Gli insiemi numerici $\mathbb N$ e $\mathbb Z$ sono relativamente poveri dal punto di vista strutturale. Spesso, quindi, i problemi sui numeri interi vengono riformulati in ambito complesso, permettendo di mettere in campo l'"artiglieria pesante" della teoria delle funzioni. Non è difficile, ad esempio, ottenere dalla funzione di Collatz una funzione olomorfa sull'intero piano di Gauss. Partendo dalla sua versione abbreviata
$$
c(n)=\begin{cases}
\frac{1}{2}n &\,, n \in 2\mathbb Z \\
\frac{1}{2}(3n+1) &\,, n \in 2\mathbb Z +1
\end{cases}
$$
tutto quello di cui necessitiamo sono due funzioni analitiche $f_1(z)$ e $f_2(z)$ che assumano i valori $1$ per $n$ pari e $0$ per $n$ dispari, e viceversa, ad esempio
$$f_1(z)=\cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad,\quad
f_2(z)=\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \quad.
$$ Definiamo quindi
$$
c(z) = \frac{1}{2}z\cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)
+ \frac{1}{2}(3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \; ; $$ con l'aiuto di un po' di goniometria calcoliamo
\begin{eqnarray*}
c(z) &=&
\frac{1}{2} \left( z\left(1-\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right)
+ (3z+1) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right)\right) \\
&=&
\frac{1}{2} \left( z+ (2z+1)\sin^2\left(\frac{\pi}{2}z\right) \right) \\
&=&
\frac{1}{2} \left( z+ (2z+1)\cdot\frac{1}{2}(1-\cos(\pi z)) \right) \end{eqnarray*} ricavando infine
$$
c(z)= \frac{1}{4}\left( 4z+1-(2z+1)\cos(\pi z)\right) \quad.
$$
Studiando i valori di $z \in \mathbb C$ per cui l'iterazione successiva di tale funzione converge risp. diverge si ricava il suggestivo frattale di Collatz:
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