Zetaquadrato più c

L'autobiografia di Benoît Mandelbrot mi ha riportato alla mente (ne ho già parlato qui) il mio primissimo contatto con la matematica contemporanea, avvenuto grazie al bizzarro insieme che porta il nome del geniale ricercatore franco/polacco. Narra la leggenda che questa vera e propria icona della matematica di fine '900, sputata fuori in una forma rudimentale da una stampante dell'IBM, fu notata quasi per caso da Mandelbrot. 

In realtà, Mandelbrot fu effettivamente tra i primi a menzionarla (qui), ma i primi a farne un oggetto di studio, delineandone alcune proprietà essenziali, furono Adrien Douady e John Hubbard (vedi qui), due autorità nel campo dei sistemi dinamici. Furono proprio questi ultimi ad attribuirle il nome con cui essa è oggi universalmente conosciuta. La frattalità del suo bordo fu invece dimostrata da Mitsuhiro Shishikura nel 1994 (in un paper apparso dugli Annals, disponibile qui come preprint).

L'insieme $M$ di Mandelbrot rappresenta probabilmente l'esempio più noto e spettacolare di come sia possibile generare forme estremamente complesse a partire da regole semplici: si tratta dell'insieme dei parametri complessi $c$ per cui l'orbita di $z=0$ rispetto all'iterazione ottenuta dalla funzione polinomiale

$$
z \longmapsto z^2+c
$$

è limitata; in altre parole, si tratta dell'insieme dei numeri complessi $c\in\mathbb C$ tali che l'insieme

$$
\{c,c^2+c,(c^2+c)^2+c,((c^2+c)^2+c)^2+c,\ldots\}
$$

è limitato da una costante; per un risultato abbastanza noto, tale costante può essere scelta uguale a 2. Ciò permette di disegnare l'insieme "plottando" i punti del piano complesso il cui modulo dopo un certo numero di iterazioni non ha ancora raggiunto tale valore; si tratta proprio di quello che facevamo a metà degli anni '80 sottoponendo il Commodore 64 a dei veri e propri tour de force (vedi anche qui), ispirati da un articolo di Alexander Dewdney apparso su "Le Scienze" nell'ottobre 1985 (eccolo; questa invece è la versione originale).

Misurando l'allontanamento dell'orbita di un punto all'esterno dell'insieme di Mandelbrot (cioè la distanza raggiunta dopo un tot di iterazioni), e colorando in modo diverso i punti corrispondenti è possibile realizzare immagini davvero spettacolari e suggestive; eccone una, che da un po' funge da sfondo sul PC del mio ufficio: