pattern or explanation.

Su Helen Spalding, poetessa inglese, non è che si trovino molte notizie online. L'unica pagina di Wikipedia che la menziona è (!) quella in lingua frisona. La sua ode ai numeri primi, vagamente ispirata, sembra, al Capitolo 44 del libro del Siracide, rieccheggia però qua e là online, ad esempio in questo vecchio articolo dell'American Scientist.

Un piccolo Fermat creativo

Cercando notizie sulla signora Aquilino (che ricordo, venti e più anni fa, tenersi in forma nelle vastità dei corridoi dell'Hauptgebäude dell'ETH, dove avevo il mio ufficetto), mi sono imbattuto in un'interessante monografia da lei curata quasi trent'anni fa. Si tratta di una raccolta di esercizi di teoria dei numeri, utilizzati oltre un secolo fa da Adolf Hurwitz nei suoi corsi al politecnico zurighese, in cui insegnò dal 1892 fino alla sua morte, avvenuta nel 1919. Allievo di Klein, Kummer, Weierstrass e Kronecker, di lui si ricorda in particolare l'apporto alla teoria delle cosiddette superfici di Riemann (ma, tra le altre cose,  anche i cosiddetti interi di Hurwitz).

Tra gli esercizi posti mi ha immediatamente colpito il seguente: [Si dimostri che] se un cubo perfetto non è divisibile per 7, allora lo è il suo predecessore oppure il suo successore. La dimostrazione, appena accennata, fa un uso decisamente carino del Piccolo Teorema di Fermat.

Rimembranze

Tre giorni fa (il 22 luglio) il doodle di google ha celebrato i cent'anni della nomina a professore di Stefan Banach, di fatto l'inventore della moderna analisi funzionale. A dire il vero non  ho praticato moltissimo questo campo della matematica, e ricordo solo un paio di oggetti che portano il nome del matematico polacco (gli spazi di B., che essenzialmente sono spazi vettoriali completi; il teorema del punto fisso di B. (attribuito pure a Renato Caccioppoli, che comunque l'ha trovato per secondo), che essenzialmente afferma che una contrazione in uno spazio di B. ha un unico punto fisso, e il fondamentale Teorema di Hahn-B., a proposito dell'estensione di certi funzionali da un sottospazio all'intero spazio).

Ma per quanto mi riguarda, l'analisi funzionale resterà sempre indissolubilmente legata alle lezioni del prof. Corneliu Constantinescu, recitate a memoria, quasi eteree nel loro purismo Bourbakista. Belle e impossibili, così come a volte risultava di fatto impossibile riconoscerne il legame con la "Serie" di esercizi settimanale (la cui spiegazione era demandata ai malcapitati assistenti, a cui venivano delegati i compiti più mondani). Per non parlare dello "Skript" del corso, diligentemente dattilografato dalla per noi allora fantomatica Signora Aquilino, pioniera anche nell'utilizzo di LaTeX all'ETH.

Letture estive...

Sia per il piacere della lettura, sia perché ritengo che l'auto-aggiornamento per un insegnante sia un dovere imprescindibile, persevero nell'acquistare libri di argomento matematico che solo in parte sarò in grado di smaltire. Eccone alcuni, letti più o meno recentemente (alternandoli con testi di altra natura, dalla poesia di Massimo Gezzi, all'ironia di Starnone, fino alla narrativa, alta o bassa, di Fenoglio, Fontana, Barbero, Don Winslow o Lee Child).

