Tertium non datur

Nella logica tradizionale, una proposizione o è vera, o è falsa. Questa affermazione, degna di Jacques de la Palice, ha in realtà un gran numero di conseguenze tutt'altro che banali in ambito matematico, specialmente per quanto riguarda le cosiddette dimostrazioni di esistenza. Giusto ieri, sfogliando distrattamente l'imponente Princeton Companion to Mathematics (ne parlerò ancora), mi sono imbattuto in un notevole esempio di questo fatto nell'ambito della teoria dei numeri: il problema della "produzione" di numeri razionali a partire da numeri irrazionali. Mi spiego meglio: è facile trovare  due numeri irrazionali $a$ e $b$ la cui somma sia razionale (si pensi, banalmente, all'esempio $a=\sqrt{2}$, $b=-\sqrt{2}$) oppure tali che il loro prodotto sia razionale (ad esempio $a=b=\sqrt{2}$). Ma è tutt'altro che semplice esibirne due tali che la potenza $a^b$ lo sia: in effetti, studiare l'irrazionalità di una potenza è cosa tutt'altro che semplice. Ma non è difficile dimostrare l'esistenza dei numeri $a$ e $b$. Consideriamo a tal proposito il numero $\sqrt{2}^\sqrt{2}$: se esso fosse razionale, allora il problema sarebbe risolto ponendo
$$
(a,b) = \left( \sqrt{2},\sqrt{2} \right)
$$
(l'irrazionalità della radice di due era già nota ai pitagorici, e viene comunemente dimostrata già al liceo). Se, per contro, $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ fosse irrazionale, dal momento che
$$
\left(\sqrt{2}^\sqrt{2} \right)^\sqrt{2}=\sqrt{2}^{\sqrt2 \cdot \sqrt 2}=\sqrt2^2=2
$$
basterebbe porre $$ (a,b) = \left( \sqrt{2}^\sqrt{2},\sqrt2 \right) \quad.
$$
Geniale, no?

In realtà, è la seconda versione ad essere corretta: $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ è irrazionale (addirittura trascendente) in virtù del teorema di Gelfond-Schneider, la cui dimostrazione diede, nel 1934, una risposta affermativa al settimo problema di Hilbert.

Formulaire -> Formulario

Un po' di pubblicità. È in libreria, ormai da qualche settimana, Formulari e tavole, traduzione italiana (a cura della Commissione di matematica della svizzera italiana) del Formulaires et tables delle Commissioni romande di matematica, fisica e chimica. Tagliata su misura per il programma dei licei elvetici, l'opera mette a disposizione degli studenti italofoni uno strumento già usato e apprezzato da decenni dalle nostre parti. L'indice è consultabile qui.

La spirale sbagliata

La scorsa settimana mi sono recato a Basilea, città ricchissima di arte, cultura e tradizioni. Tra un museo e l'altro (Beyeler e Tinguely, consigliatissimi), ho visitato l'imponente Vecchia Cattedrale (il Münster, oggi chiesa protestante), all'esterno della quale, non lontano da una terrazza con una spettacolare vista sull'ansa del Reno, si trova la lapide dedicata a Jakob Bernoulli. Jakob (1654-1704), fratello di Johann e zio di Daniel, fu il primo matematico di una famiglia che in pochi decenni ne avrebbe annoverati ben otto, monopolizzando per un secolo la prestigiosa cattedra basilese. È noto per essere l'autore dell'Ars Conjectandi (pubblicato postumo), di importanza fondamentale in ambito probabilistico, per i suoi studi sul numero e (sua è la "definizione", spesso sfruttata in ambito didattico, basata sull'interesse composto a capitalizzazione istantanea) e per la sua passione per la spirale logaritmica, che volle far scolpire sulla sua pietra tombale. Il motto che la accompagna, eadem mutata resurgo ("risorgo uguale eppure diversa") fa riferimento forse all'ubiquità di tale curva in natura, o forse piuttosto alle proprietà di auto-similarità della spira mirabilis. Proprietà che, purtroppo, non si evincono dalla spirale scolpita sulla lapide: difatti, l'ignoto autore del monumento, invece di una spirale logaritmica (dove i raggi crescono in progressione geometrica) scolpì una banale spirale archimedea (dove la progressione dei raggi è aritmetica).

