Anche al buon Eulero...

 ... è capitato, almeno una volta, di prendere un granchio. Nel 1769, forse frustrato dall'apparente impossibilità di dimostrare la celeberrima congettura scarabocchiata da Fermat sulla sua copia dell'Aritmetica, ne propose una generalizzazione, immaginando che per ottenere un'$n$-esima potenza intera da una somma di $n$-esime potenze occorressero almeno $n$ addendi. In sintesi, se $a_1,a_2,\ldots,a_k,b\,\in\mathbb N\setminus\{0\}$ e $n,k\ge2$,
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b^n \;\Rightarrow\; k \ge n \;.
$$
La congettura resistette ai tentativi di dimostrazione o confutazione fino al 1966, quando Leon J. Lander e Thomas R. Parkin, sfruttando la potenza del "supercomputer" più potente dell'epoca (il CDC 6600), riuscirono a ricavare un controesempio per $n=5$:
$$
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
$$
(la verifica si può fare con una semplice calcolatrice scientifica). Il paper in cui comunicarono la loro scoperta è certamente tra i più brevi mai pubblicati:

(qualche informazione in più si può trovare qui).

Nel 1967 Lander e Parkin, assieme al più noto John Selfridge,  proposero una nuova congettura, riassumibile con
$$
a_1^n+a_2^n+\ldots+a_k^n = b_1^n+\ldots+b_{\ell}^n \;\Rightarrow\; k+\ell \ge n \;.
$$
Dalla validità di quest'ultima seguirebbe, con $\ell=1$, che la congettura di Eulero varrebbe con la condizione $k\ge n$ rimpiazzata da $k\ge n-1$. Ciò è supportato anche dalla scoperta del 1988 di Roger Frye (menzionata in un lavoro di Noam Elkies), il quale riuscì a scovare un controesempio anche per $n=4$, con 3 addendi:
$$
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4 \; .
$$
Si tratta del "più piccolo controesempio" per $n=4$, e quindi del più piccolo in assoluto: per $n=3$ la congettura di Eulero è una conseguenza immediata dell'intuizione di Fermat, nel frattempo promossa da congettura a Teorema (l'Ultimo Teorema di Fermat, o Teorema di Wiles).

Qualche altra lettura...

• L'arte della Matematica, di André Weil e Simone Weil. Uno scambio di lettere, in parte avvenuto veramente e in parte solo abbozzato, tra fratello e sorella, risalente ai mesi di prigionia scontati da André per renitenza alla leva. Lui, uno dei matematici più influenti di sempre; lei, filosofa, attivista politica, mistica, una figura di riferimento per la cultura del '900, nonostante la sua prematura scomparsa. Dalla corrispondenza emerge il profondo affetto tra i due, che per Simone sconfina in una sorta di venerazione, nonostante il (bonario) accanimento con cui André infligge alla sorella concetti per lei decisamente fuori portata. Dal punto di vista prettamente matematico, la parte forse più interessante è la Lettera 7, una densissima cronistoria della teoria algebrica dei numeri, con particolare enfasi sul ruolo centrale delle leggi di reciprocità, a partire dalla fondamentale versione quadratica.
• Troppa felicità, di Alice Munro. Un’antologia della celebre scrittrice canadese, premio Nobel 2013, che culmina con il raccolto che dà il titolo della raccolta, dedicato agli ultimi mesi di vita di Sof’ja Kovalevskaja. Allieva prediletta di Karl Weierstrass, La Kovalevskaya nella sua breve vita (si spense per una polmonite a 41 anni) fornì contributi di fondamentale importanza  nei campi dell’analisi e della meccanica (il suo risultato più citato è probabilmente il Teorema di Cauchy-Kowalevskaja sull’esistenza e l’unicità delle soluzioni di un’importante famiglia di equazioni alle derivate parziali). Pur esulando un po’ dal mio genere abituale, credo che il libro valga veramente la pena di essere letto. Tra i 10 racconti, comunque, quello che più mi ha convinto è stato il terzultimo, Bambinate, forse per la sua spiazzante e crudele conclusione.
• L’equazione del cuore, di Maurizio de Giovanni. De Giovanni si prende una pausa dai Bastardi, da Mina Settembre e commissario Ricciardi per raccontarci una storia più intima, in cui la tranquilla esistenza di un burbero insegnante di matematica in pensione viene stravolta da un tragico incidente, che si porta via la figlia e il genero, costringendo l'anziano nonno a abbandonare il suo esilio per vegliare il nipote, gravemente ferito e comatoso, e a venire a patti con gli eventi che hanno condotto al tragico epilogo.
  