• Un labirinto incerto - Appunti per una poetica della matematica, di Riccardo Giannitrapani. Quello che più ho apprezzato è il punto di vista dell'autore, che è quello di un insegnante, confrontato quindi, come il sottoscritto, con la necessità quotidiana di dare un senso alle definizioni e ai teoremi che vada al di là dei meri aspetti tecnico/logico/mnemonici. Perché troppo spesso ci si dimentica di tutti quegli aspetti (storici, filosofici, anche aneddotici) che rendono la matematica un vero patrimonio culturale dell'umanità. Gli esempi scelti dall'autore - dal problema di Collatz alla teoria delle trecce, passando per la sempre efficace sezione aurea -  rappresentano un campionario che ben si adatta alla presentazione della materia a livello liceale. Ad arricchire il tutto vi è poi un capitolo dedicato alle analogie tra matematica e poesia (evidentemente, un pallino dell'autore), che ci restituisce uno sguardo del tutto originale, fondato su un'attenta lettura delle opere di Shelley, Borges e Tomas Tranströmer.
  Inoltre, last but not least, il libro di Giannitrapani mi ha permesso di scoprire due metodi per l'enumerazione dei razionali di cui non avevo mai sentito parlare (gli alberi di Stern-Brocot e Calkin-Wilf). Dovrò approfondire (in particolare, mi stuzzica molto l'utilizzo fatto dall'orologiaio Louis Achille Brocot delle frazioni continue).
• Uno, due, tre, molti - Come la matematica ha creato la civiltà, di Michael Brooks. Un punto di vista abbastanza originale, che mette in rilievo il ruolo rivoluzionario che alcune scoperte matematiche hanno rivestito nel corso dei secoli, in modo diretto o indiretto, nel sostenere e guidare il genere umano. Ad esempio, i tanto temuti logaritmi, sotto forma di tavole o regoli, ci hanno permesso di esplorare il cosmo dapprima con la mente, accelerando i calcoli necessari agli astronomi, e poi letteralmente, come strumento indispensabile agli ingegneri e agli astronauti del programma Apollo (anche Buzz Aldrin fece uso del suo regolo per preparare l'allunaggio). E di sprigionare la potenza dell'atomo (Enrico Fermi calcolava a sua volta con l'aiuto di un regolo). Per non parlare dell'algebra dei polinomi, utilizzata da Tartaglia per calcolare la gittata di un cannone, dell'algebra lineare utilizzata nel PageRank, dei numeri complessi utilissimi in elettronica, e ovviamente del calcolo infinitesimale e della statistica. 
  Un bel libro, arricchito da aneddoti e racconti ben selezionati, che però avrebbe meritato una maggior cura redazionale: non è così grave sbagliare una cifra del pi greco (pag. 83), ma gli errori negli esponenti di tutte le coniche (pag. 115) e nella scrittura delle funzioni esponenziali (pag. 215) potrebbero risultare fuorvianti per il lettore non specializzato (a cui questo libro sembra essere dedicato). Peccato.
  
• Cool Math for Hot Music - A First Introduction for Music Theorists, di Guerino Mazzola, Maria Mannone e Yan Pang (stampato così così, tra l'altro: con il print on demand la qualità dei libri della Springer si è decisamente abbassata). A Zurigo non ho mai incontrato Guerino Mazzola, anche se avevo alcuni conoscenti comuni (ricordo che all'ETH, nell'ufficio di fianco al mio, lavorava una sua dottoranda), ma mi ha sempre incuriosito il suo approccio estremamente astratto e formale allo studio della musica (apprezzato, pare, anche da Alexander Grothendieck). Anni fa acquistai il suo monumentale volume The Topos of Music, ma lo abbandonai quasi subito su uno dei miei scaffali, intimorito dall'uso degli strumenti matematici, non lontani dalla mia pratica matematica ma lontanissimi dalla mia sensibilità musicale. Questo invece l'ho letto fino in fondo, anche se la cosa ha comportato un certo sforzo. C'è un sacco di roba interessante, a partire dalle annotazioni storiche, ma fatico un po' ad identificare il destinatario ideale dell'opera: se davvero dev'essere intesa come una "prima introduzione" destinata ai teorici della musica, la formalizzazione mi sembra decisamente troppo spinta, con l'utilizzo di concetti che potrebbero risultare ostici perfino per il matematico medio.
  Ma il libro mi ha comunque permesso di fare alcune belle scoperte, come il Würfelspiel (di cui ho già parlato) e la composizione Herma di Iannis Xenakis.
• Matematica in movimento - Come cambiano le dimostrazioni, di Gabriele Lolli. Lo schema "Teorema/Dimostrazione" viene spesso proposto (inflitto?) molto precocemente ai nostri liceali, solitamente facendo uso di di due classicissimi risultati (l'infinità dei numeri primi, l'irrazionalità della radice di due) già indicati come esemplari da Hardy nella sua Apologia. Per noi insegnanti può essere chiaro che, essenzialmente, l'enunciato del teorema cristallizza l'essenza di un risultato ma che la matematica si nasconde dentro la dimostrazione, ma non possiamo dare per scontato che ciò sia già così per uno studente all'esordio del percorso liceale. Anche perché, da Euclide in poi, il concetto di "dimostrazione" non ha avuto sempre lo stesso senso; essenzialmente oggi lo percepiamo come un mix tra l'idealismo di Hilbert e il puntiglioso rigore Bourbakista, condito dalla logica formale figlia della "crisi dei fondamenti".
  Il libro di Lolli, profondo ma comunque leggibilissimo, tratteggia innanzitutto l'evoluzione della "dimostrazione" in matematica, dal rigore (almeno apparente) di Euclide, al successivo rilassamento (Fermat, ad esempio, non lasciò dimostrazioni, e infatti non sempre ci azzeccò), fino al riemergere di una logica fortemente formalizzata e all'apporto fondamentale del policefalo Bourbaki, definito un vero e proprio "spartiacque". Per giungere, infine, al supporto che ha dato, in tempi più recenti, l'uso del calcolatore (esempio standard: il Teorema dei quattro colori), non ancora pienamente metabolizzato dalla comunità dei matematici. Di sicuro interesse sono poi il capitolo dedicato alla bellezza del ragionamento matematico (in cui l'autore menziona proprio i due esempi che ho citato sopra) e il successivo, che contiene una disamina del celebre lavoro di Wigner sull'Irragionevole efficacia, in cui Lolli scorge un certo grado di contraddittorietà e superficialità.
  

