Il percorso tradizionale dell'analisi liceale (numeri reali > limiti > derivate > integrali) procede a ritroso nel tempo: la definizione rigorosa di "numero" ha poco più di cent'anni, il concetto di limite ha avuto la sua sistemazione definitiva nella prima metà del XIX secolo, il calcolo differenziale nasce con Newton e Leibnitz (a cavallo tra il XVII e il XVIII sec.) e il calcolo integrale, per quanto riguarda aree e volumi, deve molto ad Archimede e al "metodo di esaustione" (III sec. a.C., ma anche prima).
Comunque, tale modo di procedere (che può essere fatto risalire almeno a Hardy e al suo classico A Course of Pure Mathematics) si giustifica pienamente: sono proprio le sistemazioni successive ad aver trasformato il calcolo infinitesimale nello strumento elegante e irrinunciabile che conosciamo ed apprezziamo.
Nel loro Analysis by Its History, Ernst Hairer e Gerhard Wanner, in controtendenza con la prassi didattica abituale, ci propongono invece di studiare l'analisi nella corretta sequenza temporale. Nella prima parte dell'opera, ci presentano quindi i risultati principali del calculus senza insistere sul concetto di limite, ragionando sugli infinitesimi con la stessa (geniale) spregiudicatezza con cui li trattavano Leibnitz e Eulero (da questo punto di vista, il presente post può quindi essere visto come un'ideale continuazione di questo). Più avanti, il testo si fa più tradizionale: ripartendo dal concetto di limite, la costruzione si avvicina decisamente a quanto normalmente proposto in un corso universitario. Ma anche qui non mancano le "chicche", come l'impressionante diagramma di flusso che descrive il percorso logico che dalla definizione di numero reale conduce al Teorema Fondamentale, o l'intrigante definizione di derivabilità data da Constantin Carathéodory, che non fa eplicitamente riferimento ad un passaggio al limite (ma nasconde tale operazione nella continuità di una funzione ausiliaria).
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