• Il danno scolastico, di Paola Mastrocola e Luca Ricolfi. Sì, forse qualcuno lo considererà un libro reazionario, ma questo saggio scritto a quattro mani dall’autrice della Barca nel bosco (che contribuisce con l'esperienza dei suoi anni d’insegnamento) e dal marito, esperto di analisi di dati (che supporta le tesi con l’evidenza scientifica) mi ha fatto correre più di un brivido lungo la schiena. Perché anche dalle mie parti, con un po’ di ritardo, si cominciano ad avvertire forti e chiari i sintomi di un’interpretazione ingenua e acritica del concetto di "scuola progressista", che invece di promuovere una cultura davvero democratica finisce semplicemente per proiettare sempre più avanti nel percorso scolastico allievi che, se meglio orientati, troverebbero certamente maggiori soddisfazioni al di fuori dell’ambito liceale.
  Tra l'altro, la scorsa settimana qualcuno (non io, giuro!) ha affisso in aula docenti un invito a leggerlo.
  
• E infine, last but not least, un altro piccolo capolavoro di Ian Stewart, La matematica della vita. scritto con il consueto rigore, coniugato ad una capacità di divulgare fuori dal comune, il libro vuole documentare quella che sarà sempre più una tendenza anche nelle scienze biologiche, una crescente integrazione con le idee e i metodi della matematica. Con buona pace di quei genitori (e ne ho conosciuto qualcuno) che pensano che il percorso liceale chimico/biologico (il cosidetto "BIC") sia una versione light di quello fisico-matematico (il "FAM")...
  

 

Würfelspiel

Il problema di Stockhausen mi pareva un po' estremo per presentare qualche idea combinatoria ad una classe composta da studenti che hanno scelto l'indiritto musicale. Ho quindi optato per qualcosa di decisamente più semplice: il cosiddetto Würfelspiel, un semplice algoritmo concepito

Attribuito (non con certezza assoluta) a Mozart, lo spartito (scaricabile ad esempio qui) consiste di due griglie che alle somme dei punteggi in un doppio lancio di dadi (da 2 a 12, quindi) fanno corrispondere valori numerici tra 1 e 176, corrispondenti a 176 diverse battute da concatenare secondo la sequenza degli esiti.
Il Würfelspiel può essere sperimentato online, ad esempio qui; il toolkit Verovio permette anche di eseguire e stampare i brani scaricati (funziona abbastanza bene con Chrome ma non con Safari, ma a dire il vero le battute prodotte qui sono 17 (anche se la 17esima sembra essere sempre la stessa), e non vengono eseguite nella giusta sequenza, "saltando" la ripetizione.

Con 16 misure da comporre, ognuna delle quali selezionabile in 11 modi, il totale dei Walzer generabili con questo algoritmo raggiunge il ragguardevole numero di
$$
11^{16} = 45\,949\,729\,863\,572\,161 \cong 4,59 \cdot 10^{16}
$$
(45 milioni di miliardi). Ma gli esiti non sono tutti ugualmente frequenti: dal momento che in un doppio lancio la somma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) è 6 volte più probabile delle somme 2 (1+1) e 12 (6+6), il walzer

(ottenibile con una sequenza di soli esiti 7), è
$$
6^{16} = 2\,821\,109\,907\,456 \cong 2,82 \cdot 10^{12}
$$
volte (quasi tremila miliardi) più probabile dei $2^{16}=65536$ brani ottenibili con gli esiti 2 e 12, ad esempio questo (soli esiti 2):

e questo (soli esiti 12):

Libri, libri...

Nel mio consueto modo un po' disordinato e bulimico, anche in questo scorcio di 2022 ho letto parecchio. Tra Primo Levi (Il sistema periodico, La chiave a stella, Se questo è un uomo e il suo seguito, La tregua) e Paolo Maurensig (Canone inverso), tra Ben Pastor (La sinagoga degli zingari) e Antonio Manzini (Le ossa parlano), concedendomi anche un po' di Dylan Dog, Daredevil e Goldorak, anche per la matematica ho trovato un po' di tempo, specialmente verso mezzanotte (al termine di molte serate al limite del binge watching, con vere e proprie scorpacciate di serie TV: Ozark, Boba Fett, Reacher, Snowpiercer, Servant, Monterossi, Archive 81, ...).

• I numeri non mentono, di Vaclav Smil. Dati, dati, dati. Ne siamo sommersi: i fautori della "transizione ecologica", i partiti politici, i giornalisti più o meno in cerca di scoop, i catastrofisti di tutte le specie ce li propinano di continuo, al fine di avvalorare le loro tesi, spesso facendo leva sul fatto che il lettore medio (e anche un po' più che medio) non ha la preparazione necessaria a considerarli con sufficiente acriticità. Smil, ricercatore esperto in politiche ambientalie e prolifico autore, ci propone in questo libro una settantina di brevi/brevissimi saggi in cui ci fa capire come dietro un dato numerico si celino spesso aspetti di un'inattesa complessità. La parte del leone la fanno le tematiche tecnologico/ambientali. Ad esempio, dal libro riusciamo a intuire come l'ecessivo ottimismo nelle "fonti rinnovabili" di energia (che dalle mie parti ha originato un frettoloso ritiro dal nucleare, seguito da un lunga marcia sul posto per quanto riguarda la ricerca di vere alternative) si scontri ancora con ostacoli tecnologici e logistici (ma anche psicologici) tutt'altro che superabili in breve tempo.
  