Qualcuno me lo spiega?

Dal mio iPhone è sbucato questo maldestro quartetto di scatti rubati, se ben ricordo, al Kunstmuseum di Basilea qualche anno fa. Concernono due opere dell'artista belga Georges Vantongerloo (1886-1965), il quale, apparentemente, a un certo punto della sua carriera fu folgorato dal fascino della matematica. Ho visto qualcosa di suo anche a Lisbona, qualche mese fa, al Museu Coleção Berardo (interessante ma poco conosciuto, a due passi dallo stupendo Mosteiro dos Jeronimos). Fatico un po' a comprendere il rapporto tra i titoli delle opere, che parrebbero codificarle nel gergo matematico, e le opere stesse: ad esempio, per quanto riguarda la prima delle due opere, che c'entra il polinomio $2x^3-13.5x^2+21x$? Nella seconda, forse, il titolo $L^2=S$ allude semplicemente alla forma quadrata? Boh?
A questo link si trova un abbozzo di spiegazione di un'altra opera, esposta alla Tate (non ricordo, ma probabilmente l'avrò vista qualche anno fa); le cifre nel titolo indicano essenzialmente le distanze tra le barre verticali.

Odissea nello spazio... frattale

Un documentario vintage (del 1995), dedicato a Benoît Mandelbrot e alla sua matematica, impreziosito da alcune guest star di prestigio. L'ideatore e narratore è nientepopodimeno che Sir Arthur C. Clarke (quello di 2001), e le musiche sono di un certo David Gilmour. Buona visione!

Anche al buon Eulero...

 ... è capitato, almeno una volta, di prendere un granchio. Nel 1769, forse frustrato dall'apparente impossibilità di dimostrare la celeberrima congettura scarabocchiata da Fermat sulla sua copia dell'Aritmetica, ne propose una generalizzazione, immaginando che per ottenere un'$n$-esima potenza intera da una somma di $n$-esime potenze occorressero almeno $n$ addendi. In sintesi, se $a_1,a_2,\ldots,a_k,b\,\in\mathbb N\setminus\{0\}$ e $n,k\ge2$,
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b^n \;\Rightarrow\; k \ge n \;.
$$
La congettura resistette ai tentativi di dimostrazione o confutazione fino al 1966, quando Leon J. Lander e Thomas R. Parkin, sfruttando la potenza del "supercomputer" più potente dell'epoca (il CDC 6600), riuscirono a ricavare un controesempio per $n=5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
$$
(la verifica si può fare con una semplice calcolatrice scientifica). Il paper in cui comunicarono la loro scoperta è certamente tra i più brevi mai pubblicati:

(qualche informazione in più si può trovare qui).

Nel 1967 Lander e Parkin, assieme al più noto John Selfridge,  proposero una nuova congettura, riassumibile con
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b_1^n+\ldots+b_{\ell}^n \;\Rightarrow\; k+\ell \ge n \;.
$$
Dalla validità di quest'ultima seguirebbe, con $\ell=1$, che la congettura di Eulero varrebbe con la condizione $k\ge n$ rimpiazzata da $k\ge n-1$. Ciò è supportato anche dalla scoperta del 1988 di Roger Frye (menzionata in un lavoro di Noam Elkies), il quale riuscì a scovare un controesempio anche per $n=4$, con 3 addendi:
$$
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4 \; .
$$
Si tratta del "più piccolo controesempio" per $n=4$, e quindi del più piccolo in assoluto: per $n=3$ la congettura di Eulero è una conseguenza immediata dell'intuizione di Fermat, nel frattempo promossa da congettura a Teorema (l'Ultimo Teorema di Fermat, o Teorema di Wiles).

Qualche altra lettura...

• L'arte della Matematica, di André Weil e Simone Weil. Uno scambio di lettere, in parte avvenuto veramente e in parte solo abbozzato, tra fratello e sorella, risalente ai mesi di prigionia scontati da André per renitenza alla leva. Lui, uno dei matematici più influenti di sempre; lei, filosofa, attivista politica, mistica, una figura di riferimento per la cultura del '900, nonostante la sua prematura scomparsa. Dalla corrispondenza emerge il profondo affetto tra i due, che per Simone sconfina in una sorta di venerazione, nonostante il (bonario) accanimento con cui André infligge alla sorella concetti per lei decisamente fuori portata. Dal punto di vista prettamente matematico, la parte forse più interessante è la Lettera 7, una densissima cronistoria della teoria algebrica dei numeri, con particolare enfasi sul ruolo centrale delle leggi di reciprocità, a partire dalla fondamentale versione quadratica.
• Troppa felicità, di Alice Munro. Un’antologia della celebre scrittrice canadese, premio Nobel 2013, che culmina con il raccolto che dà il titolo della raccolta, dedicato agli ultimi mesi di vita di Sof’ja Kovalevskaja. Allieva prediletta di Karl Weierstrass, La Kovalevskaya nella sua breve vita (si spense per una polmonite a 41 anni) fornì contributi di fondamentale importanza  nei campi dell’analisi e della meccanica (il suo risultato più citato è probabilmente il Teorema di Cauchy-Kowalevskaja sull’esistenza e l’unicità delle soluzioni di un’importante famiglia di equazioni alle derivate parziali). Pur esulando un po’ dal mio genere abituale, credo che il libro valga veramente la pena di essere letto. Tra i 10 racconti, comunque, quello che più mi ha convinto è stato il terzultimo, Bambinate, forse per la sua spiazzante e crudele conclusione.
• L’equazione del cuore, di Maurizio de Giovanni. De Giovanni si prende una pausa dai Bastardi, da Mina Settembre e commissario Ricciardi per raccontarci una storia più intima, in cui la tranquilla esistenza di un burbero insegnante di matematica in pensione viene stravolta da un tragico incidente, che si porta via la figlia e il genero, costringendo l'anziano nonno a abbandonare il suo esilio per vegliare il nipote, gravemente ferito e comatoso, e a venire a patti con gli eventi che hanno condotto al tragico epilogo.
  
• Il danno scolastico, di Paola Mastrocola e Luca Ricolfi. Sì, forse qualcuno lo considererà un libro reazionario, ma questo saggio scritto a quattro mani dall’autrice della Barca nel bosco (che contribuisce con l'esperienza dei suoi anni d’insegnamento) e dal marito, esperto di analisi di dati (che supporta le tesi con l’evidenza scientifica) mi ha fatto correre più di un brivido lungo la schiena. Perché anche dalle mie parti, con un po’ di ritardo, si cominciano ad avvertire forti e chiari i sintomi di un’interpretazione ingenua e acritica del concetto di "scuola progressista", che invece di promuovere una cultura davvero democratica finisce semplicemente per proiettare sempre più avanti nel percorso scolastico allievi che, se meglio orientati, troverebbero certamente maggiori soddisfazioni al di fuori dell’ambito liceale.
  Tra l'altro, la scorsa settimana qualcuno (non io, giuro!) ha affisso in aula docenti un invito a leggerlo.
  
