Quadri da un'esposizione

Qualche settimana fa un (ottimo) ex-allievo, ora studente di fisica, mi ha confessato la sua difficoltà nel venire a patti con l'integrale di Lebesgue, forse a causa di una certa difficoltà nel capire le motivazioni che avevano indotto il matematico francese a stravolgere (ampliandola, in verità) la ben nota definizione Riemanniana. Lì per lì avevo saputo rispondere solo in maniera vaga, ricordando che con la "nuova" definizione è possibile integrare una famiglia più ampia di funzioni.

Purtroppo non avevo ancora terminato The Calculus Gallery, di William Dunham, senz'altro il più convincente libro sulla storia dell'analisi che mi sia capitato di leggere. Come si intuisce dal titolo, l'opera è idealmente strutturata come una galleria d'arte: ogni capitolo, come la sala di un virtuale museo, ci presenta un Maestro assieme ad uno o più dei suoi capolavori. Per citare quanto Dunham nota nella postfazione, la visita inizia dall'ala destinata all'Età Antica (Newton, Leibnitz, Johann e Jakob Bernoulli, Euler), per passare ai Classici (Cauchy, Riemann, Liouville, Weierstrass) e infine ai Moderni (Cantor, Volterra, Baire ed infine, appunto, Lebesgue). Attraverso un'oculata scelta di esempi, il "percorso espositivo" ci conduce dapprima attraverso un'analisi basata sul calcolo con le serie infinite, applicate a problemi sempre più spettacolari, che culminano con i virtuosismi di Eulero (ad esempio nella stima del pi greco); in un secondo tempo entra in campo il concetto di limite: Cauchy lo applica allo studio delle derivate, mentre Riemann lo utilizza per formalizzare la nozione di integrale. Nel frattempo, Liouville ricava grazie alle derivate la disuguaglianza che gli permetterà di costruire il primissimo numero trascendente. Più avanti, la scoperta di funzioni sempre più "patologiche" fa da motore per un'ulteriore evoluzione del Calculus, che con Cantor e Baire si sposa con la nascente teoria degli insiemi e, almeno per quanto riguarda il libro di Dunham, culmina con le innovazioni di Lebesgue, il primo a comprendere appieno i limiti dell'integrale di Riemann e ad estenderlo per giungere ad una definizione (basata, essenzialmente, su rettangoli orizzontali anziché verticali) che permette di controllare l'interscambiabilità dell'integrazione con l'operazione di passaggio al limite.

Insomma un gran libro, un altro notevole esempio di "divulgazione di alto livello", pensato soprattutto per chi un'infarinatura dei concetti trattati già la possiede. Leggetelo.

All'incontrario

Il percorso tradizionale dell'analisi liceale (numeri reali > limiti > derivate > integrali) procede a ritroso nel tempo: la definizione rigorosa di "numero" ha poco più di cent'anni, il concetto di limite ha avuto la sua sistemazione definitiva nella prima metà del XIX secolo, il calcolo differenziale nasce con Newton e Leibnitz (a cavallo tra il XVII e il XVIII sec.) e il calcolo integrale, per quanto riguarda aree e volumi, deve molto ad Archimede e al "metodo di esaustione" (III sec. a.C., ma anche prima).

Comunque, tale modo di procedere (che può essere fatto risalire almeno a Hardy e al suo classico A Course of Pure Mathematics) si giustifica pienamente: sono proprio le sistemazioni successive ad aver trasformato il calcolo infinitesimale nello strumento elegante e irrinunciabile che conosciamo ed apprezziamo.

Nel loro Analysis by Its History, Ernst Hairer e Gerhard Wanner, in controtendenza con la prassi didattica abituale, ci propongono invece di studiare l'analisi nella corretta sequenza temporale. Nella prima parte dell'opera, ci presentano quindi i risultati principali del calculus senza insistere sul concetto di limite, ragionando sugli infinitesimi con la stessa (geniale) spregiudicatezza con cui li trattavano Leibnitz e Eulero (da questo punto di vista, il presente post può quindi essere visto come un'ideale continuazione di questo). Più avanti, il testo si fa più tradizionale: ripartendo dal concetto di limite, la costruzione si avvicina decisamente a quanto normalmente proposto in un corso universitario. Ma anche qui non mancano le "chicche", come l'impressionante diagramma di flusso che descrive il percorso logico che dalla definizione di numero reale conduce al Teorema Fondamentale, o l'intrigante definizione di derivabilità data da Constantin Carathéodory, che non fa eplicitamente riferimento ad un passaggio al limite (ma nasconde tale operazione nella continuità di una funzione ausiliaria).

Epsilon e delta... in esilio

Giugno, tempo di esami. Come ogni anno, passo in rassegna il mio piccolo repertorio di domande da porre ai Candidati alla Maturità. E, come quasi ogni volta, inevitabilmente scarto quelle che fanno riferimento alla definizione rigorosa di limite. Già, quella formulata definitivamente dal "padre della moderna analisi" Karl Weierstrass sulla base di intuizioni avute in precedenza da Bernhard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy. La "definizione epsilon-delta", insomma, apparentemente ostica e artificiosa ma indubbiamente geniale nella sua sinteticità.

Va comunque detto che essa non è essenziale ai fini della comprensione del concetto di limite. In effetti, buona parte dei risultati più importanti nel campo dell'analisi la precedono: Newton, Leibnitz e perfino Leonhard Euler hanno utilizzato tale nozione in modo puramente intuitivo. E quindi, in ambito didattico, epsilon e delta possono tranquillamente essere introdotti in un secondo tempo. Ed è proprio per questo motivo che Serge Lang (figura di importanza fondamentale nella matematica del XX secolo, di cui dovrò prima o poi parlare), nel suo Classico A first course in Calculus (Springer 1986) li esiliò nell'Appendice alle prime quattro sezioni, a pagina 501, dopo aver sviluppato interamente il calculus a una variabile, invitando tra l'altro il lettore a "non prendere la cosa troppo sul serio, a meno di possedere una spiccata inclinazione per gli aspetti teorici". Se lo dice lui...