All'incontrario

Il percorso tradizionale dell'analisi liceale (numeri reali > limiti > derivate > integrali) procede a ritroso nel tempo: la definizione rigorosa di "numero" ha poco più di cent'anni, il concetto di limite ha avuto la sua sistemazione definitiva nella prima metà del XIX secolo, il calcolo differenziale nasce con Newton e Leibnitz (a cavallo tra il XVII e il XVIII sec.) e il calcolo integrale, per quanto riguarda aree e volumi, deve molto ad Archimede e al "metodo di esaustione" (III sec. a.C., ma anche prima).

Comunque, tale modo di procedere (che può essere fatto risalire almeno a Hardy e al suo classico A Course of Pure Mathematics) si giustifica pienamente: sono proprio le sistemazioni successive ad aver trasformato il calcolo infinitesimale nello strumento elegante e irrinunciabile che conosciamo ed apprezziamo.

Nel loro Analysis by Its History, Ernst Hairer e Gerhard Wanner, in controtendenza con la prassi didattica abituale, ci propongono invece di studiare l'analisi nella corretta sequenza temporale. Nella prima parte dell'opera, ci presentano quindi i risultati principali del calculus senza insistere sul concetto di limite, ragionando sugli infinitesimi con la stessa (geniale) spregiudicatezza con cui li trattavano Leibnitz e Eulero (da questo punto di vista, il presente post può quindi essere visto come un'ideale continuazione di questo). Più avanti, il testo si fa più tradizionale: ripartendo dal concetto di limite, la costruzione si avvicina decisamente a quanto normalmente proposto in un corso universitario. Ma anche qui non mancano le "chicche", come l'impressionante diagramma di flusso che descrive il percorso logico che dalla definizione di numero reale conduce al Teorema Fondamentale, o l'intrigante definizione di derivabilità data da Constantin Carathéodory, che non fa eplicitamente riferimento ad un passaggio al limite (ma nasconde tale operazione nella continuità di una funzione ausiliaria).

Lara Croft e i quaternioni

"Well, Papa, can you multiply triplets?" Sembra che fosse questa la domanda con la quale i figli di Sir William Rowan Hamilton accoglievano il padre a colazione nei primi giorni dell'ottobre 1943. E  pare che la laconica risposta fosse, inevitabilmente, "No, I can only add and subtract them". Qualche giorno più tardi, però, durante una leggendaria passeggiata lungo il Royal Canal, Hamilton si sarebbe reso conto che il problema andava riformulato per le quaterne di numeri reali. Il 16.10.1843 rappresenta quindi la data di nascita dei quaternioni, sistema numerico che amplia il campo dei numeri complessi, sacrificando l'assioma della commutatività per la moltiplicazione ma preservandone l'associatività. I quaternioni si imposero ben presto come un preziosissimo strumento in mano ai matematici: grazie ad essi, è ad esempio possibile fornire una dimostrazione sorprendentemente concisa del teorema dei quattro quadrati ("ogni numero naturale è esprimibile come somma di quattro quadrati di numeri interi"). 

Ma Hamilton non avrebbe mai immaginato che la sua geniale intuizione avrebbe avuto le sue applicazioni più spettacolari nell'industria dell'entertainment. In effetti, immergendo lo spazio tridimensionale all'interno dell'algebra dei quaternioni è possibile sfruttare le proprietà di questi ultimi per descrivere in un modo elegante e soprattutto efficiente le rotazioni attorno ad un asse, e quindi anche per cambiare in modo fluido il punto di vista in un videogame. Pionieri in questo senso sono probabilmente stati gli autori del primo Tomb Raider, che dal 1996 si avvalgono dell'algebra sviluppata da Hamilton per rappresentare le evoluzioni della procace Lara Croft.