• E infine, last but not least, un altro piccolo capolavoro di Ian Stewart, La matematica della vita. scritto con il consueto rigore, coniugato ad una capacità di divulgare fuori dal comune, il libro vuole documentare quella che sarà sempre più una tendenza anche nelle scienze biologiche, una crescente integrazione con le idee e i metodi della matematica. Con buona pace di quei genitori (e ne ho conosciuto qualcuno) che pensano che il percorso liceale chimico/biologico (il cosidetto "BIC") sia una versione light di quello fisico-matematico (il "FAM")...
  

 

Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 12 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
12^{16} = 184\,884\,258\,895\,036\,416 \cong 1,85 \cdot 10^{17}
$$
(185 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):

Libri, libri...

Nel mio consueto modo un po' disordinato e bulimico, anche in questo scorcio di 2022 ho letto parecchio. Tra Primo Levi (Il sistema periodico, La chiave a stella, Se questo è un uomo e il suo seguito, La tregua) e Paolo Maurensig (Canone inverso), tra Ben Pastor (La sinagoga degli zingari) e Antonio Manzini (Le ossa parlano), concedendomi anche un po' di Dylan Dog, Daredevil e Goldorak, anche per la matematica ho trovato un po' di tempo, specialmente verso mezzanotte (al termine di molte serate al limite del binge watching, con vere e proprie scorpacciate di serie TV: Ozark, Boba Fett, Reacher, Snowpiercer, Servant, Monterossi, Archive 81, ...).

• I numeri non mentono, di Vaclav Smil. Dati, dati, dati. Ne siamo sommersi: i fautori della "transizione ecologica", i partiti politici, i giornalisti più o meno in cerca di scoop, i catastrofisti di tutte le specie ce li propinano di continuo, al fine di avvalorare le loro tesi, spesso facendo leva sul fatto che il lettore medio (e anche un po' più che medio) non ha la preparazione necessaria a considerarli con sufficiente acriticità. Smil, ricercatore esperto in politiche ambientalie e prolifico autore, ci propone in questo libro una settantina di brevi/brevissimi saggi in cui ci fa capire come dietro un dato numerico si celino spesso aspetti di un'inattesa complessità. La parte del leone la fanno le tematiche tecnologico/ambientali. Ad esempio, dal libro riusciamo a intuire come l'ecessivo ottimismo nelle "fonti rinnovabili" di energia (che dalle mie parti ha originato un frettoloso ritiro dal nucleare, seguito da un lunga marcia sul posto per quanto riguarda la ricerca di vere alternative) si scontri ancora con ostacoli tecnologici e logistici (ma anche psicologici) tutt'altro che superabili in breve tempo.
  
• Matematici di profilo, di Umberto Bottazzini. Una raccolta di 48 "micro-biografie", di 3/4 pagine ciascuna, che copre l'intera storia della disciplina, da Pitagora a Perelman. Adattate da una serie di articoli pubblicati sulla versione domenicale del Sole 24 ore, esse si rivolgono al "pubblico dei giovani e meno giovani curiosi di conoscere che razza di persone siano gli uomini (e le poche donne) che nel corso dei secoli hanno creato la matematica che ormai domina la nostra esistenza". Ma sono anche utili per un ripasso veloce, magari anche solo per arricchire una noiosa lezione con qualche notiziola sulla genesi dei concetti e delle idee presentate.
  
• Pensare meglio. Strategie e scorciatoie per decidere senza sbagliare, di Marcus DuSautoy. Scorciatoie. Questo rapppresentano per DuSautoy i teoremi. Ed è un punto di vista in cui mi identifico, perché anch'io, a volte, utilizzo una metafora analoga (in genere io parlo dei teoremi come "un pezzo di strada che qualcuno ha già percorso per noi"). In dieci capitoli (tutti intitolati "La scorciatoia xxxxx", con xxxxx="schematica", "calcolata", geometrica", "differenziale" ecc.) l'esperto divulgatore DuSautoy descrive la matematica come una potente generatrice di strategie e, appunto, scorciatoie, verso una migliore comprensione della realtà. Come di consueto, è una libro che si legge con piacere, dove le asperità matematiche sono opportunamente smussate.
  Consigliato, anche ai non-esperti.
  
• I dadi giocano a Dio?, di Ian Stewart. Credo che Stewart, senza nulla togliere a DuSautoy, Odifreddi, Beutelspacher & co., sia il mio divulgatore preferito. I suoi libri non sono mai banali (ne sto leggendo un altro giusto ora), e esigono dal lettore un livello di concentrazione tutt'altro che superficiale. Anche questo Do dice play god?, del 2019, ne è un esempio. Già il sottotitolo, La matematica dell'incertezza, ci fa intuire quale sia l'argomento del saggio, essenzialmente incentrato sui modi in cui la matematica, attraverso gli ultimi secoli, ha cercato vie per venire a patti con l'imprevisto, l'imprevedibile, la sovrabbondanza di dati apparentemente contraddittori, il caos, le bizze della fisica a livello subatomico. La scelta, azzeccata, del titolo, fa riferimento a una delle frasi più citate di Einstein, solitamente a sproposito, ma anche a una precedente opera di Stewart.
  Stra-consigliato.
  

Dubbi algebrici, e...

A volte, un banale e innocente dubbio può condurci su sentieri totalmente inattesi. La scorsa settimana, a lezione, illustrando qualche proprietà del calcolo matriciale, mi sono letteralmente piantato su un problema, apparentemente semplice, a cui non avevo mai prestato attenzione.
Nella definizione di gruppo, in particolare nel caso non commutativo, l'esistenza dell'elemento opposto viene presupposta sia a sinistra che a destra; a tal proposito, è facile dimostrare che, postulando l'esistenza di due opposti $s$ e $d$ a sinistra e a destra di un elemento $x$, essi devono coincidere:
$$
s=se=sxd=ed=d \; .
$$
Ma, e questo è il punto, in strutture algebriche più semplici l'esistenza di un elemento inverso sinistro non implica per forza l'esistenza di un inverso a destra. Ed è alla disperata ricerca di un esempio in questo senso che il mio cervello è andato un po' in tilt. Più tardi, ho trovato una risposta in una "Serie" di esercizi assegnata dal prof. Brent Doran all'ETHZ (una garanzia!) nel lontano 2012: 

OK, tutto chiaro. Ma ad attirare la mia attenzione è l'ultimo esercizio della "Serie", etichettato come "more challenging problem":

 

 

Rovistando un po' in rete, ho infine trovato un riferimento "serio" al gruppo omofonico in un paper pubblicato congiuntamente nel 1993 da quattro autori sulla rivista Experimental Mathematics, in cui esso viene dimostrato essere banale in francese per la lingua inglese e in inglese per la lingua francese. Francamente, riesce un po' difficile considerarlo poco più di un innocente divertissement; già la pseudo-citazione iniziale (Ah, la recherche! Du temps perdu) ci fa intuire che gli autori non si sono presi troppo sul serio (ma attenzione: l'ultimo dei quattro in ordine alfabetico è uno dei più geniali teorici dei numeri del XX/XXI secolo!). E il riferimento a un ulteriore, oscuro lavoro (denominato Jimmy's Book, pubblicato nel 1986 sull'American Mathematical Monthly), una collezione di problemi difficilissimi, irrisolti e piuttosto eccentrici, non fa che accentuarne il tono goliardico e un po' geek. Insomma, anche i matematici, e pure quelli bravi, a volte si divertono a prendersi un po' in giro...

350 Volt

Come mi è già successo altre volte, mi sono un po' bloccato proprio alle soglie di un traguardo numericamente significativo (anche se il 350, a dire il vero, dal punto di vista aritmetico non è che sia poi così interessante). Beh, poco male. Festeggio con un'immagine scattata qualche settimana fa sulla diga foranea di Como al Life Electric di Daniel Libeskind (l'architetto, fra le altre cose, del Museo Ebraico di Berlino), ispirato "alla tensione elettrica tra i due poli di una batteria, il grande dono di Volta all'umanità".