Dio è un numero?

Mi sono imbattuto nel documentario Is God a Number su Netflix, dov'è presente una piccol(issim)a selezione di contenuti dedicati alla matematica. Presentata dal matematico britannico Michael Barnsley (quello della felce di Barnsley), un pioniere della compressione frattale (su cui detiene anche alcuni brevetti), l'opera si prefigge di illustrare al grande pubblico il concetto di Iterated Function System, uno strumento che permette di generare l'autosimilarità presente nelle strutture frattali (come la summenzionata felce).
La presentazione è un po' vintage e superficiale, ma è valorizzata dalla presenza di una guest star d'eccezione come il premio Nobel Sir Roger Penrose.

Odissea nello spazio... frattale

Un documentario vintage (del 1995), dedicato a Benoît Mandelbrot e alla sua matematica, impreziosito da alcune guest star di prestigio. L'ideatore e narratore è nientepopodimeno che Sir Arthur C. Clarke (quello di 2001), e le musiche sono di un certo David Gilmour. Buona visione!

Fractal zoom

Non è difficile immaginarsi la prima traccia dell'album Nerve Net, prodotto da Brian Eno nel 1992, come sottofondo di una carrellata attraverso i meandri dell'insieme di Mandelbrot...

A dire il vero, ho scoperto la musica del poliedrico musicista inglese solo un paio d'anni fa, nel corso di una visita alla Reggia di Venaria Reale, per la quale Eno ha composto la musica che risuona nell'imponente Galleria Grande (rielaborata, tra l'altro, nell'album Lux, che spesso mi fa da sottofondo mentre lavoro).

3n+1 parte 2 - Il frattale di Collatz

Gli insiemi numerici $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ sono relativamente poveri dal punto di vista strutturale. Spesso, quindi, i problemi sui numeri interi vengono riformulati in ambito complesso, permettendo di mettere in campo l'"artiglieria pesante" della teoria delle funzioni. Non è difficile, ad esempio, ottenere dalla funzione di Collatz una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss. Partendo dalla sua versione abbreviata

$$ c(n)=
\begin{cases}
\frac{1}{2}n &\,, n \in 2\mathbb Z \\
\frac{1}{2}(3n+1) &\,, n \in 2\mathbb Z +1
\end{cases}
$$

tutto quello di cui necessitiamo sono due funzioni analitiche $f_1(z)$ e $f_2(z)$ che assumano i valori $1$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari, e viceversa, ad esempio 

$$
f_1(z)=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad,\quad
f_2(z)=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad.
$$ Definiamo quindi
$$
c(z) = \frac{1}{2}z\cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)
+ \frac{1}{2}(3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \; ; $$ con l'aiuto di un po' di goniometria calcoliamo
\begin{eqnarray*}
c(z) &=&
\frac{1}{2} \left( z\left(1-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right)
+ (3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)\right) \\
&=&
\frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right) \\
&=&
 \frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\cdot\frac{1}{2}(1-\cos(\pi z)) \right) \end{eqnarray*} ricavando infine
$$
c(z)= \frac{1}{4}\left( 4z+1-(2z+1)\cos(\pi z)\right) \quad.
$$

Studiando i valori di $z \in \mathbb C$ per cui l'iterazione successiva di tale funzione converge risp. diverge si ricava il suggestivo frattale di Collatz:

Zetaquadrato più c

L'autobiografia di Benoît Mandelbrot mi ha riportato alla mente (ne ho già parlato qui) il mio primissimo contatto con la matematica contemporanea, avvenuto grazie al bizzarro insieme che porta il nome del geniale ricercatore franco/polacco. Narra la leggenda che questa vera e propria icona della matematica di fine '900, sputata fuori in una forma rudimentale da una stampante dell'IBM, fu notata quasi per caso da Mandelbrot. 

In realtà, Mandelbrot fu effettivamente tra i primi a menzionarla (qui), ma i primi a farne un oggetto di studio, delineandone alcune proprietà essenziali, furono Adrien Douady e John Hubbard (vedi qui), due autorità nel campo dei sistemi dinamici. Furono proprio questi ultimi ad attribuirle il nome con cui essa è oggi universalmente conosciuta. La frattalità del suo bordo fu invece dimostrata da Mitsuhiro Shishikura nel 1994 (in un paper apparso dugli Annals, disponibile qui come preprint).

L'insieme $M$ di Mandelbrot rappresenta probabilmente l'esempio più noto e spettacolare di come sia possibile generare forme estremamente complesse a partire da regole semplici: si tratta dell'insieme dei parametri complessi $c$ per cui l'orbita di $z=0$ rispetto all'iterazione ottenuta dalla funzione polinomiale

$$
z \longmapsto z^2+c
$$

è limitata; in altre parole, si tratta dell'insieme dei numeri complessi $c\in\mathbb C$ tali che l'insieme

$$
\{c,c^2+c,(c^2+c)^2+c,((c^2+c)^2+c)^2+c,\ldots\}
$$

è limitato da una costante; per un risultato abbastanza noto, tale costante può essere scelta uguale a 2. Ciò permette di disegnare l'insieme "plottando" i punti del piano complesso il cui modulo dopo un certo numero di iterazioni non ha ancora raggiunto tale valore; si tratta proprio di quello che facevamo a metà degli anni '80 sottoponendo il Commodore 64 a dei veri e propri tour de force (vedi anche qui), ispirati da un articolo di Alexander Dewdney apparso su "Le Scienze" nell'ottobre 1985 (eccolo; questa invece è la versione originale).

Misurando l'allontanamento dell'orbita di un punto all'esterno dell'insieme di Mandelbrot (cioè la distanza raggiunta dopo un tot di iterazioni), e colorando in modo diverso i punti corrispondenti è possibile realizzare immagini davvero spettacolari e suggestive; eccone una, che da un po' funge da sfondo sul PC del mio ufficio:

Il Frattalista

Fra i pochi libri riguardanti, almeno indirettamente, la matematica che ho letto nel corso degli ultimi mesi segnalo oggi The Fractalist, l'autobiografia (uscita postuma) di Benoît Mandelbrot, universalmente noto come il "padre della geometria frattale" (nel frattempo è uscita pure l'edizione italiana, il cui titolo è stato stravolto in La formula della bellezza). Non è facile riassumere in poche righe la vita di Mandelbrot (e sarebbe oltremodo riduttivo farlo), dall'incontro con la matematica avvenuto grazie allo zio Szolem Mandelbrojt passando per l'Ecole Polytechnique (dove studiò sotto la supervisione di Paul Lévy e Gaston Julia) e il Caltech (dove studiò ingegneria aeronautica), alle innumerevoli posizioni coperte nei più prestigiosi istituti di ricerca, fino alla sua prima e unica tenure, ottenuta a Yale all'età di 75(!) anni. Ampio spazio è dedicato alle toccanti vicende famigliari del Matematico, di origine ebraica, che trascorse gli anni del secondo conflitto mondiale nella Francia occupata e che solo in modo un po' fortuito si salvò dalla deportazione. 

Il libro è nel contempo un racconto del sogno Kepleriano (per usare le sue stesse parole) di Mandelbrot di studiare ed interpretare i più disparati fenomeni naturali (ma anche economici) mediante una teoria della rugosità, in particolare in presenza di fenomeni "caotici". Probabilmente il ruolo della geometria frattale (aggettivo, tra l'altro, coniato dallo stesso Mandelbrot), molto in voga un paio di decenni fa, è stato nel frattempo un po' ridimensionato, ma ciò non sminuisce affatto l'impatto delle idee del geniale matematico franco-polacco sulla scienza del XX secolo.

Bellezza frattale

Ho letto, tutto d'un fiato o quasi (impresa notevole, in un periodo in cui il mio tempo libero si è ridotto quasi a zero) Argento vivo (Sellerio), l'ultima fatica di Marco Malvaldi. Non mi avventurerò in giudizi di carattere estetico, non avendone le competenze (condivido con uno dei protagonisti, forse l'alter ego dello stesso autore, il fatto di essere un lettore compulsivo, ma purtroppo non la sua capacità di analizzare freddamente il testo); dirò soltanto che il libro mi ha dato quello che cercavo, cioè qualche ora di lettura spensierata, con l'aggiunta di un pretesto per qualche approfondimento di carattere matematico.

Il vero protagonista del romanzo è a sua volta un romanzo, opera ancora inedita di un autore un po' appannato il cui furto dà il via alla vicenda. E, da quanto si evince dagli stralci inseriti nella narrazione, il protagonista di tale romanzo è un anziano matematico, musicista mancato e musicologo di talento, alla ricerca di un criterio per quantificare la bellezza di un brano. Criterio che il personaggio in questione identifica nella cosiddetta dimensione frattale del componimento musicale.

L'idea di studiare la complessità della musica attraverso la geometria frattale non è affatto fantascientifica. Ispirata, ovviamente, da Benoît Mandelbrot e dal suo "manifesto" The fractal geometry of nature, essa è stata sfruttata ad esempio da Perrin S. Meyer (vedi qui), che analizzando la forma d'onda di alcuni brani (da Vivaldi ai Grateful Dead, passando per Vangelis) giunge alla conclusione che la sua dimensione frattale (cioè, essenzialmente, l'efficienza con cui essa occupa lo spazio bidimensionale) non si allontana mai molto dal valore di 1.65. La geometria frattale della musica è anche alla base del lavoro degli "zurighesi" Kenneth e Andreas Hsü, che qui applicano il punto di vista Mandelbrot-iano ad alcune composizioni scelte di Wolfgang Amadeus Mozart e Johann Sebastian Bach, ispirando a loro volta Jennifer Shafer (vedi qui), che concentra la sua attenzione sulle invenzioni in due e tre parti del genio di Eisenach.