• Matematici di profilo, di Umberto Bottazzini. Una raccolta di 48 "micro-biografie", di 3/4 pagine ciascuna, che copre l'intera storia della disciplina, da Pitagora a Perelman. Adattate da una serie di articoli pubblicati sulla versione domenicale del Sole 24 ore, esse si rivolgono al "pubblico dei giovani e meno giovani curiosi di conoscere che razza di persone siano gli uomini (e le poche donne) che nel corso dei secoli hanno creato la matematica che ormai domina la nostra esistenza". Ma sono anche utili per un ripasso veloce, magari anche solo per arricchire una noiosa lezione con qualche notiziola sulla genesi dei concetti e delle idee presentate.
  
• Pensare meglio. Strategie e scorciatoie per decidere senza sbagliare, di Marcus DuSautoy. Scorciatoie. Questo rapppresentano per DuSautoy i teoremi. Ed è un punto di vista in cui mi identifico, perché anch'io, a volte, utilizzo una metafora analoga (in genere io parlo dei teoremi come "un pezzo di strada che qualcuno ha già percorso per noi"). In dieci capitoli (tutti intitolati "La scorciatoia xxxxx", con xxxxx="schematica", "calcolata", geometrica", "differenziale" ecc.) l'esperto divulgatore DuSautoy descrive la matematica come una potente generatrice di strategie e, appunto, scorciatoie, verso una migliore comprensione della realtà. Come di consueto, è una libro che si legge con piacere, dove le asperità matematiche sono opportunamente smussate.
  Consigliato, anche ai non-esperti.
  
• I dadi giocano a Dio?, di Ian Stewart. Credo che Stewart, senza nulla togliere a DuSautoy, Odifreddi, Beutelspacher & co., sia il mio divulgatore preferito. I suoi libri non sono mai banali (ne sto leggendo un altro giusto ora), e esigono dal lettore un livello di concentrazione tutt'altro che superficiale. Anche questo Do dice play god?, del 2019, ne è un esempio. Già il sottotitolo, La matematica dell'incertezza, ci fa intuire quale sia l'argomento del saggio, essenzialmente incentrato sui modi in cui la matematica, attraverso gli ultimi secoli, ha cercato vie per venire a patti con l'imprevisto, l'imprevedibile, la sovrabbondanza di dati apparentemente contraddittori, il caos, le bizze della fisica a livello subatomico. La scelta, azzeccata, del titolo, fa riferimento a una delle frasi più citate di Einstein, solitamente a sproposito, ma anche a una precedente opera di Stewart.
  Stra-consigliato.
  

Dubbi algebrici, e...

A volte, un banale e innocente dubbio può condurci su sentieri totalmente inattesi. La scorsa settimana, a lezione, illustrando qualche proprietà del calcolo matriciale, mi sono letteralmente piantato su un problema, apparentemente semplice, a cui non avevo mai prestato attenzione.
Nella definizione di gruppo, in particolare nel caso non commutativo, l'esistenza dell'elemento opposto viene presupposta sia a sinistra che a destra; a tal proposito, è facile dimostrare che, postulando l'esistenza di due opposti $s$ e $d$ a sinistra e a destra di un elemento $x$, essi devono coincidere:
$$
s=se=sxd=ed=d \; .
$$
Ma, e questo è il punto, in strutture algebriche più semplici l'esistenza di un elemento inverso sinistro non implica per forza l'esistenza di un inverso a destra. Ed è alla disperata ricerca di un esempio in questo senso che il mio cervello è andato un po' in tilt. Più tardi, ho trovato una risposta in una "Serie" di esercizi assegnata dal prof. Brent Doran all'ETHZ (una garanzia!) nel lontano 2012: 

OK, tutto chiaro. Ma ad attirare la mia attenzione è l'ultimo esercizio della "Serie", etichettato come "more challenging problem":

 

 

Rovistando un po' in rete, ho infine trovato un riferimento "serio" al gruppo omofonico in un paper pubblicato congiuntamente nel 1993 da quattro autori sulla rivista Experimental Mathematics, in cui esso viene dimostrato essere banale in francese per la lingua inglese e in inglese per la lingua francese. Francamente, riesce un po' difficile considerarlo poco più di un innocente divertissement; già la pseudo-citazione iniziale (Ah, la recherche! Du temps perdu) ci fa intuire che gli autori non si sono presi troppo sul serio (ma attenzione: l'ultimo dei quattro in ordine alfabetico è uno dei più geniali teorici dei numeri del XX/XXI secolo!). E il riferimento a un ulteriore, oscuro lavoro (denominato Jimmy's Book, pubblicato nel 1986 sull'American Mathematical Monthly), una collezione di problemi difficilissimi, irrisolti e piuttosto eccentrici, non fa che accentuarne il tono goliardico e un po' geek. Insomma, anche i matematici, e pure quelli bravi, a volte si divertono a prendersi un po' in giro...