3n+1 parte 2 - Il frattale di Collatz

Gli insiemi numerici $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ sono relativamente poveri dal punto di vista strutturale. Spesso, quindi, i problemi sui numeri interi vengono riformulati in ambito complesso, permettendo di mettere in campo l'"artiglieria pesante" della teoria delle funzioni. Non è difficile, ad esempio, ottenere dalla funzione di Collatz una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss. Partendo dalla sua versione abbreviata

$$c(n)= \begin{cases} \frac{1}{2}n &\,, n \in 2\mathbb Z \\ \frac{1}{2}(3n+1) &\,, n \in 2\mathbb Z +1 \end{cases}$$

tutto quello di cui necessitiamo sono due funzioni analitiche $f_1(z)$ e $f_2(z)$ che assumano i valori $1$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari, e viceversa, ad esempio 

$$f_1(z)=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad,\quad f_2(z)=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad.$$ Definiamo quindi
$$c(z) = \frac{1}{2}z\cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) + \frac{1}{2}(3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \; ;$$ con l'aiuto di un po' di goniometria calcoliamo
$$\begin{eqnarray*} c(z) &=& \frac{1}{2} \left( z\left(1-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right) + (3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)\right) \\ &=& \frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right) \\ &=&  \frac{1}{2} \left(  z+ (2z+1)\cdot\frac{1}{2}(1-\cos(\pi z)) \right) \end{eqnarray*}$$ ricavando infine
$$c(z)= \frac{1}{4}\left( 4z+1-(2z+1)\cos(\pi z)\right) \quad.$$

Studiando i valori di $z \in \mathbb C$ per cui l'iterazione successiva di tale funzione converge risp. diverge si ricava il suggestivo frattale di Collatz: